The regression line and prediction

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

תלמיד שישי למד 66 שעות. איזה ציון נצפה לו? הנקודות אינן על קו אחד, אבל אפשר להעביר ביניהן את הקו המתאים ביותר. הוא נקרא קו הרגרסיה, ובעזרתו מנבאים.

שעות לימוד וציון — 5 תלמידים, וקו הרגרסיה
(4, 75)x = 6012345678556065707580859095שעות לימודציון
הקו עובר בנקודת הממוצעים (xˉ, yˉ)=(4, 75)(\bar{x},\,\bar{y})=(4,\,75). כמה נקודות מעליו, וכמה מתחתיו.

לפי הקו בדיאגרמה: איזה ציון צפוי, בערך, לתלמיד שלמד 66 שעות?

Show the answer and the solution

בערך 8484 או 8585: עולים מ-x=6x=6 עד הקו וקוראים את ה-yy. החישוב המדויק, בהמשך, נותן 84.584.5.

השיפוע והנקודה

m=r⋅SySxy−yˉ=m(x−xˉ)\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \qquad\qquad y-\bar{y} \\ &= m(x-\bar{x})\end{aligned}

שני דברים קובעים את קו הרגרסיה. השיפוע mm מחושב מ-rr ומסטיות התקן, ולכן הסימן שלו הוא הסימן של rr. הנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}) נמצאת תמיד על הקו. מציבים את שניהם במשוואה של ישר לפי שיפוע ונקודה, כמו בגאומטריה אנליטית.

קו הרגרסיה והניבוי

לחמשת התלמידים: xˉ=4\bar{x}=4, yˉ=75\bar{y}=75, Sx=2S_x=2, Sy=10S_y=10, r=0.95r=0.95. מצאו את קו הרגרסיה, וחזו את הציון של תלמיד שלמד 66 שעות.

m=0.95⋅102=4.75\begin{aligned}m &= 0.95 \cdot \frac{10}{2} \\ &= 4.75\end{aligned}

השיפוע

y−75=4.75(x−4)y-75=4.75(x-4)

ישר דרך נקודת הממוצעים

y=4.75x+56y=4.75x+56

75−4.75⋅4=75−19=5675-4.75 \cdot 4=75-19=56

y(6)=4.75⋅6+56=84.5\begin{aligned}y(6) &= 4.75 \cdot 6+56 \\ &= 84.5\end{aligned}

הניבוי לתלמיד שלמד 66 שעות

בקו y=4.75x+56y=4.75x+56: מה המשמעות של השיפוע 4.754.75 בהקשר של השאלה?

Show the answer and the solution

כל שעת לימוד נוספת מעלה את הציון הצפוי ב-4.754.75 נקודות, בממוצע. זו מגמה: היא לא מבטיחה לתלמיד מסוים עוד 4.754.75 נקודות.

שאלות הפוכות

yˉ=mxˉ+b\bar{y}=m\bar{x}+b

נתונים הקו ו-xˉ\bar{x}: מציבים ומקבלים את yˉ\bar{y}. או להפך: נתונים xˉ\bar{x}, yˉ\bar{y} ו-mm, ומוצאים את bb

Sy=m⋅SxrS_y=\frac{m \cdot S_x}{r}

נתונים הקו, rr ו-SxS_x: מבודדים את SyS_y

r=m⋅SxSyr=\frac{m \cdot S_x}{S_y}

נתונים הקו וסטיות התקן: מבודדים את rr

כשכל הערכים של yy משתנים

y→y+cy \to y+c

mm, SyS_y ו-rr לא משתנים. yˉ\bar{y} ו-bb גדלים ב-cc: הקו זז למעלה

y→k⋅y(k>0)y \to k \cdot y \quad (k>0)

yˉ\bar{y}, SyS_y, mm ו-bb מוכפלים ב-kk. rr לא משתנה

+6% ⇒ k=1.06+6\% \ \Rightarrow \ k=1.06

תוספת של אחוזים היא כפל, ולא חיבור

המורה הוסיפה לכל ציון 55 נקודות. הקו הקודם היה y=4.75x+56y=4.75x+56. מה הקו החדש, ומה rr החדש?

Show the answer and the solution

y=4.75x+61y=4.75x+61. השיפוע לא משתנה, כי כל הנקודות זזו 55 למעלה יחד. rr נשאר 0.950.95.

שלוש טעויות בקו הרגרסיה.

m=r⋅SxSym=r \cdot \frac{S_x}{S_y}
m=r⋅SySxm=r \cdot \frac{S_y}{S_x}

SyS_y במונה: השיפוע הוא «כמה yy לכל xx». בדיקה: 0.95⋅102=4.750.95 \cdot \frac{10}{2}=4.75.

b=yˉb=\bar{y}
b=yˉ−mxˉb=\bar{y}-m\bar{x}

הקו עובר בנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}), ולא בנקודה (0, yˉ)(0,\,\bar{y}).

y→1.1y ⇒ r→1.1ry \to 1.1y \ \Rightarrow \ r \to 1.1r
y→1.1y ⇒ r→ry \to 1.1y \ \Rightarrow \ r \to r

rr אינו משתנה בכפל בקבוע חיובי. ו-rr גם לא יכול להיות גדול מ-11: 1.1⋅0.95>11.1 \cdot 0.95>1.

Exercises

Exercise 1

נתון: r=0.8r=0.8, Sx=2S_x=2, Sy=5S_y=5. מהו השיפוע של קו הרגרסיה?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

m=r⋅SySx=0.8⋅52=2\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= 0.8 \cdot \frac{5}{2} \\ &= 2\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון

m=2m=2. מי שקיבל 0.320.32 הפך את השבר: 0.8⋅250.8 \cdot \frac{2}{5}.

Check the answer on elev

Exercise 2

בדוכן הלימונדה: xˉ=6\bar{x}=6 שעות שמש, yˉ=30\bar{y}=30 כוסות, Sx=2S_x=2, Sy=8S_y=8, r=0.8r=0.8. מצאו את קו הרגרסיה y=mx+by=mx+b.

m=m= ____ , b=b= ____

Show the answer and the solution

Answer: m=m= 3.2 , b=b= 10.8

Worked solution:

m=0.8⋅82=3.2\begin{aligned}m &= 0.8 \cdot \frac{8}{2} \\ &= 3.2\end{aligned}

השיפוע

y−30=3.2(x−6)y-30=3.2(x-6)

דרך (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y})

b=30−3.2⋅6=30−19.2=10.8\begin{aligned}b &= 30-3.2 \cdot 6 \\ &= 30-19.2 \\ &= 10.8\end{aligned}

החותך

הקו: y=3.2x+10.8y=3.2x+10.8. בכל שעת שמש נוספת נמכרות, בממוצע, עוד 3.23.2 כוסות.

Check the answer on elev

Exercise 3

קו הרגרסיה של דוכן הלימונדה הוא y=3.2x+10.8y=3.2x+10.8, ומספר שעות השמש בנתונים היה בין 33 ל-99. כמה כוסות צפויות להימכר ביום עם 88 שעות שמש?

Show the answer and the solution

Answer: 36.4

Worked solution:

y(8)=3.2⋅8+10.8=25.6+10.8=36.4\begin{aligned}y(8) &= 3.2 \cdot 8+10.8 \\ &= 25.6+10.8 \\ &= 36.4\end{aligned}

מציבים x=8x=8

הניבוי הוא 36.436.4 כוסות: ערך צפוי, ולכן הוא יכול להיות לא שלם. x=8x=8 נמצא בתוך תחום הנתונים, ולכן מותר לנבא.

Check the answer on elev

Exercise 4

קו הרגרסיה של yy לפי xx הוא y=12x+20y=12x+20, ו-xˉ=5\bar{x}=5. מהו yˉ\bar{y}?

Show the answer and the solution

Answer: 80

Worked solution:

yˉ=12⋅5+20=80\begin{aligned}\bar{y} &= 12 \cdot 5+20 \\ &= 80\end{aligned}

הנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}) על הקו

מציבים את xˉ\bar{x} במשוואת הקו. זה עובד רק בנקודת הממוצעים: לנקודה אחרת הקו נותן ניבוי, ולא ערך.

Check the answer on elev

Exercise 5

קו הרגרסיה הוא y=12x+20y=12x+20, ונתון r=0.75r=0.75 ו-Sx=2S_x=2. מהי SyS_y?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

12=0.75⋅Sy212=0.75 \cdot \frac{S_y}{2}

m=r⋅SySxm=r \cdot \frac{S_y}{S_x}

Sy=12⋅20.75=32\begin{aligned}S_y &= \frac{12 \cdot 2}{0.75} \\ &= 32\end{aligned}

מבודדים

Sy=32S_y=32. מי שכפל ב-0.750.75 במקום לחלק קיבל 1818.

Check the answer on elev

Exercise 6

השיפוע של קו הרגרסיה הוא −1.5-1.5, ונתון Sx=4S_x=4 ו-Sy=10S_y=10. מהו rr?

Show the answer and the solution

Answer: -0.6

Worked solution:

r=m⋅SxSy=−1.5⋅410=−0.6\begin{aligned}r &= \frac{m \cdot S_x}{S_y} \\ &= \frac{-1.5 \cdot 4}{10} \\ &= -0.6\end{aligned}

מבודדים את rr

r=−0.6r=-0.6: מתאם שלילי בינוני. לשיפוע ול-rr תמיד אותו סימן.

Check the answer on elev

Exercise 7

קו הרגרסיה הוא y=2.5x+30y=2.5x+30. מוסיפים 55 לכל ערך של yy. מה הקו החדש?

  1. y=12.5x+150y=12.5x+150
  2. y=2.5x+30y=2.5x+30
  3. y=7.5x+30y=7.5x+30
  4. y=2.5x+35y=2.5x+35
Show the answer and the solution

Answer: D y=2.5x+35y=2.5x+35

Worked solution:

yˉ→yˉ+5,m→m\bar{y} \to \bar{y}+5 ,\quad m \to m

כל הנקודות זזות 55 למעלה

b→30+5=35b \to 30+5=35

החותך גדל ב-55

הנכונה: y=2.5x+35y=2.5x+35. חיבור לא משנה את SyS_y, ולכן גם לא את השיפוע. y=12.5x+150y=12.5x+150 היא תשובה של כפל ב-55, לא של חיבור.

Check the answer on elev

Exercise 8

כל הערכים של yy גדלים ב-10%10\%. מה נכון?

  1. mm לא משתנה, ו-SyS_y גדלה פי 1.11.1
  2. mm, SyS_y ו-rr גדלים פי 1.11.1
  3. mm ו-SyS_y גדלים פי 1.11.1, ו-rr לא משתנה
  4. mm ו-SyS_y גדלים ב-0.10.1
Show the answer and the solution

Answer: C mm ו-SyS_y גדלים פי 1.11.1, ו-rr לא משתנה

Worked solution:

y→1.1yy \to 1.1y

הגדלה באחוזים היא כפל

Sy→1.1Sym=r⋅1.1SySx=1.1m\begin{aligned}S_y \to 1.1S_y \quad m &= r \cdot \frac{1.1S_y}{S_x} \\ &= 1.1m\end{aligned}

השיפוע גדל יחד עם SyS_y

הנכונה: mm ו-SyS_y גדלים פי 1.11.1. rr לא משתנה: הצורה של הענן לא השתנתה, רק קנה המידה של yy.

Check the answer on elev

Exercise 9

הנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}) נמצאת תמיד על קו הרגרסיה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

y−yˉ=m(x−xˉ)y-\bar{y}=m(x-\bar{x})

מציבים x=xˉx=\bar{x}: y=yˉy=\bar{y}

נכון. זו הסיבה שאפשר למצוא את bb או את yˉ\bar{y} מתוך הקו. נקודה אחרת של הנתונים בדרך כלל לא על הקו.

Check the answer on elev

Exercise 10

קו הרגרסיה הוא y=2.5x+30y=2.5x+30. מחסירים 2020 מכל ערך של yy. מהו החותך bb של הקו החדש?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

y−20=2.5x+30−20y-20=2.5x+30-20

כל ניבוי קטן ב-2020

y=2.5x+10y=2.5x+10

השיפוע לא משתנה

b=10b=10. השיפוע נשאר 2.52.5: הזזה של כל הנקודות לא משנה את SyS_y, ולכן לא את mm.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade