Set 3 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל, והנתונים חוזרים בכל אחד. השאלה השלישית מחברת את הפרק לגאומטריה האנליטית, כמו בבחינה: זווית משיפוע, ואחריה שטח ורדיוס.

בבחינה סעיף משתמש בתוצאה של הסעיף הקודם. שמרו את התוצאות המלאות במחשבון ועגלו רק בסוף, אחרת הטעות של העיגול גדלה מסעיף לסעיף.

Exercises

Exercise 1

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66. נתון ∠BAC=40∘\angle BAC = 40^\circ ו-∠ABC=75∘\angle ABC = 75^\circ. א. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 7.71

Worked solution:

BCsin⁡40∘=2R=12\begin{aligned}\frac{BC}{\sin 40^\circ} &= 2R \\ &= 12\end{aligned}

משפט הסינוסים: BCBC מול ∠A\angle A

BC=12sin⁡40∘≈7.71BC = 12 \sin 40^\circ \approx 7.71

BC≈7.71BC \approx 7.71. המלכודת: Rsin⁡40∘R\sin 40^\circ, בלי ה-22.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66. נתון ∠BAC=40∘\angle BAC = 40^\circ ו-∠ABC=75∘\angle ABC = 75^\circ. ב. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 11.59

Worked solution:

AC=2Rsin⁡∠ABCAC = 2R\sin\angle ABC

ACAC מול ∠B\angle B

AC=12sin⁡75∘≈11.59AC = 12 \sin 75^\circ \approx 11.59

AC≈11.59AC \approx 11.59. המלכודת: לחשב עם ∠C\angle C. ∠C\angle C מול ABAB.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66. נתון ∠BAC=40∘\angle BAC = 40^\circ ו-∠ABC=75∘\angle ABC = 75^\circ. ג. מצאו את שטח המשולש ABCABC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 40.52

Worked solution:

∠ACB=180∘−40∘−75∘=65∘\begin{aligned}\angle ACB &= 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

הזווית שבין BCBC ל-ACAC

S=12⋅BC⋅AC⋅sin⁡65∘≈40.52S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin 65^\circ \approx 40.52

שתי הצלעות מסעיפים א ו-ב

השטח ≈40.52\approx 40.52. המלכודת: 12⋅BC⋅AC⋅sin⁡40∘\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin 40^\circ. הזווית שבין BCBC ל-ACAC היא ∠C\angle C.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABCD

במרובע ABCDABCD האלכסון BDBD חוצה את המרובע לשני משולשים. נתון AB=7AB = 7, ∠ABD=65∘\angle ABD = 65^\circ ו-∠ADB=35∘\angle ADB = 35^\circ. עוד נתון ∠DBC=45∘\angle DBC = 45^\circ ו-∠BCD=95∘\angle BCD = 95^\circ. א. מצאו את BDBD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 12.02

Worked solution:

∠BAD=180∘−65∘−35∘=80∘\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ - 65^\circ - 35^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

הזווית שמול BDBD

BDsin⁡80∘=7sin⁡35∘ ⇒ BD≈12.02\frac{BD}{\sin 80^\circ} = \frac{7}{\sin 35^\circ} \ \Rightarrow \ BD \approx 12.02

משפט הסינוסים ב-△ABD\triangle ABD: ABAB מול ∠ADB\angle ADB

BD≈12.02BD \approx 12.02. המלכודת: 7sin⁡80∘sin⁡65∘\frac{7 \sin 80^\circ}{\sin 65^\circ}. ∠ABD\angle ABD יוצאת מ-BB, והצלע שמולה היא ADAD, לא ABAB.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCD

במרובע ABCDABCD האלכסון BDBD חוצה את המרובע לשני משולשים. נתון AB=7AB = 7, ∠ABD=65∘\angle ABD = 65^\circ ו-∠ADB=35∘\angle ADB = 35^\circ. עוד נתון ∠DBC=45∘\angle DBC = 45^\circ ו-∠BCD=95∘\angle BCD = 95^\circ. ב. מצאו את CDCD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 8.53

Worked solution:

CDsin⁡45∘=BDsin⁡95∘\frac{CD}{\sin 45^\circ} = \frac{BD}{\sin 95^\circ}

משפט הסינוסים ב-△BCD\triangle BCD: CDCD מול ∠DBC\angle DBC, BDBD מול ∠C\angle C

CD≈12.02sin⁡45∘sin⁡95∘≈8.53CD \approx \frac{12.02 \sin 45^\circ}{\sin 95^\circ} \approx 8.53

CD≈8.53CD \approx 8.53. המלכודת: לחשוב ש-sin⁡95∘\sin 95^\circ שלילי. sin⁡95∘=sin⁡85∘≈0.996\sin 95^\circ = \sin 85^\circ \approx 0.996.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCD

במרובע ABCDABCD האלכסון BDBD חוצה את המרובע לשני משולשים. נתון AB=7AB = 7, ∠ABD=65∘\angle ABD = 65^\circ ו-∠ADB=35∘\angle ADB = 35^\circ. עוד נתון ∠DBC=45∘\angle DBC = 45^\circ ו-∠BCD=95∘\angle BCD = 95^\circ. ג. מצאו את שטח המרובע ABCDABCD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 71.08

Worked solution:

SABD=12⋅7⋅BD⋅sin⁡65∘≈38.12S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot BD \cdot \sin 65^\circ \approx 38.12

∠ABD\angle ABD בין ABAB ל-BDBD

∠BDC=180∘−45∘−95∘=40∘\begin{aligned}\angle BDC &= 180^\circ - 45^\circ - 95^\circ \\ &= 40^\circ\end{aligned}

ב-△BCD\triangle BCD

SBCD=12⋅BD⋅CD⋅sin⁡40∘≈32.95S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD \cdot \sin 40^\circ \approx 32.95

∠BDC\angle BDC בין BDBD ל-CDCD

SABCD≈71.08S_{ABCD} \approx 71.08

סכום שני המשולשים

השטח ≈71.08\approx 71.08. המלכודת: בשטח של △BCD\triangle BCD להשתמש ב-∠DBC=45∘\angle DBC = 45^\circ. היא בין BDBD ל-BCBC, ו-BCBC לא ידועה.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABC
ABAB על ציר ה-xx.

במערכת צירים נתונות הנקודות A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0) ו-C(2,4)C(2,4). א. מצאו את הזווית ∠CAB\angle CAB בעזרת שיפוע הישר ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 63.43

Worked solution:

mAC=4−02−0=2\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{4 - 0}{2 - 0} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע

tan⁡∠CAB=2 ⇒ ∠CAB≈63.43∘\tan\angle CAB = 2 \ \Rightarrow \ \angle CAB \approx 63.43^\circ

ABAB על ציר ה-xx, ולכן זו זווית השיפוע: tan⁡α=m\tan\alpha = m

∠CAB≈63.43∘\angle CAB \approx 63.43^\circ. המלכודת: tan⁡−1(12)≈26.57∘\tan^{-1}(\frac{1}{2}) \approx 26.57^\circ, כשהופכים את השיפוע ל-ΔxΔy\frac{\Delta x}{\Delta y}.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABC
ABAB על ציר ה-xx.

במערכת צירים נתונות הנקודות A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0) ו-C(2,4)C(2,4). ב. מצאו את הזווית ∠ABC\angle ABC (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

mBC=4−02−6=−1\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{4 - 0}{2 - 6} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע

tan⁡β=−1 ⇒ β=135∘\begin{aligned}\tan\beta &= -1 \ \Rightarrow \ \beta \\ &= 135^\circ\end{aligned}

זווית השיפוע של BCBC עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx

∠ABC=180∘−135∘=45∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 135^\circ \\ &= 45^\circ\end{aligned}

הזווית בתוך המשולש צמודה לזווית השיפוע

∠ABC=45∘\angle ABC = 45^\circ. המלכודת: לענות 135∘135^\circ. זו זווית השיפוע, והזווית של המשולש צמודה לה.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABC
ABAB על ציר ה-xx.

במערכת צירים נתונות הנקודות A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0) ו-C(2,4)C(2,4). ג. מצאו את שטח המשולש ABCABC בעזרת הנוסחה 12absin⁡γ\frac{1}{2}ab\sin\gamma.

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

AB=6AC=22+42=20\begin{aligned}AB &= 6 \\ \quad AC &= \sqrt{2^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

sin⁡∠CAB=420=25\begin{aligned}\sin\angle CAB &= \frac{4}{\sqrt{20}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{5}}\end{aligned}

ב-△\triangle ישר הזווית שהגובה מ-CC יוצר

S=12⋅6⋅20⋅420=12\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{20} \cdot \frac{4}{\sqrt{20}} \\ &= 12\end{aligned}

השטח 1212. בדיקה: הבסיס AB=6AB = 6 והגובה מ-CC הוא 44: 6⋅42=12\frac{6 \cdot 4}{2} = 12. המלכודת: לקחת את ∠ABC\angle ABC עם הצלעות ABAB ו-ACAC. הזווית שכלואה בין ABAB ל-ACAC היא ∠CAB\angle CAB.

Check the answer on elev

Exercise 10

ABC
ABAB על ציר ה-xx.

במערכת צירים נתונות הנקודות A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0) ו-C(2,4)C(2,4). ד. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCABC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 3.16

Worked solution:

AC=20=25\begin{aligned}AC &= \sqrt{20} \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

הצלע שמול ∠B\angle B

2R=ACsin⁡45∘=2522=210\begin{aligned}2R &= \frac{AC}{\sin 45^\circ} \\ &= \frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= 2\sqrt{10}\end{aligned}

משפט הסינוסים עם הזוג ACAC, ∠B\angle B מסעיף ב

R=10≈3.16R = \sqrt{10} \approx 3.16

R=10≈3.16R = \sqrt{10} \approx 3.16. בדיקה עם הזוג השני: BC=32BC = \sqrt{32} ו-sin⁡∠A=25\sin\angle A = \frac{2}{\sqrt{5}} נותנים אותו RR. המלכודת: לחבר את ACAC לזווית ∠A\angle A, שממנה ACAC יוצאת.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade