Set 3 — towards the bagrut · Optimization problems · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח שאלת הקיצון של הבגרות, מחולקות לסעיפים א, ב, ג ו-ד. לכל סעיף תרגיל משלו, עם אותו נוסח פתיחה: מלבן בין גרף לאסימפטוטות, משיק עם פרמטר, וטרפז עם אלכסון קצר ביותר.

בבחינה כל סעיף נשען על הקודם. כתבו את הפונקציה פעם אחת, בדקו את סוג הקיצון, ורק אז ענו על «האם ייתכן».

Exercises

Exercise 1

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. א. מהן האסימפטוטות של $f$ ?

$x=-2$ ו- $y=1$
$x=-2$ ו- $y=0$
$x=2$ ו- $y=1$
$x=-2$ ו- $y=16$

Show the answer and the solution

Answer: A $x=-2$ ו- $y=1$

Worked solution:

\begin{aligned}x+2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס

\frac{16}{x+2} \to 0 \ \Rightarrow \ y=1

אסימפטוטה אופקית

הנכונה: $x=-2$ ו- $y=1$ . $y=0$ שוכח את התוספת $1$ , ו- $x=2$ טועה בסימן.

Check the answer on elev

Exercise 2

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. ב. מצאו את שיעור ה- $x$ של $P$ שעבורו היקף המלבן הקטן ביותר.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

L(x)=2(x+2)+\frac{32}{x+2}

הצלעות $x+2$ ו- $\frac{16}{x+2}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{32}{(x+2)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (x+2)^2 \\ &= 16\end{aligned}

$x+2>0$

\begin{aligned}x+2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

מי שעונה $4$ נתן את $x+2$ , כלומר את אורך הצלע, ולא את שיעור ה- $x$ של $P$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. ג. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ x+2 \\ &= 4 \\ \quad \frac{16}{4} &= 4\end{aligned}

המלבן ריבוע

\begin{aligned}L(2) &= 8+8 \\ &= 16\end{aligned}

ההיקף

$P=(2,\,5)$ . השטח קבוע ( $16$ ), וההיקף הקטן ביותר מתקבל בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 4

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. ד. הוכיחו או הפריכו: יש מלבן כזה שהיקפו $15$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

L_{\min}=16

מסעיף ג

15<16

קטן מהמינימום

הטענה לא נכונה. כל היקף מעל $16$ מתקבל פעמיים, משני הצדדים של $x=2$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

נתונה $f(x)=a-3x^2$ , כאשר $a$ פרמטר חיובי. המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,\,39)$ . הנקודה $P=(t,\,f(t))$ נמצאת על הגרף ברביע הראשון, והמשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. א. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

\begin{aligned}f(1) &= a-3 \\ \qquad f'(x) &= -6x \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= -6\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

\begin{aligned}y &= -6(x-1)+a-3 \\ &= -6x+a+3\end{aligned}

המשיק

\begin{aligned}a+3 &= 39 \ \Rightarrow \ a \\ &= 36\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה- $y$

מי שמציב את $(0,\,39)$ ב- $f$ עצמה מקבל $a=39$ . הנקודה נמצאת על המשיק, לא על הגרף.

Check the answer on elev

Exercise 6

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

$S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{12t}$
$S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{6t}$
$S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{12}$
$S(t)=\frac{(36-3t^2)^2}{12t}$

Show the answer and the solution

Answer: A $S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{12t}$

Worked solution:

\begin{aligned}y &= -6t(x-t)+36-3t^2 \\ &= -6tx+3t^2+36\end{aligned}

המשיק ב- $P$

\begin{aligned}y_0 &= 3t^2+36 \\ \qquad x_0 &= \frac{3t^2+36}{6t}\end{aligned}

החיתוכים

\begin{aligned}S(t) &= \frac{1}{2}\cdot\frac{3t^2+36}{6t}\cdot(3t^2+36) \\ &= \frac{(3t^2+36)^2}{12t}\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים

הנכונה: $\frac{(3t^2+36)^2}{12t}$ . $6t$ במכנה שוכח את החצי. $36-3t^2$ הוא $f(t)$ , לא החיתוך של המשיק.

Check the answer on elev

Exercise 7

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

S'(t)=\frac{2(3t^2+36)\cdot 6t\cdot 12t-12(3t^2+36)^2}{144t^2}

נגזרת של מנה

S'(t)=\frac{(3t^2+36)(9t^2-36)}{12t^2}

מוציאים גורם משותף

\begin{aligned}9t^2 &= 36 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום, ובתוך התחום $0<t<\sqrt{12}$

רק הגורם $9t^2-36$ משנה סימן. $t=-2$ נפסל: $P$ ברביע הראשון.

Check the answer on elev

Exercise 8

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

Show the answer and the solution

Answer: 96

Worked solution:

\begin{aligned}3t^2+36 &= 12+36 \\ &= 48\end{aligned}

מציבים $t=2$

\begin{aligned}S(2) &= \frac{48^2}{24} \\ &= 96\end{aligned}

השטח

המשיק ב- $(2,\,24)$ הוא $y=-12x+48$ , והחיתוכים $(4,\,0)$ ו- $(0,\,48)$ : $\frac{4\cdot 48}{2}=96$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 3AD, ושטח הטרפז 32 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=3AD$ , ושטח הטרפז $32$ סמ״ר. $AD=x$ , כמו בשרטוט. א. הביעו את $AB$ באמצעות $x$ .

$AB=\frac{64}{x}$
$AB=\frac{16}{x}$
$AB=\frac{32}{x}$
$AB=\frac{8}{x}$

Show the answer and the solution

Answer: B $AB=\frac{16}{x}$

Worked solution:

\frac{(x+3x)\cdot AB}{2}=32

שטח טרפז

\begin{aligned}2x\cdot AB &= 32 \ \Rightarrow \ AB \\ &= \frac{16}{x}\end{aligned}

$AB$ הוא הגובה

הנכונה: $\frac{16}{x}$ . $\frac{32}{x}$ שוכח שסכום הבסיסים $4x$ ולא $x$ , ו- $\frac{8}{x}$ שוכח את החלוקה ב- $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 3AD, ושטח הטרפז 32 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=3AD$ , ושטח הטרפז $32$ סמ״ר. $AD=x$ , כמו בשרטוט. ב. מהו האורך הקטן ביותר של האלכסון $BD$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 5.66

Worked solution:

\begin{aligned}BD^2 &= AB^2+AD^2 \\ &= \frac{256}{x^2}+x^2\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABD$ : הזווית $A$ ישרה, כי $AD \parallel BC$ ו- $AB \perp BC$

\begin{aligned}D'(x) &= 2x-\frac{512}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 256 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}BD^2 &= 16+16 \\ &= 32 \ \Rightarrow \ BD \\ &= \sqrt{32}\approx 5.66\end{aligned}

האורך

האלכסון $BD$ יוצא מ- $B$ אל $D$ , ולכן הניצבים שלו הם $AB$ ו- $AD$ , לא $BC$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev