Set 2 — medium · Law of sines · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות של שני צעדים: מוצאים זווית שלישית ואז צלע, צלע ואז שטח, סינוס ואז שתי זוויות, שטח ואז צלע או זווית.

רשמו את הצעד הראשון לפני שמחשבים. אם הזווית הנתונה לא נמצאת מול הצלע הנתונה, הצעד הראשון הוא הזווית השלישית.

Exercises

Exercise 1

במשולש $ABC$ נתון $BC = 10$ , $\angle B = 45^\circ$ ו- $\angle C = 75^\circ$ . מצאו את $AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 11.15

Worked solution:

\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית שמול $BC$

AB = \frac{10 \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 11.15

$AB$ מול $\angle C$

$AB \approx 11.15$ . המלכודת: $\frac{10 \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$ . $\angle B$ לא מול $BC$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ נתון $BC = 8$ , $\angle B = 50^\circ$ ו- $\angle C = 70^\circ$ . מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 26.6

Worked solution:

\angle A = 60^\circ

AC = \frac{8 \sin 50^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 7.08

משפט הסינוסים

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AC \cdot \sin 70^\circ \approx 26.6

$\angle C$ בין $BC$ ל- $AC$

השטח $\approx 26.6$ . המלכודת: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AC \cdot \sin 50^\circ$ . $\angle B$ לא נמצאת בין $BC$ ל- $AC$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

שטח המעוין $ABCD$ הוא $18$ , וצלעו $6$ . מצאו את הזווית החדה של המעוין (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

18 = 6 \cdot 6 \cdot \sin\alpha

מעוין הוא מקבילית

\begin{aligned}\sin\alpha &= 0.5 \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= 30^\circ\end{aligned}

החדה. הקהה היא $150^\circ$

הזווית החדה $30^\circ$ . המלכודת: $\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \sin\alpha = 18$ , נוסחת המשולש, שנותנת $\sin\alpha = 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו.

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $5$ . נתון $\angle A = 30^\circ$ ו- $\angle B = 45^\circ$ . מצאו את היקף המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 21.73

Worked solution:

\angle C = 105^\circ

\begin{aligned}BC &= 10\sin 30^\circ \\ &= 5 \\ \quad AC &= 10\sin 45^\circ \\ \quad AB &= 10\sin 105^\circ\end{aligned}

$2R$ כפול הסינוס של הזווית שמול כל צלע

P \approx 5 + 7.07 + 9.66 = 21.73

ההיקף $\approx 21.73$ . המלכודת: $\sin 105^\circ$ לא שלילי: $\sin 105^\circ = \sin 75^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ , $AC = 8$ ו- $\angle B = 50^\circ$ . מצאו את שתי האפשרויות ל- $\angle C$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה). כתבו קודם את החדה.

$\angle C_1 =$ ____ , $\angle C_2 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $\angle C_1 =$ 73.25 , $\angle C_2 =$ 106.75

Worked solution:

\sin C = \frac{10 \sin 50^\circ}{8} \approx 0.9576

\angle C_1 \approx 73.25^\circ ,\quad \angle C_2 \approx 106.75^\circ

50^\circ + 106.75^\circ < 180^\circ

שתיהן מתאימות

שני משולשים, $ABC$ ו- $ABC'$ . המלכודת: לעצור ב- $\angle C_1$ . $\angle B$ מול הצלע הקטנה $AC$ , ולכן בודקים גם את הקהה.

Check the answer on elev

Exercise 6

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו.

הנקודות $A$ , $B$ , $C$ על מעגל. $AB = 8$ ו- $\angle ACB = 40^\circ$ . מצאו את רדיוס המעגל (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 6.22

Worked solution:

2R = \frac{8}{\sin 40^\circ}

R = \frac{4}{\sin 40^\circ} \approx 6.22

$R \approx 6.22$ . המלכודת: $\frac{8}{\sin 40^\circ} \approx 12.45$ , הקוטר.

Check the answer on elev

Exercise 7

במקבילית $ABCD$ נתון $AB = 6$ , $AD = 4$ ו- $\angle A = 135^\circ$ . מהו שטח המקבילית?

$24\sqrt{2}$
$6\sqrt{2}$
$-12\sqrt{2}$
$12\sqrt{2}$

Show the answer and the solution

Answer: D $12\sqrt{2}$

Worked solution:

\begin{aligned}\sin 135^\circ &= \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= 6 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 12\sqrt{2}\end{aligned}

הנכונה: $12\sqrt{2}$ . המלכודת: $6\sqrt{2}$ הוא שטח המשולש $ABD$ , ו- $-12\sqrt{2}$ בא מסינוס שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ הצלע $BC$ ארוכה פי $2$ מהצלע $AC$ . לכן $\angle A = 2\angle B$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{BC}{AC} &= \frac{\sin A}{\sin B} \\ &= 2\end{aligned}

משפט הסינוסים: היחס בין הצלעות הוא היחס בין הסינוסים

\begin{aligned}\angle A &= 90^\circ \\ \ \angle B &= 30^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית: $\sin 90^\circ = 2\sin 30^\circ$

90^\circ \neq 2 \cdot 30^\circ

לא נכון. המלכודת: לחשוב שהסינוס מתנהג כמו כפל. הצלעות פרופורציוניות לסינוסים, לא לזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש שווה השוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) הבסיס $BC = 10$ וזווית הראש $\angle A = 40^\circ$ . מצאו את אורך השוק (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 14.62

Worked solution:

\begin{aligned}\angle B &= \angle C \\ &= \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זוויות הבסיס שוות

\frac{AB}{\sin 70^\circ} = \frac{10}{\sin 40^\circ} \ \Rightarrow \ AB \approx 14.62

משפט הסינוסים

השוק $\approx 14.62$ . המלכודת: $AB$ מול $\angle C$ , לא מול $\angle A$ . $\frac{10 \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$ נותן שוק קצרה מהבסיס, וזה לא ייתכן מול זווית ראש של $40^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ נתון $AC = 10$ , $\angle A = 60^\circ$ , ושטח המשולש $20\sqrt{3}$ . מצאו את $AB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

20\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 10 \cdot \sin 60^\circ

נוסחת השטח, $AB$ הנעלם

\begin{aligned}20\sqrt{3} &= AB \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} \ \Rightarrow \ AB \\ &= 8\end{aligned}

$AB = 8$ . המלכודת: לשכוח את החצי שבנוסחה ולקבל $AB = 4$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev