Set 2 — medium

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: סכומים, קיצון של פונקציה צוברת, זהויות טריגונומטריות בתוך אינטגרל, שטח בין שני גרפים, רמז של כלל השרשרת, ספיקה ודרך.

בכל שטח ובכל דרך: איפה הפונקציה מחליפה סימן? זו הנקודה שבה מחלקים את הקטע. ובכל פונקציה צוברת: F ′=fF\,'=f, בלי לחשב אינטגרל.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=x3f(x)=x^3 בקטע [0, 2][0,\,2]. מחלקים את הקטע ל-44 חלקים שווים. השלימו.

s4=s_4= ____ ; S4=S_4= ____

Show the answer and the solution

Answer: s4=s_4= 2.25 ; S4=S_4= 6.25

Worked solution:

Δx=0.5;f: 0 0.125 1 3.375 8\begin{aligned}\Delta x &= 0.5 ;\quad f: \ 0 \\ \ 0.125 \\ \ 1 \\ \ 3.375 \\ \ 8\end{aligned}

חמש נקודות

s4=0.5⋅(0+0.125+1+3.375)=2.25\begin{aligned}s_4 &= 0.5 \cdot (0+0.125+1+3.375) \\ &= 2.25\end{aligned}

תחתון

S4=0.5⋅(0.125+1+3.375+8)=6.25\begin{aligned}S_4 &= 0.5 \cdot (0.125+1+3.375+8) \\ &= 6.25\end{aligned}

עליון

S4−s4=0.5⋅8=4\begin{aligned}S_4-s_4 &= 0.5 \cdot 8 \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה מהירה

האינטגרל ∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4 נמצא בין 2.252.25 ל-6.256.25 ✓. הפער הגדול מראה ש-44 חלקים עדיין מעט.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה F(x)=∫0x(t2−4t) dtF(x)=\int_0^x (t^2-4t)\,dt. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה. השלימו.

מינימום ב-x=x= ____ ; ערך המינימום: ____

Show the answer and the solution

Answer: מינימום ב-x=x= 4 ; ערך המינימום: -10.67

Worked solution:

F ′(x)=x2−4x=x(x−4)\begin{aligned}F\,'(x) &= x^2-4x \\ &= x(x-4)\end{aligned}

המשפט היסודי

F ′(1)=−3<0F ′(5)=5>0\begin{aligned}F\,'(1) &= -3<0 \qquad F\,'(5) \\ &= 5>0\end{aligned}

ב-x=4x=4: מ-−- ל-++

F(4)=643−32=−323≈−10.67\begin{aligned}F(4) &= \tfrac{64}{3}-32 \\ &= -\tfrac{32}{3} \approx -10.67\end{aligned}

F(x)=x33−2x2F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2

ב-x=0x=0 יש מקסימום (F ′F\,' עוברת מ-++ ל-−-). מי שבחר x=2x=2 בחר את המינימום של ff, לא של FF.

Check the answer on elev

Exercise 3

היעזרו בזהות sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x וחשבו את ∫0π/2sin⁡xcos⁡x dx\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

∫12sin⁡2x dx=−14cos⁡2x\int \tfrac{1}{2}\sin 2x\,dx=-\tfrac{1}{4}\cos 2x

ארגומנט ליניארי

−14cos⁡π+14cos⁡0=14+14=0.5\begin{aligned}-\tfrac{1}{4}\cos\pi+\tfrac{1}{4}\cos 0 &= \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

מציבים

דרך שנייה: sin⁡x\sin x הוא gg ו-cos⁡x\cos x הוא g′g', ולכן הקדומה sin⁡2x2\frac{\sin^2 x}{2}, ו-12−0=0.5\frac{1}{2}-0=0.5. שתי הדרכים חייבות להסכים.

Check the answer on elev

Exercise 4

היעזרו בזהות sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2} וחשבו את ∫0πsin⁡2x dx\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.57

Worked solution:

∫1−cos⁡2x2 dx=x2−sin⁡2x4\int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}

קדומה

π2−0−(0−0)=π2≈1.57\frac{\pi}{2}-0-(0-0)=\frac{\pi}{2} \approx 1.57

sin⁡2π=sin⁡0=0\sin 2\pi=\sin 0=0

אין כלל ישיר ל-sin⁡2x\sin^2 x: sin⁡3x3\frac{\sin^3 x}{3} לא קדומה שלו (בגזירה יוצא sin⁡2xcos⁡x\sin^2 x \cos x). הזהות היא הדרך.

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של y=sin⁡xy=\sin x ו-y=cos⁡xy=\cos x בקטע [π4, 5π4]\left[\frac{\pi}{4},\,\frac{5\pi}{4}\right]. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.83

Worked solution:

sin⁡x=cos⁡x ⇒ x=π4 5π4\begin{aligned}\sin x &= \cos x \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{4} \\ \ \tfrac{5\pi}{4}\end{aligned}

שתי נקודות חיתוך סמוכות

x=π2: sin⁡x=1>cos⁡x=0\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2}: \ \sin x \\ &= 1>\cos x \\ &= 0\end{aligned}

העליון: sin⁡x\sin x

∫π/45π/4(sin⁡x−cos⁡x) dx=[−cos⁡x−sin⁡x]π/45π/4=2+2\begin{aligned}\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx &= \big[-\cos x-\sin x\big]_{\pi/4}^{5\pi/4} \\ &= \sqrt{2}+\sqrt{2}\end{aligned}

עליון פחות תחתון

22≈2.832\sqrt{2} \approx 2.83

השטח

cos⁡5π4=sin⁡5π4=−22\cos\frac{5\pi}{4}=\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}. טעות בסימן אחד כאן נותנת 00.

Check the answer on elev

Exercise 6

גזרו את 1x2+1\frac{1}{x^2+1}, והיעזרו בתוצאה כדי למצוא את ∫x(x2+1)2 dx\int \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx.

  1. 12(x2+1)+C\frac{1}{2(x^2+1)}+C
  2. x22(x2+1)2+C\frac{x^2}{2(x^2+1)^2}+C
  3. −2x2+1+C-\frac{2}{x^2+1}+C
  4. −12(x2+1)+C-\frac{1}{2(x^2+1)}+C
Show the answer and the solution

Answer: D −12(x2+1)+C-\frac{1}{2(x^2+1)}+C

Worked solution:

(1x2+1)′=−2x(x2+1)2\Big(\frac{1}{x^2+1}\Big)'=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}

הרמז

x(x2+1)2=−12⋅(1x2+1)′\frac{x}{(x^2+1)^2}=-\frac{1}{2}\cdot\Big(\frac{1}{x^2+1}\Big)'

חסר גורם −2-2

∫x(x2+1)2 dx=−12(x2+1)+C\int \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx=-\frac{1}{2(x^2+1)}+C

הקדומה

הנכונה: −12(x2+1)+C-\frac{1}{2(x^2+1)}+C. הרמז נותן −2x-2x, ובתוך האינטגרל יש רק xx: מחלקים ב-−2-2, גם בסימן.

Check the answer on elev

Exercise 7

מבריכה שבה 400400 ליטר, זורמים מים בקצב r(t)=30−6tr(t)=30-6t ליטר לדקה, כאשר 0≤t≤100 \leq t \leq 10 (חיובי: נכנסים, שלילי: יוצאים). השלימו.

כמות המים הגדולה ביותר ב-t=t= ____ , והיא ____ ליטר ; ב-t=10t=10 יש בבריכה ____ ליטר

Show the answer and the solution

Answer: כמות המים הגדולה ביותר ב-t=t= 5 , והיא 475 ליטר ; ב-t=10t=10 יש בבריכה 400 ליטר

Worked solution:

r(t)=0 ⇒ t=5\begin{aligned}r(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 5\end{aligned}

עד t=5t=5 נכנסים מים, אחר כך יוצאים

∫05(30−6t) dt=150−75=75\begin{aligned}\int_0^5 (30-6t)\,dt &= 150-75 \\ &= 75\end{aligned}

נוספו 7575 ליטר

∫010(30−6t) dt=300−300=0\begin{aligned}\int_0^{10}(30-6t)\,dt &= 300-300 \\ &= 0\end{aligned}

אחרי 1010 דקות: אותה כמות כמו בהתחלה

האינטגרל נותן שינוי. את 400400 ההתחלתיים מוסיפים בנפרד.

Check the answer on elev

Exercise 8

מהו הערך הממוצע של f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x בקטע [0, π2]\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.64

Worked solution:

∫0π/2sin⁡2x dx=1\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx=1

האינטגרל

fˉ=1π/2=2π≈0.64\begin{aligned}\bar{f} &= \frac{1}{\pi/2} \\ &= \frac{2}{\pi} \approx 0.64\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

מי שענה 11 לא חילק באורך הקטע π2\frac{\pi}{2}.

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכיחו או הפריכו: אם ff עולה בכל תחום ההגדרה שלה, אז הגרף של F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt קעור כלפי מעלה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

F ′=f ⇒ F ′′=f ′\begin{aligned}F\,' &= f \ \Rightarrow \ F\,'' \\ &= f\,'\end{aligned}

המשפט היסודי, פעמיים

f ↗ ⇒ F ′′>0f \ \nearrow \ \Rightarrow \ F\,''>0

קעירות כלפי מעלה

הטענה נכונה. הכיוון של ff קובע את הקעירות של FF, והסימן של ff קובע את הכיוון של FF. שני דברים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 10

נקודה נעה על ישר במהירות v(t)=6cos⁡2tv(t)=6\cos 2t (מ׳/ש׳). איזו דרך עברה בין t=0t=0 ל-t=π2t=\frac{\pi}{2}?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

cos⁡2t=0 ⇒ t=π4\begin{aligned}\cos 2t &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= \tfrac{\pi}{4}\end{aligned}

הנקודה מסתובבת

∫0π/46cos⁡2t dt=[3sin⁡2t]0π/4=3\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}6\cos 2t\,dt &= \big[3\sin 2t\big]_0^{\pi/4} \\ &= 3\end{aligned}

קדימה

∫π/4π/26cos⁡2t dt=0−3=−3\begin{aligned}\int_{\pi/4}^{\pi/2}6\cos 2t\,dt &= 0-3 \\ &= -3\end{aligned}

אחורה

3+3=63+3=6

הדרך

ההעתק 00, הדרך 66. בלי לחלק ב-t=π4t=\frac{\pi}{4} התשובה יוצאת אפס.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade