Set 2 — medium · Optimization problems · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בינוניות: מלבן בין גרף לאסימפטוטות, משולש $OAP$ , מרחק מפרבולה, שטח שאין לו מינימום, חלקה כפולה ליד קיר, תחום סגור, נגזרת של מנה ומציאת טעות. בכל שאלה צריך לבנות את הפונקציה לבד.

אחרי שמצאתם נקודה חשודה, שאלו: היא בתחום? ואם הנגזרת לא מתאפסת בתחום — הקיצון בקצה, או שאין קיצון בכלל.

Exercises

Exercise 1

מלבן מתחת לגרף f(x) = 36/(x² + 9)

P ו-Q על הגרף, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-x.

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $f(x)=\frac{36}{x^2+9}$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

S(x)=\frac{72x}{x^2+9}

בסיס $2x$ כפול גובה

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{72(9-x^2)}{(x^2+9)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= \frac{216}{18} \\ &= 12\end{aligned}

השטח

המכנה $(x^2+9)^2$ חיובי תמיד, ולכן הסימן של $S'$ נקבע רק לפי $9-x^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

f(x) = 4 + 25/(x − 3) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=4+\frac{25}{x-3}$ בתחום $x>3$ . $P$ נקודה על הגרף, ומ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות, כמו בשרטוט. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן שנוצר?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 3 \\ \qquad y &= 4\end{aligned}

האסימפטוטות

L(x)=2(x-3)+\frac{50}{x-3}

הצלעות $x-3$ ו- $\frac{25}{x-3}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{50}{(x-3)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x-3 \\ &= 5\end{aligned}

מינימום, $P=(8,\,9)$

\begin{aligned}L(8) &= 10+10 \\ &= 20\end{aligned}

ההיקף

הצלע האנכית היא $f(x)-4$ , לא $f(x)$ : המלבן נשען על האסימפטוטה $y=4$ , לא על ציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

המשולש OAP מתחת לגרף y = 27 − x²

P על הגרף ברביע הראשון, ו-A ההיטל שלה על ציר ה-x.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=27-x^2$ ברביע הראשון, ו- $A$ ההיטל שלה על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש $OAP$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 27

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= \frac{x(27-x^2)}{2} \\ \quad 0<x<\sqrt{27}\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{27-3x^2}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= \frac{3\cdot 18}{2} \\ &= 27\end{aligned}

$P=(3,\,18)$

בלי החצי יוצא $54$ : זה השטח של המלבן $OAPB$ , לא של המשולש.

Check the answer on elev

Exercise 4

המרחק מ-A(0, 6.5) לנקודה P על y = x²

P נקודה כללית על הפרבולה.

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה $A(0,\,6.5)$ לבין הגרף $y=x^2$ , כמו בשרטוט?

Show the answer and the solution

Answer: 2.5

Worked solution:

\begin{aligned}D(x) &= x^2+(x^2-6.5)^2 \\ &= x^4-12x^2+42.25\end{aligned}

ריבוע המרחק

\begin{aligned}D'(x) &= 4x^3-24x \\ &= 4x(x^2-6) \\ &= 0\end{aligned}

$x=0$ או $x^2=6$

\begin{aligned}D(0) &= 42.25 \\ \qquad D(\pm\sqrt{6}) &= 36-72+42.25 \\ &= 6.25\end{aligned}

המינימום ב- $x^2=6$

\begin{aligned}d &= \sqrt{6.25} \\ &= 2.5\end{aligned}

המרחק

הקודקוד רחוק $6.5$ : הוא מקסימום מקומי של $D$ , לא מינימום.

Check the answer on elev

Exercise 5

המשיק לגרף y = 4/x² והצירים

P = (t, 4/t²) ברביע הראשון.

הנקודה $P=(t,\,\frac{4}{t^2})$ נמצאת על הגרף $y=\frac{4}{x^2}$ ברביע הראשון, והמשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. הוכיחו או הפריכו: יש משיק כזה שיוצר את המשולש הקטן ביותר.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}f'(t) &= -\frac{8}{t^3} \\ \qquad y &= -\frac{8}{t^3}x+\frac{12}{t^2}\end{aligned}

המשיק

\begin{aligned}x_0 &= 1.5t \\ \qquad y_0 &= \frac{12}{t^2}\end{aligned}

החיתוכים

\begin{aligned}S(t) &= \tfrac{1}{2}\cdot 1.5t\cdot\frac{12}{t^2} \\ &= \frac{9}{t} \\ \qquad S'(t) &= -\frac{9}{t^2}<0\end{aligned}

השטח יורד כל הזמן

הטענה לא נכונה. השטח קטן ככל ש- $t$ גדל, ולא מגיע לערך קטן ביותר. לא כל פונקציית שטח מקבלת קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 6

הקטע המודגש AD הוא הקיר. EF ∥ AB, השטח הכולל 300 מ״ר, ו-AB = x.

חלקה מלבנית $ABCD$ צמודה לקיר $AD$ , ומחולקת לשתי חלקות בגדר $EF$ המקבילה ל- $AB$ , כמו בשרטוט. השטח הכולל $300$ מ״ר, ו- $AB=x$ . לאורך הקיר לא גודרים. מהו אורך הגדר הכולל הקטן ביותר (במטרים)?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

BC=\frac{300}{x}

שטח חלקי צלע

L(x)=3x+\frac{300}{x}

שלוש גדרות ניצבות לקיר ( $AB$ , $EF$ , $CD$ ) ואחת מקבילה

\begin{aligned}L'(x) &= 3-\frac{300}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}L(10) &= 30+30 \\ &= 60\end{aligned}

$BC=30$

מי שסופר גם את $AD$ מקבל $3x+\frac{600}{x}$ . הקיר לא גדור.

Check the answer on elev

Exercise 7

מלבן מתחת לגרף f(x) = 20/(x² + 4)

P ו-Q על הגרף, ו-0 < x ≤ 1.

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $f(x)=\frac{20}{x^2+4}$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. $P=(x,\,f(x))$ ו- $0<x\le 1$ . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= \frac{40x}{x^2+4} \\ \quad 0<x\le 1\end{aligned}

השטח והתחום

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{40(4-x^2)}{(x^2+4)^2}>0 \\ \quad 0<x\le 1\end{aligned}

הנקודה החשודה $x=2$ מחוץ לתחום

\begin{aligned}S(1) &= \frac{40}{5} \\ &= 8\end{aligned}

המקסימום בקצה

בלי המגבלה המקסימום היה $10$ ב- $x=2$ . כאן $x=2$ אסור, ולכן עונים לפי הקצה.

Check the answer on elev

Exercise 8

מלבן מתחת לגרף f(x) = 45/(x² + 9)

P ו-Q על הגרף. P = (x, f(x)).

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $f(x)=\frac{45}{x^2+9}$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. פונקציית השטח היא $S(x)=\frac{90x}{x^2+9}$ . מהי $S'(x)$ ?

$\frac{90}{2x}$
$\frac{90(9-x^2)}{(x^2+9)^2}$
$\frac{90(x^2-9)}{(x^2+9)^2}$
$\frac{90(9+x^2)}{(x^2+9)^2}$

Show the answer and the solution

Answer: B $\frac{90(9-x^2)}{(x^2+9)^2}$

Worked solution:

S'(x)=\frac{90(x^2+9)-90x\cdot 2x}{(x^2+9)^2}

נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה

=\frac{90x^2+810-180x^2}{(x^2+9)^2}=\frac{90(9-x^2)}{(x^2+9)^2}

מכנסים איברים

הנכונה: $\frac{90(9-x^2)}{(x^2+9)^2}$ . $\frac{90(x^2-9)}{(x^2+9)^2}$ הפך את סדר החיסור, וזה הופך את המקסימום למינימום.

Check the answer on elev

Exercise 9

המשיק לגרף y = 75 − x² והצירים

P = (t, 75 − t²) ברביע הראשון.

מחפשים את השטח הקטן ביותר של המשולש שיוצר עם הצירים המשיק לגרף $f(x)=75-x^2$ בנקודה $(t,\,75-t^2)$ ברביע הראשון, כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

y=-2tx+t^2+75

\begin{aligned}x_0 &= \frac{t^2+75}{-2t} \\ \qquad y_0 &= t^2+75\end{aligned}

S(t)=\frac{(t^2+75)^2}{4t}

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{(t^2+75)(3t^2-75)}{4t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}S(5) &= \frac{100^2}{20} \\ &= 500\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $x_0=\frac{t^2+75}{-2t} ,\qquad y_0=t^2+75$ → $x_0=\frac{t^2+75}{2t} ,\qquad y_0=t^2+75$

Worked solution:

\begin{aligned}0 &= -2tx+t^2+75 \ \Rightarrow \ 2tx \\ &= t^2+75\end{aligned}

מציבים $y=0$ ומעבירים אגף

x_0=\frac{t^2+75}{2t}>0

החיתוך בחלק החיובי של ציר ה- $x$

בהעברת אגף $-2tx$ הופך ל- $+2tx$ . חיתוך שלילי היה נותן שטח שלילי, והשורה הבאה כבר מתעלמת ממנו.

Check the answer on elev

Exercise 10

ABCD ריבוע שצלעו 6. M על AB, ו-AM = x.

$ABCD$ ריבוע שצלעו $6$ . הנקודה $M$ על הצלע $AB$ , ו- $AM=x$ , כמו בשרטוט. מהו הערך הקטן ביותר של $MC^2+MD^2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 90

Worked solution:

\begin{aligned}MD^2 &= x^2+36 \\ \qquad MC^2 &= (6-x)^2+36\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולשים $MAD$ ו- $MBC$

\begin{aligned}F(x) &= 2x^2-12x+108 \\ \qquad F'(x) &= 4x-12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתוך התחום $0\le x\le 6$

\begin{aligned}F(3) &= 90 \\ \qquad F(0) &= F(6) \\ &= 108\end{aligned}

משווים עם הקצוות

המינימום כש- $M$ באמצע $AB$ , והמקסימום בשני הקדקודים $A$ ו- $B$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev