Composite figures: a triangle in a circle, a quadrilateral · Law of sines · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משפט הסינוסים ושטח בעזרת סינוס עובדים בתוך משולש. בצורה מורכבת מחפשים את המשולשים שבתוכה, ואת הצלע שמשותפת לשניים מהם. באלכסון של מרובע מחשבים במשולש הראשון, ומשתמשים בו שוב במשולש השני.

האלכסון

BD

חוצה את המרובע

ABCD

לשני משולשים:

ABD

ו-

CBD

. הוא צלע בשניהם.

בשרטוט נתונים $AD$ , $\angle A$ ו- $\angle ADB$ , ובמשולש השני $\angle CBD$ ו- $\angle BDC$ . באיזה משולש מתחילים, ומה מוצאים בו?

Show the answer and the solution

מתחילים ב- $\triangle ABD$ : שם יש שתי זוויות וצלע, כלומר משולש שאפשר לפתור. מוצאים את $\angle ABD$ ואחר כך את $BD$ במשפט הסינוסים. אחר כך $BD$ היא הצלע הידועה של $\triangle CBD$ .

שרשרת דרך האלכסון

במרובע $ABCD$ נתון $AD = 10$ , $\angle A = 70^\circ$ , $\angle ADB = 50^\circ$ , $\angle CBD = 40^\circ$ ו- $\angle BDC = 35^\circ$ . מצאו את $BD$ , את $CD$ ואת שטח המרובע.

\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

ב- $\triangle ABD$

BD = \frac{10 \sin 70^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 10.85

משפט הסינוסים: $BD$ מול $\angle A$ , $AD$ מול $\angle ABD$

\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 40^\circ - 35^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

ב- $\triangle CBD$

CD = \frac{BD \sin 40^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 7.22

$CD$ מול $\angle CBD$

S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot BD \cdot \sin 50^\circ + \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD \cdot \sin 35^\circ \approx 64.03

שטח המרובע: סכום שטחי שני המשולשים

משולש חסום במעגל

משפט הסינוסים מדבר על המעגל החוסם. לכן במעגל נתון, כל מיתר קשור לכל זווית היקפית שנשענת עליו: מיתר = קוטר כפול הסינוס של הזווית ההיקפית. וכל המשולשים שחסומים באותו מעגל חולקים את אותו $2R$ .

מרובע חסום במעגל. האלכסון

BD

הוא מיתר, ושני המשולשים

ABD

ו-

CBD

חסומים באותו מעגל. הזוויות

\alpha

ו-

180^\circ - \alpha

נשענות על

BD

משני צדיו.

AB = 2R\sin\angle ACB

לכל נקודה $C$ על המעגל, חוץ מ- $A$ ומ- $B$ .

במעגל שרדיוסו $5$ , הזווית ההיקפית שנשענת על המיתר $AB$ היא $30^\circ$ . מה אורך $AB$ ?

Show the answer and the solution

$AB = 2 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ = 5$ . המיתר שווה לרדיוס, ולכן המשולש $AOB$ שווה צלעות, והזווית המרכזית $60^\circ$ : פעמיים הזווית ההיקפית.

במרובע חסום הזוויות הנגדיות משלימות ל- $180^\circ$ , ולכן $\sin A = \sin C$ . שני המשולשים שהאלכסון $BD$ יוצר נותנים אותו $\frac{BD}{\sin}$ , כמו שצריך: אותו מעגל, אותו $2R$ .

שלוש טעויות בצורות מורכבות.

\frac{BD}{\sin\angle ABC}

\frac{BD}{\sin\angle BAD}

במשולש $ABD$ הזווית שמול $BD$ היא ב- $A$ . $\angle ABC$ היא זווית של המרובע, ו- $BD$ חוצה אותה.

S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD \cdot \sin A

S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{CBD}

אין נוסחת «שתי צלעות וזווית» למרובע כללי. מחלקים למשולשים.

R_{ABD} \neq R_{CBD}

R_{ABD} = R_{CBD}

אם המרובע חסום במעגל, יש מעגל אחד. אם הוא לא חסום, אין סיבה שהרדיוסים יהיו שווים.

Exercises

Exercise 1

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו.

המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $7$ . נתון $\angle BAC = 50^\circ$ . מצאו את אורך המיתר $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 10.72

Worked solution:

BC = 2R \sin\angle BAC

משפט הסינוסים: $BC$ מול $\angle A$

BC = 14 \sin 50^\circ \approx 10.72

$BC \approx 10.72$ . המלכודת: להשתמש בזווית המרכזית $\angle BOC = 100^\circ$ במקום בזווית ההיקפית.

Check the answer on elev

Exercise 2

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו.

הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ נמצאות על מעגל. $AB = 10$ ו- $\angle ACB = 30^\circ$ . מצאו את רדיוס המעגל.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\frac{10}{\sin 30^\circ} = 2R

$AB$ מול $\angle C$

\begin{aligned}2R &= 20 \ \Rightarrow \ R \\ &= 10\end{aligned}

$R = 10$ . המלכודת: לענות $20$ , הקוטר.

Check the answer on elev

Exercise 3

במרובע $ABCD$ נתון $AB = 8$ , $AD = 6$ , $\angle A = 60^\circ$ , ו- $BC = 2$ , $CD = 6$ , $\angle C = 120^\circ$ . מהו שטח המרובע?

$12\sqrt{3}$
$15\sqrt{3}$
$9\sqrt{3}$
$18\sqrt{3}$

Show the answer and the solution

Answer: B $15\sqrt{3}$

Worked solution:

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 12\sqrt{3}\end{aligned}

$\angle A$ בין $AB$ ל- $AD$

\begin{aligned}S_{CBD} &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ \\ &= 3\sqrt{3}\end{aligned}

$\angle C$ בין $CB$ ל- $CD$

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 12\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \\ &= 15\sqrt{3}\end{aligned}

האלכסון $BD$ מחלק את המרובע

הנכונה: $15\sqrt{3}$ . המלכודת: $12\sqrt{3}$ , רק המשולש הראשון. ו- $18\sqrt{3}$ מתקבל כשכותבים $\sin 120^\circ = 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו.

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $5$ . נתון $\angle B = 40^\circ$ ו- $\angle C = 65^\circ$ . מצאו את היקף המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 25.15

Worked solution:

\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 40^\circ - 65^\circ \\ &= 75^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}a &= 10\sin 75^\circ \\ \quad b &= 10\sin 40^\circ \\ \quad c &= 10\sin 65^\circ\end{aligned}

כל צלע היא $2R$ כפול הסינוס של הזווית שמולה

P = 10(\sin 75^\circ + \sin 40^\circ + \sin 65^\circ) \approx 25.15

ההיקף $\approx 25.15$ . המלכודת: לחשב רק שתי צלעות, כי רק שתי זוויות נתונות. הזווית השלישית נותנת את הצלע השלישית.

Check the answer on elev

Exercise 5

המעגל לא מצויר.

המרובע $ABCD$ חסום במעגל. מחשבים $\frac{BD}{2\sin A}$ במשולש $ABD$ ו- $\frac{BD}{2\sin C}$ במשולש $CBD$ . שתי התוצאות שוות.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\angle A + \angle C = 180^\circ

במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות

\begin{aligned}\sin C &= \sin(180^\circ - A) \\ &= \sin A\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{BD}{2\sin A} &= \frac{BD}{2\sin C} \\ &= R\end{aligned}

אותו מעגל חוסם

נכון: שני המשולשים חסומים באותו מעגל, ולכן נותנים אותו $R$ . המלכודת: לחשוב ש- $\angle A \neq \angle C$ מחייב תוצאות שונות. הזוויות שונות, הסינוסים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 6

במרובע $ABCD$ נתון $AD = 9$ , $\angle A = 75^\circ$ ו- $\angle ADB = 45^\circ$ . באותו מרובע $\angle CBD = 50^\circ$ ו- $\angle BDC = 30^\circ$ . מצאו את $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 5.1

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

ב- $\triangle ABD$

BD = \frac{9 \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 10.04

משפט הסינוסים ב- $\triangle ABD$

\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 30^\circ \\ &= 100^\circ\end{aligned}

ב- $\triangle CBD$

BC = \frac{BD \sin 30^\circ}{\sin 100^\circ} \approx 5.1

$BC$ מול $\angle BDC$

$BC \approx 5.1$ . המלכודת: לחבר את $BC$ לזווית $\angle CBD$ . היא יוצאת מ- $B$ , והצלע שמולה היא $CD$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

במקבילית $ABCD$ נתון $AB = 10$ . האלכסון $BD$ יוצר את הזוויות $\angle ABD = 30^\circ$ ו- $\angle ADB = 45^\circ$ . מצאו את שטח המקבילית (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 68.3

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{AD}{\sin 30^\circ} &= \frac{10}{\sin 45^\circ} \ \Rightarrow \ AD \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

משפט הסינוסים ב- $\triangle ABD$

\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

S = 10 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ \approx 68.3

שטח מקבילית

השטח $\approx 68.3$ . המלכודת: לעצור בשטח $\triangle ABD$ , שהוא רק חצי מהמקבילית.

Check the answer on elev

Exercise 8

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו.

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $6$ , הזווית המרכזית $\angle AOB = 100^\circ$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה $AB$ . מצאו את $AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 9.19

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2} \cdot 100^\circ \\ &= 50^\circ\end{aligned}

זווית היקפית היא חצי מהזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת

\frac{AB}{\sin 50^\circ} = 2 \cdot 6

משפט הסינוסים במשולש $ABC$

AB = 12 \sin 50^\circ \approx 9.19

$AB \approx 9.19$ . המלכודת: $12 \sin 100^\circ \approx 11.82$ , עם הזווית המרכזית.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ . נתון $AB = 12$ , $\angle B = 40^\circ$ , $\angle ADB = 100^\circ$ ו- $\angle C = 35^\circ$ . מצאו את $DC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 12.38

Worked solution:

\frac{AD}{\sin 40^\circ} = \frac{12}{\sin 100^\circ} \ \Rightarrow \ AD \approx 7.83

משפט הסינוסים ב- $\triangle ABD$ : $AD$ מול $\angle B$

\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 100^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

זוויות צמודות

\begin{aligned}\angle DAC &= 180^\circ - 80^\circ - 35^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות ב- $\triangle ADC$

\frac{DC}{\sin 65^\circ} = \frac{AD}{\sin 35^\circ} \ \Rightarrow \ DC \approx 12.38

משפט הסינוסים ב- $\triangle ADC$ : $DC$ מול $\angle DAC$

$DC \approx 12.38$ . המלכודת: להשאיר $100^\circ$ גם במשולש $ADC$ . בנקודה $D$ יש שתי זוויות צמודות, ובמשולש $ADC$ הזווית היא $80^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו, אמצע

BC

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $4$ . זוויותיו: $\angle A = 90^\circ$ , $\angle B = 30^\circ$ , $\angle C = 60^\circ$ . מהו שטח המשולש?

$4\sqrt{3}$
$16\sqrt{3}$
$8\sqrt{3}$
$8$

Show the answer and the solution

Answer: C $8\sqrt{3}$

Worked solution:

\begin{aligned}BC &= 2R \\ &= 8\end{aligned}

$\sin 90^\circ = 1$ : היתר הוא קוטר

\begin{aligned}AC &= 8\sin 30^\circ \\ &= 4 \\ \quad AB &= 8\sin 60^\circ \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

משפט הסינוסים

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin 90^\circ \\ &= 8\sqrt{3}\end{aligned}

שני הניצבים והזווית הישרה

הנכונה: $8\sqrt{3}$ . המלכודת: $16\sqrt{3}$ , בלי החצי, או $4\sqrt{3}$ , כשלוקחים $R$ במקום $2R$ .

Check the answer on elev

משולש חסום במעגל

Exercises

Keep practising on elev