The correlation coefficient r

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשתי דיאגרמות המתאם חיובי. באחת הנקודות צמודות לקו, ובשנייה הן מפוזרות. «חזק» ו«חלש» הן מילים, והבגרות מבקשת מספר. המספר הזה הוא מקדם המתאם של פירסון, rr. הסתכלו קודם על הסימנים בדיאגרמה.

שעות לימוד וציון — 5 תלמידים, והממוצעים
x̄ = 4ȳ = 75++−−012345678556065707580859095שעות לימודציון
הקווים עוברים בממוצעים xˉ=4\bar{x}=4 ו-yˉ=75\bar{y}=75, ומחלקים את המישור לארבעה רביעים. בכל רביע כתוב הסימן של המכפלה (x−xˉ)(y−yˉ)(x-\bar{x})(y-\bar{y}).

לנקודה (7, 90)(7,\,90): מה הסימן של x−xˉx-\bar{x}, של y−yˉy-\bar{y} ושל המכפלה שלהם? ולנקודה (1, 60)(1,\,60)?

Show the answer and the solution

(7, 90)(7,\,90): 7−4=37-4=3 ו-90−75=1590-75=15, המכפלה 45>045>0. (1, 60)(1,\,60): −3-3 ו-−15-15, המכפלה 45>045>0. שתי הנקודות מתאימות למגמה עולה, ולכן הן תורמות תרומה חיובית ל-rr.

מה rr אומר

−1≤r≤1-1 \leq r \leq 1

תמיד. תוצאה מחוץ לתחום היא טעות חישוב

r>0r<0r>0 \quad r<0

הסימן הוא הכיוון: מתאם חיובי או שלילי

∣r∣→1|r| \to 1

הערך המוחלט הוא החוזק: קרוב ל-11 חזק, קרוב ל-00 חלש

r=1r=−1\begin{aligned}r &= 1 \quad r \\ &= -1\end{aligned}

מתאם מלא: כל הנקודות בדיוק על קו ישר

r=0r=0

אין קשר ליניארי. ייתכן קשר מסוג אחר

החישוב לפי הנוסחאון

r=(x1−xˉ)(y1−yˉ)+(x2−xˉ)(y2−yˉ)+⋯+(xN−xˉ)(yN−yˉ)N⋅Sx⋅Syr=\frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\dots+(x_N-\bar{x})(y_N-\bar{y})}{N \cdot S_x \cdot S_y}

NN הוא מספר הזוגות, ו-SxS_x, SyS_y הן סטיות התקן של xx ושל yy. בנוסחאון סטיית התקן מחולקת ב-NN: Sx=(x1−xˉ)2+⋯+(xN−xˉ)2NS_x=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+\dots+(x_N-\bar{x})^2}{N}}. המונה הוא סכום המכפלות של ההפרשים מהממוצע, והוא שנותן ל-rr את הסימן.

חישוב rr: שעות לימוד וציון

חמישה תלמידים. שעות לימוד xx: 1, 3, 4, 5, 71,\ 3,\ 4,\ 5,\ 7. ציון yy: 60, 70, 80, 75, 9060,\ 70,\ 80,\ 75,\ 90.

xˉ=205=4yˉ=3755=75\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{20}{5} \\ &= 4 \qquad \bar{y} \\ &= \frac{375}{5} \\ &= 75\end{aligned}

הממוצעים

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3y−yˉ: −15, −5, 5, 0, 15x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3 \qquad y-\bar{y}:\ -15,\ -5,\ 5,\ 0,\ 15

ההפרשים. בדיקה: כל שורה מסתכמת ב-00

Sx=9+1+0+1+95=4=2\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{9+1+0+1+9}{5}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית התקן של xx

Sy=225+25+25+0+2255=100=10\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{225+25+25+0+225}{5}} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

סטיית התקן של yy

45+5+0+0+45=9545+5+0+0+45=95

סכום המכפלות של ההפרשים

r=955⋅2⋅10=0.95\begin{aligned}r &= \frac{95}{5 \cdot 2 \cdot 10} \\ &= 0.95\end{aligned}

מתאם חיובי חזק מאוד

בחישוב אחר יצא לתלמיד r=1.3r=1.3. מה אפשר לומר מיד?

Show the answer and the solution

יש טעות בחישוב. rr תמיד בין −1-1 ל-11. הטעויות הנפוצות: שכחו את NN במכנה, או לקחו את השונות במקום את סטיית התקן, בלי שורש.

במחשבון מדעי יש לפעמים שתי סטיות תקן: σn\sigma_n ו-sn−1s_{n-1}. הנוסחאון מחלק ב-NN, ולכן בוחרים ב-σn\sigma_n. בנוסחאון יש גם צורה שנייה: r=zx1zy1+⋯+zxNzyNNr=\frac{z_{x_1} z_{y_1}+\dots+z_{x_N} z_{y_N}}{N}, הממוצע של המכפלות של ציוני התקן. זה אותו מספר.

שלוש טעויות בחישוב rr.

r=952⋅10=4.75\begin{aligned}r &= \frac{95}{2 \cdot 10} \\ &= 4.75\end{aligned}
r=955⋅2⋅10=0.95\begin{aligned}r &= \frac{95}{5 \cdot 2 \cdot 10} \\ &= 0.95\end{aligned}

שכחו את NN במכנה. תוצאה גדולה מ-11 היא סימן אזהרה.

Sx=204S_x=\sqrt{\frac{20}{4}}
Sx=205S_x=\sqrt{\frac{20}{5}}

בנוסחאון מחלקים ב-N=5N=5, ולא ב-N−1N-1.

x1y1+x2y2+…x_1 y_1+x_2 y_2+\dots
(x1−xˉ)(y1−yˉ)+…(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\dots

מכפילים את ההפרשים מהממוצע, ולא את הנתונים עצמם.

Exercises

Exercise 1

איזה מהמספרים הבאים אינו יכול להיות מקדם מתאם?

  1. 1.051.05
  2. 11
  3. −0.98-0.98
  4. 00
Show the answer and the solution

Answer: A 1.051.05

Worked solution:

−1≤r≤1-1 \leq r \leq 1

התחום של rr

1.05>11.05>1

מחוץ לתחום

הנכונה: 1.051.05. גם 11 וגם −0.98-0.98 אפשריים: r=1r=1 הוא מתאם מלא, כשכל הנקודות על קו עולה.

Check the answer on elev

Exercise 2

איזה ערך של rr מתאר את המתאם החזק ביותר?

  1. 0.10.1
  2. −0.3-0.3
  3. 0.70.7
  4. −0.85-0.85
Show the answer and the solution

Answer: D −0.85-0.85

Worked solution:

∣−0.85∣=0.85>0.7|-0.85|=0.85 > 0.7

משווים ערכים מוחלטים

הנכונה: −0.85-0.85. החוזק הוא ∣r∣|r|, והסימן הוא רק הכיוון. מי שבחר 0.70.7 חשב ש«חיובי» פירושו «חזק».

Check the answer on elev

Exercise 3

לששה זוגות של נתונים: Sx=2S_x=2, Sy=5S_y=5, וסכום המכפלות של ההפרשים מהממוצעים הוא 4848. חשבו את rr.

Show the answer and the solution

Answer: 0.8

Worked solution:

r=48N⋅Sx⋅Syr=\frac{48}{N \cdot S_x \cdot S_y}

הנוסחה

486⋅2⋅5=4860=0.8\begin{aligned}\frac{48}{6 \cdot 2 \cdot 5} &= \frac{48}{60} \\ &= 0.8\end{aligned}

מציבים N=6N=6

r=0.8r=0.8: מתאם חיובי חזק. מי שקיבל 4.84.8 שכח את NN במכנה.

Check the answer on elev

Exercise 4

לחמישה זוגות: r=−0.6r=-0.6, Sx=3S_x=3, Sy=4S_y=4. מהו סכום המכפלות (x1−xˉ)(y1−yˉ)+⋯+(x5−xˉ)(y5−yˉ)(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\dots+(x_5-\bar{x})(y_5-\bar{y})?

Show the answer and the solution

Answer: -36

Worked solution:

סכום=r⋅N⋅Sx⋅Sy\text{סכום}=r \cdot N \cdot S_x \cdot S_y

מבודדים את המונה

=−0.6⋅5⋅3⋅4=−36=-0.6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4=-36

מציבים

הסכום שלילי, כמו rr: המונה הוא שנותן את הסימן. מי שענה 3636 איבד את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 5

בדוכן לימונדה רשמו בחמישה ימים את מספר שעות השמש (xx) ואת מספר הכוסות שנמכרו (yy). xx: 3, 5, 6, 7, 93,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9. yy: 18, 34, 30, 26, 4218,\ 34,\ 30,\ 26,\ 42. השלימו.

xˉ=\bar{x}= ____ , yˉ=\bar{y}= ____ , Sx=S_x= ____ , Sy=S_y= ____ , r=r= ____

Show the answer and the solution

Answer: xˉ=\bar{x}= 6 , yˉ=\bar{y}= 30 , Sx=S_x= 2 , Sy=S_y= 8 , r=r= 0.8

Worked solution:

xˉ=305=6yˉ=1505=30\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{30}{5} \\ &= 6 \qquad \bar{y} \\ &= \frac{150}{5} \\ &= 30\end{aligned}

הממוצעים

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3y−yˉ: −12, 4, 0, −4, 12x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3 \qquad y-\bar{y}:\ -12,\ 4,\ 0,\ -4,\ 12

ההפרשים

Sx=205=2Sy=144+16+0+16+1445=64=8\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{20}{5}} \\ &= 2 \qquad S_y \\ &= \sqrt{\frac{144+16+0+16+144}{5}} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8\end{aligned}

סטיות התקן

36−4+0−4+36=6436-4+0-4+36=64

סכום המכפלות

r=645⋅2⋅8=0.8\begin{aligned}r &= \frac{64}{5 \cdot 2 \cdot 8} \\ &= 0.8\end{aligned}

מקדם המתאם

שתי מכפלות שליליות (−4-4) הן שתי נקודות שהולכות נגד המגמה. הן מקטינות את rr, אבל המגמה נשארת חיובית וחזקה.

Check the answer on elev

Exercise 6

לנתונים xˉ=10\bar{x}=10 ו-yˉ=40\bar{y}=40. איזו נקודה תורמת תרומה שלילית למונה של rr?

  1. (10, 50)(10,\,50)
  2. (8, 35)(8,\,35)
  3. (13, 32)(13,\,32)
  4. (12, 45)(12,\,45)
Show the answer and the solution

Answer: C (13, 32)(13,\,32)

Worked solution:

(13−10)(32−40)=3⋅(−8)=−24\begin{aligned}(13-10)(32-40) &= 3 \cdot (-8) \\ &= -24\end{aligned}

xx מעל הממוצע ו-yy מתחתיו

(10−10)(50−40)=0(10-10)(50-40)=0

הנקודה על קו הממוצע של xx תורמת 00

הנכונה: (13, 32)(13,\,32). (8, 35)(8,\,35) נותנת (−2)(−5)=10>0(-2)(-5)=10>0: שני מינוסים. (10, 50)(10,\,50) לא תורמת כלום, לא שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 7

אם r=0.8r=0.8, אז 80%80\% מהנקודות נמצאות על קו ישר.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

r=0.8r=0.8

מספר בלי יחידות, בין −1-1 ל-11

לא נכון. rr אינו אחוז של נקודות. r=0.8r=0.8 אומר שהנקודות קרובות לקו עולה. ייתכן שאף נקודה לא נמצאת בדיוק עליו.

Check the answer on elev

Exercise 8

שורה אחת בחישוב של סטיית התקן שגויה. מצאו אותה.

x: 2 4 6 8 ⇒ xˉ=5\begin{aligned}x:\ 2 \\ \ 4 \\ \ 6 \\ \ 8 \ \Rightarrow \ \bar{x} &= 5\end{aligned}
(x−xˉ)2: 9, 1, 1, 9(x-\bar{x})^2:\ 9,\ 1,\ 1,\ 9
Sx=203S_x=\sqrt{\frac{20}{3}}
Show the answer and the solution

Answer: Sx=203S_x=\sqrt{\frac{20}{3}} → Sx=204=5S_x=\sqrt{\frac{20}{4}}=\sqrt{5}

Worked solution:

N=4N=4

ארבעה נתונים

Sx=204=5≈2.24\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{20}{4}} \\ &= \sqrt{5} \approx 2.24\end{aligned}

מחלקים ב-NN

בנוסחאון מחלקים ב-NN, ולא ב-N−1N-1. סטיית תקן שגויה משנה גם את rr.

Check the answer on elev

Exercise 9

בארבעה סניפים של רשת חנויות נרשמו מספר העובדים (xx) ומספר הלקוחות ביום, בעשרות (yy). xx: 2, 4, 6, 82,\ 4,\ 6,\ 8. yy: 3, 5, 4, 83,\ 5,\ 4,\ 8. חשבו את rr. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.84

Worked solution:

xˉ=5yˉ=5\begin{aligned}\bar{x} &= 5 \qquad \bar{y} \\ &= 5\end{aligned}

הממוצעים

x−xˉ: −3, −1, 1, 3y−yˉ: −2, 0, −1, 3x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 1,\ 3 \qquad y-\bar{y}:\ -2,\ 0,\ -1,\ 3

ההפרשים

Sx=204=5Sy=144=3.5\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{20}{4}} \\ &= \sqrt{5} \qquad S_y \\ &= \sqrt{\frac{14}{4}} \\ &= \sqrt{3.5}\end{aligned}

סטיות התקן

6+0−1+9=146+0-1+9=14

סכום המכפלות

r=144⋅5⋅3.5≈0.84r=\frac{14}{4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3.5}} \approx 0.84

מקדם המתאם

כשסטיות התקן אינן שלמות, השאירו אותן בשורש עד השלב האחרון. עיגול מוקדם של 5\sqrt{5} ל-22 נותן r≈0.94r \approx 0.94, תשובה שגויה.

Check the answer on elev

Exercise 10

כל זוגות הנתונים מקיימים בדיוק y=20−3xy=20-3x. מהו rr?

  1. −3-3
  2. −1-1
  3. 11
  4. 00
Show the answer and the solution

Answer: B −1-1

Worked solution:

y=20−3xy=20-3x

כל הנקודות על קו אחד: מתאם מלא, ∣r∣=1|r|=1

m=−3<0m=-3<0

הקו יורד, ולכן r=−1r=-1

הנכונה: −1-1. −3-3 הוא השיפוע של הקו, ולא rr: מקדם המתאם אף פעם אינו קטן מ-−1-1.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade