Limits of prediction and traps · Correlation and regression · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשבעה ימי קיץ רשם מוכר גלידה בטיילת את הטמפרטורה ואת מספר הגלידות שמכר. הטמפרטורות היו בין $24°$ ל- $34°$ , ו- $r \approx 0.98$ . קו הרגרסיה שיצא: $y=12x-180$ . מה הקו מנבא ליום חורף של $10°$ ?

טמפרטורה וגלידות — 7 ימי קיץ, והקו ממשיך שמאלה

הנתונים נמצאים רק בין הקווים

24°

ו-

34°

. משמאל להם הקו ממשיך, אבל אין שם אף נקודה.

חשבו את הניבוי ל- $10°$ . האם הוא הגיוני?

Show the answer and the solution

$12 \cdot 10-180=-60$ גלידות: מספר שלילי, וזה בלתי אפשרי. הקו נבנה מימים של $24°$ עד $34°$ , ואין לנו מידע על מה שקורה מחוץ לתחום. ניבוי מחוץ לתחום הנתונים נקרא אקסטרפולציה, והוא לא אמין.

ניבוי רק בתוך תחום הנתונים

ניבוי בתוך תחום ה- $x$ של הנתונים הוא סביר, במיוחד כש- $|r|$ קרוב ל- $1$ . ניבוי מחוץ לתחום מניח שהמגמה ממשיכה בלי שינוי, ושום דבר בנתונים לא מבטיח את זה. וגם בתוך התחום, הקו נותן ערך צפוי, לא ערך מדויק.

מתאם אינו סיבתיות

בחודשים שבהם נמכרות יותר גלידות נמכרים גם יותר מזגנים. המתאם בין שני המספרים חיובי וחזק. האם הגלידה גורמת לקנות מזגנים? לא. שני המשתנים עולים בגלל גורם שלישי: החום. מתאם חזק אומר שהמשתנים משתנים יחד. הוא לא אומר מי גורם למי, ולא אומר שאחד גורם לשני.

נמצא $r=0.9$ בין מספר קרמי ההגנה מהשמש שנמכרו בחנות בכל שבוע לבין מספר המבקרים בחוף הים הסמוך. האם אפשר להסיק שמכירת קרמים מביאה אנשים לחוף?

Show the answer and the solution

לא. מזג אוויר חם ושמשי מגדיל את שני המספרים. מתאם מראה שהמשתנים «נעים יחד»; כדי לדעת מה גורם למה צריך ניסוי, ולא דיאגרמת פיזור.

נקודה חריגה

נקודה אחת שהופכת את הסימן

ארבעה שחקני כדורסל: שעות אימון בשבוע ( $x$ ) וקליעות מתוך $10$ ( $y$ ): $(1,\,2)$ , $(2,\,3)$ , $(3,\,5)$ , $(4,\,6)$ . שחקן חמישי, שנפצע, התאמן $8$ שעות וקלע רק $1$ .

r \approx 0.99

ארבעת השחקנים: מתאם חיובי חזק מאוד

r \approx -0.28

עם השחקן החמישי: המתאם שלילי

(8,\,1)

נקודה אחת, רחוקה מכל השאר, משנה את $r$ לגמרי

לפני כל חישוב, הסתכלו בדיאגרמה. נקודה חריגה יכולה להיות טעות רישום, או מקרה מיוחד. מחליטים עליה בהקשר של השאלה, ולא מוחקים אותה רק כי היא מקלקלת את התוצאה.

$r=0$ אינו «אין קשר»

קשר מלא ו- $r=0$

הנקודות: $(-2,\,4)$ , $(-1,\,1)$ , $(0,\,0)$ , $(1,\,1)$ , $(2,\,4)$ . כל נקודה מקיימת $y=x^2$ בדיוק.

\begin{aligned}\bar{x} &= 0 \qquad \bar{y} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}

הממוצעים

y-\bar{y}:\ 2,\ -1,\ -2,\ -1,\ 2

ההפרשים של $y$

(-2)(2)+(-1)(-1)+0+(1)(-1)+(2)(2)=0

סכום המכפלות

r=0

ובכל זאת $y$ נקבע לגמרי לפי $x$

הנקודות של y = x² — קשר מלא, ו-r = 0

$r$ מודד רק קשר ליניארי, קשר של קו ישר. בפרבולה הצד השמאלי יורד והצד הימני עולה, והתרומות מבטלות זו את זו. לכן לפני שמסיקים «אין קשר» מ- $r$ קרוב ל- $0$ , מסתכלים בדיאגרמה.

שינוי יחידות

x \to ax+b ,\quad a>0

$r$ לא משתנה. למשל מס״מ למטרים, או ממעלות צלזיוס לפרנהייט

x \to ax+b ,\quad a<0

$r$ מחליף סימן, והערך המוחלט שלו לא משתנה

m

השיפוע כן משתנה: הוא נמדד ביחידות של $y$ לכל יחידה אחת של $x$

הגובה נמדד בס״מ, המשקל בק״ג, ו- $r=0.7$ . מעבירים את הגובה למטרים. מה $r$ החדש? ומה קורה לשיפוע של קו הרגרסיה של המשקל לפי הגובה?

Show the answer and the solution

$r=0.7$ , בלי שינוי. השיפוע גדל פי $100$ : עלייה של מטר אחד היא עלייה של $100$ ס״מ, ולכן היא מוסיפה פי $100$ ק״ג בניבוי.

שלוש מסקנות שגויות.

y(10)=-60

אקסטרפולציה: הקו נבנה מ- $24°$ עד $34°$ . מחוץ לתחום אין לו תוקף.

r=0.9 \ \Rightarrow \ x \to y

מתאם חזק אינו סיבה. ייתכן גורם שלישי שמשפיע על שניהם.

r=0

« $r=0$ ולכן אין קשר» היא מסקנה שגויה. $r=0$ אומר רק שאין קשר ליניארי. $y=x^2$ הוא קשר מלא עם $r=0$ .

Exercises

Exercise 1

קו רגרסיה נבנה מנתונים של תלמידים שלמדו בין $1$ ל- $7$ שעות, ו- $r=0.95$ . לאיזה ניבוי הכי סביר לסמוך?

לכולם באותה מידה, כי $r=0.95$
לתלמיד שלמד $12$ שעות
לתלמיד שלמד $20$ שעות
לתלמיד שלמד $5.5$ שעות

Show the answer and the solution

Answer: D לתלמיד שלמד $5.5$ שעות

Worked solution:

1 \leq 5.5 \leq 7

בתוך תחום הנתונים

12 ,\ 20 > 7

אקסטרפולציה

הנכונה: $5.5$ שעות. $r$ גבוה מראה שהקו מתאים לנתונים שיש לנו, ולא לנתונים מחוץ לתחום. הניבוי ל- $20$ שעות הוא ציון $4.75 \cdot 20+56=151$ : יותר מ- $100$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

הנקודות: $(-3,\,9)$ , $(-1,\,1)$ , $(1,\,1)$ , $(3,\,9)$ . חשבו את $r$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

\begin{aligned}\bar{x} &= 0 \qquad \bar{y} \\ &= 5\end{aligned}

הממוצעים

y-\bar{y}:\ 4,\ -4,\ -4,\ 4

ההפרשים של $y$

-12+4-4+12=0

סכום המכפלות

\begin{aligned}r &= \frac{0}{N \cdot S_x \cdot S_y} \\ &= 0\end{aligned}

המונה $0$

$r=0$ , אף שכל הנקודות מקיימות $y=x^2$ . $r$ מודד רק קשר של קו ישר.

Check the answer on elev

Exercise 3

נמצא $r=0.92$ בין מספר המזגנים שנמכרו בכל חודש לבין מספר הגלידות שנמכרו באותו חודש. לכן מכירת מזגנים מגדילה את מכירות הגלידה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x \leftarrow \text{חום} \rightarrow y

גורם שלישי משפיע על שניהם

לא נכון. המתאם חזק, אבל הוא לא מראה סיבה. החום מגדיל גם את מכירת המזגנים וגם את מכירת הגלידות.

Check the answer on elev

Exercise 4

בין הגובה (בס״מ) לבין המשקל (בק״ג) של 20 תלמידים $r=0.7$ . מעבירים את כל הגבהים למטרים. מה $r$ החדש?

$0.7$
$70$
$-0.7$
$0.007$

Show the answer and the solution

Answer: A $0.7$

Worked solution:

x \to 0.01x

כפל בקבוע חיובי

r \to r

הצורה של הענן לא משתנה

הנכונה: $0.7$ . $r$ הוא מספר בלי יחידות. $70$ בכלל לא אפשרי: $r$ תמיד בין $-1$ ל- $1$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

השיפוע של קו הרגרסיה של המשקל (ק״ג) לפי הגובה (ס״מ) הוא $0.9$ . מה יהיה השיפוע אם הגובה יימדד במטרים?

Show the answer and the solution

Answer: 90

Worked solution:

1 \ \text{מ׳}=100 \ \text{ס״מ}

מטר אחד הוא $100$ ס״מ

0.9 \cdot 100=90

ק״ג למטר

השיפוע הוא $90$ ק״ג למטר. $r$ לא השתנה, אבל השיפוע תלוי ביחידות. מי שענה $0.009$ חילק במקום לכפול.

Check the answer on elev

Exercise 6

קו הרגרסיה של מספר הבקבוקים שנמכרו ( $y$ ) לפי הטמפרטורה ( $x$ , במעלות צלזיוס) הוא בעל שיפוע $18$ . מעבירים את הטמפרטורה למעלות פרנהייט: $F=1.8C+32$ . מה השיפוע החדש?

$18$
$32.4$
$50$
$10$

Show the answer and the solution

Answer: D $10$

Worked solution:

\Delta F=1.8 \cdot \Delta C

מעלת צלזיוס אחת היא $1.8$ מעלות פרנהייט

\frac{18}{1.8}=10

בקבוקים לכל מעלת פרנהייט

הנכונה: $10$ . מעלת פרנהייט קטנה ממעלת צלזיוס, ולכן לכל מעלה נוספים פחות בקבוקים. $32.4=18 \cdot 1.8$ כפל במקום לחלק. ה- $32$ לא משפיע על השיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 7

שעות אימון וקליעות מתוך 10 — 5 שחקנים

בדיאגרמה: שעות אימון וקליעות של חמישה שחקנים. מה יקרה ל- $r$ אם נוציא את השחקן שהתאמן $8$ שעות?

$r$ יגדל ויהיה קרוב ל- $1$
$r$ לא ישתנה
$r$ יקטן
$r$ יהיה $0$

Show the answer and the solution

Answer: A $r$ יגדל ויהיה קרוב ל- $1$

Worked solution:

r \approx -0.28

עם הנקודה החריגה

r \approx 0.99

בלעדיה: ארבע הנקודות כמעט על קו עולה

הנכונה: $r$ יגדל ויהיה קרוב ל- $1$ . נקודה חריגה אחת יכולה לשנות גם את הסימן של $r$ . לכן מסתכלים בדיאגרמה לפני שמחשבים.

Check the answer on elev

Exercise 8

בין שעות הלימוד (מ- $1$ עד $7$ ) לבין הציון נמצא $r=0.95$ , והקו $y=4.75x+56$ . מיינו כל מסקנה.

מותר להסיק
אסור להסיק

הלימוד הוא הסיבה היחידה לציון
המתאם בין שעות הלימוד לציון חיובי וחזק
הציון הצפוי של תלמיד שלמד $15$ שעות הוא $127.25$
הציון הצפוי של תלמיד שלמד $5$ שעות הוא $79.75$
כל תלמיד שילמד עוד שעה יקבל בדיוק עוד $4.75$ נקודות
לתלמידים שלמדו יותר היו בדרך כלל ציונים גבוהים יותר

Show the answer and the solution

Answer: לתלמידים שלמדו יותר היו בדרך כלל ציונים גבוהים יותר — מותר להסיק · המתאם בין שעות הלימוד לציון חיובי וחזק — מותר להסיק · הציון הצפוי של תלמיד שלמד $5$ שעות הוא $79.75$ — מותר להסיק · כל תלמיד שילמד עוד שעה יקבל בדיוק עוד $4.75$ נקודות — אסור להסיק · הציון הצפוי של תלמיד שלמד $15$ שעות הוא $127.25$ — אסור להסיק · הלימוד הוא הסיבה היחידה לציון — אסור להסיק

Worked solution:

4.75 \cdot 5+56=79.75

בתוך התחום: ניבוי מותר

4.75 \cdot 15+56=127.25 > 100

מחוץ לתחום: אקסטרפולציה

שלוש המסקנות האסורות הן שלוש המלכודות: «בדיוק» במקום «בממוצע», אקסטרפולציה, וסיבה במקום מתאם.

Check the answer on elev

Exercise 9

במבחן הקלדה נמצא $r=-0.6$ בין מספר השגיאות ( $x$ ) לבין מהירות ההקלדה ( $y$ ). הציון במבחן נקבע לפי $20-x$ . מהו מקדם המתאם בין הציון לבין מהירות ההקלדה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

x \to -x+20

כפל בקבוע שלילי, ואחר כך חיבור

r \to -r=0.6

הסימן מתהפך, הערך המוחלט לא משתנה

$r=0.6$ . ציון גבוה פירושו מעט שגיאות, ולכן הכיוון מתהפך. החוזק לא משתנה: $|r|=0.6$ .

Check the answer on elev

ניבוי רק בתוך תחום הנתונים

מתאם אינו סיבתיות

נקודה חריגה

r=0r=0r=0 אינו «אין קשר»

שינוי יחידות

Exercises

Keep practising on elev

$r=0$ אינו «אין קשר»