Solving together · Functions with a root · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בסגנון שאלת השורש של הבגרות, אחת לכל רעיון: פרמטר מתוך נקודה ואז חקירה, משיק, הזזה של גרף, וקריאת $f$ מתוך הגרף של $f'$ . כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פרמטר מתוך נקודה, ואז חקירה

Interactive activity

נתונה $f(x)=(x-9)\sqrt{x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף עובר בנקודה $(6,\,0)$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ . ג. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ד. נתונה $g(x)=f(x)+c$ . עבור איזה $c$ הישר $y=0$ משיק לגרף של $g$ ?

\begin{aligned}f(x) &= (x-9)\sqrt{x+a} \\ \quad (6,\,0)\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנקודה נותנת משוואה אחת, וזה מספיק לפרמטר אחד.

א.

\begin{aligned}(6-9)\sqrt{6+a} &= 0 \ \Rightarrow \ 6+a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

$6-9 \neq 0$ , ולכן השורש הוא שמתאפס.

ב. תחום

\begin{aligned}f(x) &= (x-9)\sqrt{x-6} \ \\ \quad x \geq 6\end{aligned}

הגרף מתחיל בקצה $x=6$ .

ב. ציר x

\begin{aligned}x &= 6 \\ \quad x &= 9\end{aligned}

שני האפסים בתחום.

ג. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-6)+(x-9)}{2\sqrt{x-6}} \\ &= \frac{3x-21}{2\sqrt{x-6}} \ \\ \quad x>6\end{aligned}

מכפלה ומכנה משותף.

ג. חשודות

\begin{aligned}x &= 7 \ \\ \quad f(7) &= -2 \cdot 1 \\ &= -2 \qquad \text{קצה}: \ (6,\,0)\end{aligned}

אפס של המונה, ועוד הקצה.

ג. סוג

f'(6.5)<0 \qquad f'(10)>0

מינימום $(7,\,-2)$ ; מקסימום מקומי בקצה $(6,\,0)$ .

ד.

\begin{aligned}g(7) &= -2+c \\ &= 0 \ \Rightarrow \ c \\ &= 2\end{aligned}

משיק אופקי ל- $g$ רק בנקודת הקיצון הפנימית. $c$ מזיז את הגרף למעלה עד שהמינימום נוגע בציר.

סעיף ד נפתר בלי לגזור שוב: הזזה למעלה לא משנה את ה- $x$ של נקודת הקיצון, רק את הגובה שלה.

Do the activity on elev

למה המשיק של $g$ בקצה $x=6$ לא יכול להיות $y=0$ ?

Show the answer and the solution

ב- $x=6$ הנגזרת לא קיימת: המונה $3 \cdot 6-21=-3 \neq 0$ והמכנה $0$ . הגרף יוצא מהקצה תלול, ולכן המשיק שם אינו אופקי.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משוואת משיק ונקודת חיתוך

Interactive activity

המשיק ל- $(x+2)\sqrt{2x+1}$

נתונה $f(x)=(x+2)\sqrt{2x+1}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ חותך את ציר ה- $x$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך.

$0.4$

$-2$

$4$

$-1$

מה מחשבים קודם?

את הנקודה: $f(4)$

Show the answer and the solution

משיק צריך נקודה ושיפוע.

פותרים $f(x)=0$

Show the answer and the solution

זה החיתוך של הגרף עם הציר, לא של המשיק.

\begin{aligned}f(4) &= 6 \cdot \sqrt{9} \\ &= 18\end{aligned}

הנקודה $(4,\,18)$

מהי $f'(x)$ ?

$\frac{3x+3}{\sqrt{2x+1}}$

Show the answer and the solution

$\sqrt{2x+1}+\frac{x+2}{\sqrt{2x+1}}$ , ומכנה משותף.

$\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Show the answer and the solution

זו רק הנגזרת של השורש, בלי כלל המכפלה.

\begin{aligned}f'(4) &= \frac{15}{3} \\ &= 5\end{aligned}

השיפוע

מה משוואת המשיק, ואיפה הוא חותך את ציר ה- $x$ ?

$y=5x-2$ , ומציבים $y=0$

Show the answer and the solution

$y-18=5(x-4)$ .

$y=18x-67$

Show the answer and the solution

החלפתם בין הערך לשיפוע.

\begin{aligned}y &= 5x-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0.4\end{aligned}

חיתוך המשיק עם ציר $x$

Show the answer and the solution

התשובה: $x=0.4$ . $-2$ הוא חיתוך הגרף עם הציר. $4$ הוא נקודת ההשקה. $-1$ פותר $f'(x)=0$ : שם המשיק אופקי, וזו שאלה אחרת.

Do the activity on elev

האם המשיק הזה חותך את הגרף שוב, במקום אחר?

Show the answer and the solution

אפשר לבדוק בנקודה: $f(0)=2$ , ועל המשיק $y(0)=-2$ . הגרף מעל המשיק שם. כדי לענות בוודאות צריך לפתור משוואה עם שורש. בשאלות הבגרות שואלים על נקודת ההשקה ועל חיתוך עם הצירים.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטר, ואז הזזה של הגרף

Interactive activity

נתונה $f(x)=(x-a)\sqrt{x}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=4$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. ג. נתונה $g(x)=f(x+2)$ . מצאו את תחום ההגדרה של $g$ ואת נקודת הקיצון שלה.

\begin{aligned}f(x) &= (x-a)\sqrt{x} \\ \quad f'(4) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». נקודת קיצון פנימית: $f'=0$ .

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x}+\frac{x-a}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{3x-a}{2\sqrt{x}}\end{aligned}

הפרמטר נשאר במונה.

א.

\begin{aligned}3 \cdot 4-a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 12\end{aligned}

מציבים $x=4$ במונה.

ב.

\begin{aligned}f(4) &= (4-12) \cdot 2 \\ &= -16 \ ;\quad f'(1)<0 \\ \ f'(9)>0\end{aligned}

מינימום $(4,\,-16)$ .

ג. תחום

\begin{aligned}g(x) &= (x+2-12)\sqrt{x+2} \ \\ \quad x+2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -2\end{aligned}

מציבים $x+2$ במקום $x$ .

ג. קיצון

\begin{aligned}x+2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \ \\ \quad g(2) &= f(4) \\ &= -16\end{aligned}

הגרף של $g$ הוא הגרף של $f$ מוזז 2 שמאלה. מינימום $(2,\,-16)$ .

$f(x+2)$ מזיזה שמאלה, לא ימינה. הגובה לא משתנה: רק שיעור ה- $x$ .

Do the activity on elev

מה סוג הנקודה $(-2,\,0)$ בגרף של $g$ ?

Show the answer and the solution

זו הזזה של הקצה $(0,0)$ של $f$ . $f$ יוצאת מ- $(0,0)$ בירידה אל המינימום, ולכן $(0,0)$ מקסימום מקומי בקצה. אותו דבר ל- $g$ ב- $(-2,0)$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — קוראים את $f$ מתוך הגרף של $f'$

הגרף של f′

הגרף של

f'

עבור

f(x)=x+4\surd(1-x)

, המוגדרת ב-

x \leq 1

. הגרף חותך את ציר ה-

x

ב-

x=-3

וצולל למטה ליד

x=1

Interactive activity

מהגרף של $f'$ אל נקודות הקיצון של $f$

בשרטוט הגרף של $f'$ עבור $f(x)=x+4\sqrt{1-x}$ . מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן. נתונה $g(x)=-f(x)$ . מה סוג נקודת הקיצון של $g$ ב- $x=-3$ ?

$f$ : מקסימום $(-3,5)$ , מינימום בקצה $(1,1)$ ; $g$ : מינימום ב- $x=-3$

$f$ : מינימום $(-3,5)$ ; $g$ : מקסימום ב- $x=-3$

$f$ : מקסימום $(-3,5)$ בלבד; $g$ : מקסימום ב- $x=-3$

$f$ : אין קיצון, כי $f'$ רק יורדת

מה הסימן של $f'$ משני צדי $x=-3$ ?

מ- $+$ ל- $-$

Show the answer and the solution

משמאל הקו מעל הציר, מימין מתחתיו.

אין החלפת סימן, כי $f'$ יורדת כל הזמן

Show the answer and the solution

$f'$ יורדת, אבל עוברת מחיובי לשלילי.

\begin{aligned}x &= -3: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max \\ \quad f(-3) &= -3+8 \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום $(-3,\,5)$

ומה עם הקצה $x=1$ ?

מינימום: $f$ מגיעה אליו בירידה

Show the answer and the solution

ב- $-3<x<1$ הנגזרת שלילית.

לא נקודת קיצון, כי $f'(1)$ לא קיימת

Show the answer and the solution

קצה שבו $f'$ לא קיימת הוא נקודה חשודה.

\begin{aligned}f(1) &= 1+0 \\ &= 1\end{aligned}

מינימום בקצה $(1,\,1)$

מה קורה לנקודה $x=-3$ ב- $g=-f$ ?

היא הופכת למינימום

Show the answer and the solution

שיקוף בציר ה- $x$ הופך מקסימום למינימום.

היא נשארת מקסימום

Show the answer and the solution

$g'=-f'$ : כל הסימנים מתהפכים.

g'(x)=-f'(x): \ - \to + \ \Rightarrow \ \min(-3,\,-5)

מינימום של $g$

Show the answer and the solution

התשובה: ל- $f$ מקסימום $(-3,5)$ ומינימום בקצה $(1,1)$ ; ל- $g$ מינימום ב- $x=-3$ . מי שבחר «אין קיצון» קרא את הכיוון של $f'$ במקום את הסימן שלה. ומי שבחר «מקסימום $(-3,5)$ בלבד» שכח את הקצה.

Do the activity on elev

איפה נמצא הגרף של $-f'$ ביחס לגרף בשרטוט?

Show the answer and the solution

הוא השיקוף שלו בציר ה- $x$ : עובר ב- $(-3,0)$ , שלילי משמאל וחיובי מימין. בבגרות מבקשים לפעמים לזהות איזה משני הגרפים הוא $f'$ : בודקים סימן בנקודה אחת, למשל $f'(0)=1-2=-1<0$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה, ושאלה 5 מוסיפה את $g=-f$ .

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=(x-7)\sqrt{x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף עובר בנקודה $(4,\,0)$ . מצאו את $a$ ואת נקודת המינימום של הפונקציה.

$a=$ ____ ; מינימום: $x=$ ____ , $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a=$ -4 ; מינימום: $x=$ 5 , $y=$ -2

Worked solution:

\begin{aligned}(4-7)\sqrt{4+a} &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -4\end{aligned}

השורש מתאפס

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-4)+(x-7)}{2\sqrt{x-4}} \\ &= \frac{3x-15}{2\sqrt{x-4}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}x &= 5 \ ;\quad f(5) \\ &= -2 \cdot 1 \\ &= -2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

$a=-4$ ומינימום $(5,\,-2)$ . הקצה $(4,0)$ הוא מקסימום מקומי. $a=4$ היה נותן $\sqrt{8}$ , לא $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=(x-1)\sqrt{2x+1}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ חותך את ציר ה- $y$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך.

Show the answer and the solution

Answer: -7

Worked solution:

\begin{aligned}f(4) &= 3 \cdot 3 \\ &= 9\end{aligned}

הנקודה $(4,\,9)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(2x+1)+(x-1)}{\sqrt{2x+1}} \\ &= \frac{3x}{\sqrt{2x+1}} \ \Rightarrow \ f'(4) \\ &= 4\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y-9 &= 4(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= 4x-7\end{aligned}

המשיק

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -7\end{aligned}

חיתוך עם ציר $y$

$-7$ . זה לא $f(0)=-1$ : המשיק והגרף נפגשים רק ב- $x=4$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=(x-a)\sqrt{x}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=1$ . נתונה $g(x)=f(x-3)$ . מצאו את $a$ , את שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון של $g$ , ואת תחום ההגדרה של $g$ .

$a=$ ____ ; קיצון של $g$ ב- $x=$ ____ ; תחום: $x \geq$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a=$ 3 ; קיצון של $g$ ב- $x=$ 4 ; תחום: $x \geq$ 3

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x-a}{2\sqrt{x}} \ \Rightarrow \ 3-a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים $x=1$

\begin{aligned}x-3 &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

הזזה 3 ימינה

x-3 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 3

התחום זז איתו

$a=3$ , קיצון של $g$ ב- $x=4$ , תחום $x \geq 3$ . $f(x-3)$ מזיזה ימינה: מי שעונה $x=-2$ הזיז לכיוון הלא נכון.

Check the answer on elev

Exercise 4

הגרף של f′

בשרטוט הגרף של $f'$ , הנגזרת של פונקציה $f$ המוגדרת ב- $x \leq 4$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ רק ב- $x=3$ . מה נכון לגבי $f$ ?

מקסימום ב- $x=3$ בלבד
מינימום ב- $x=3$ ומקסימום בקצה $x=4$
אין לה נקודות קיצון, כי $f'$ יורדת
מקסימום ב- $x=3$ ומינימום בקצה $x=4$

Show the answer and the solution

Answer: D מקסימום ב- $x=3$ ומינימום בקצה $x=4$

Worked solution:

x<3: \ f'>0 \qquad 3<x<4: \ f'<0

קוראים סימנים

x=3: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max

קיצון פנימי

x=4: \ \text{קצה} \ \Rightarrow \ \min

מגיעה אליו בירידה

הנכונה: מקסימום ב- $x=3$ ומינימום בקצה $x=4$ . זו הנגזרת של $f(x)=x+2\sqrt{4-x}$ : מקסימום $(3,\,5)$ ומינימום בקצה $(4,\,4)$ . «מקסימום בלבד» שכח את הקצה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=x+2\sqrt{4-x}$ , ונתונה $g(x)=-f(x)$ . מהו הערך הקטן ביותר של $g$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -5

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{1}{\sqrt{4-x}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

הקיצון של $f$

\begin{aligned}f(3) &= 3+2 \\ &= 5 \ \\ \quad f(4) &= 4\end{aligned}

מקסימום ב- $x=3$ , מינימום בקצה

g(3)=-5

שיקוף: המקסימום של $f$ הוא המינימום של $g$

הערך הקטן ביותר של $g$ הוא $-5$ . הוא מוחלט, כי $5$ הוא הערך הגדול ביותר של $f$ : כש- $x$ קטן בלי גבול, גם $f$ קטנה בלי גבול.

Check the answer on elev

1 — פרמטר מתוך נקודה, ואז חקירה

2 — משוואת משיק ונקודת חיתוך

3 — פרמטר, ואז הזזה של הגרף

4 — קוראים את fff מתוך הגרף של f′f'f′

Exercises

Keep practising on elev

4 — קוראים את $f$ מתוך הגרף של $f'$