Set 1 — easy

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: סכומי מלבנים, המשפט היסודי, קדומות של טריגו ושל 1xn\frac{1}{x^n}, ערך ממוצע ודרך. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים נגזרת של פונקציה צוברת (אין מה לחשב), ערך (צריך קדומה), או שטח (צריך גם סימן)? ובכל קדומה: בדקתם בגזירה?

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=x+1f(x)=x+1 בקטע [0, 2][0,\,2]. מחלקים את הקטע ל-22 חלקים שווים. חשבו את הסכום התחתון s2s_2.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

Δx=1\Delta x=1

רוחב

s2=1⋅(f(0)+f(1))=1+2=3\begin{aligned}s_2 &= 1 \cdot \big(f(0)+f(1)\big) \\ &= 1+2 \\ &= 3\end{aligned}

ff עולה: הקצוות השמאליים

ff עולה, ולכן התחתון לוקח את השמאליים. S2=2+3=5S_2=2+3=5, והאינטגרל 44 ביניהם.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה F(x)=∫1x(t2+t) dtF(x)=\int_1^x (t^2+t)\,dt. חשבו את F ′(2)F\,'(2).

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

F ′(x)=x2+xF\,'(x)=x^2+x

המשפט היסודי

F ′(2)=4+2=6\begin{aligned}F\,'(2) &= 4+2 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים

הגבול התחתון 11 לא משפיע על הנגזרת. הוא משפיע רק על הערכים של FF.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהי ∫sin⁡2x dx\int \sin 2x\,dx?

  1. −12cos⁡2x+C-\frac{1}{2}\cos 2x+C
  2. 2cos⁡2x+C2\cos 2x+C
  3. −2cos⁡2x+C-2\cos 2x+C
  4. 12cos⁡2x+C\frac{1}{2}\cos 2x+C
Show the answer and the solution

Answer: A −12cos⁡2x+C-\frac{1}{2}\cos 2x+C

Worked solution:

∫sin⁡(mx) dx=−1mcos⁡(mx)+C\int\sin(mx)\,dx=-\tfrac{1}{m}\cos(mx)+C

ארגומנט ליניארי

(−12cos⁡2x)′=12sin⁡2x⋅2=sin⁡2x\begin{aligned}\Big(-\tfrac{1}{2}\cos 2x\Big)' &= \tfrac{1}{2}\sin 2x \cdot 2 \\ &= \sin 2x\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: −12cos⁡2x+C-\frac{1}{2}\cos 2x+C. שתי טעויות אפשריות: הסימן (הקדומה של sin⁡\sin מתחילה במינוס), והמקדם (מחלקים ב-22, לא כופלים).

Check the answer on elev

Exercise 4

חשבו את ∫1412x dx\int_1^4 \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

[x]14=2−1=1\begin{aligned}\big[\sqrt{x}\big]_1^4 &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

מדף הנוסחאות

12x\frac{1}{2\sqrt{x}} היא הנגזרת של x\sqrt{x}. מי שקיבל 22 שכח להחסיר את הערך בגבול התחתון.

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו את ∫0πcos⁡x2 dx\int_0^{\pi} \cos\frac{x}{2}\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

∫cos⁡x2 dx=2sin⁡x2\int\cos\tfrac{x}{2}\,dx=2\sin\tfrac{x}{2}

m=12m=\frac{1}{2}: מחלקים ב-12\frac{1}{2}, כלומר כופלים ב-22

2sin⁡π2−2sin⁡0=22\sin\tfrac{\pi}{2}-2\sin 0=2

מציבים

כש-mm שבר, החלוקה בו מגדילה. מי שקיבל 12\frac{1}{2} כפל ב-mm.

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: לכל פונקציה רציפה ff, אם F(x)=∫3xf(t) dtF(x)=\int_3^x f(t)\,dt אז F(3)=0F(3)=0.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

F(3)=∫33f(t) dt=0\begin{aligned}F(3) &= \int_3^3 f(t)\,dt \\ &= 0\end{aligned}

אינטגרל על קטע ברוחב אפס

הטענה נכונה, לכל ff. זו הנקודה היחידה שבה ערך FF ידוע בלי לדעת כלום על ff.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו הערך הממוצע של f(x)=2x+1f(x)=2x+1 בקטע [0, 4][0,\,4]?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

∫04(2x+1) dx=16+4=20\begin{aligned}\int_0^4 (2x+1)\,dx &= 16+4 \\ &= 20\end{aligned}

האינטגרל

fˉ=204=5\begin{aligned}\bar{f} &= \tfrac{20}{4} \\ &= 5\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

לפונקציה ליניארית הממוצע הוא גם f(0)+f(4)2=1+92=5\frac{f(0)+f(4)}{2}=\frac{1+9}{2}=5. לפונקציה שאינה ליניארית זה לא עובד.

Check the answer on elev

Exercise 8

גוף נע במהירות v(t)=2tv(t)=2t (מ׳/ש׳). כמה מטרים הוא עובר בחמש השניות הראשונות?

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

∫052t dt=[t2]05=25\begin{aligned}\int_0^5 2t\,dt &= \big[t^2\big]_0^5 \\ &= 25\end{aligned}

השטח מתחת לגרף המהירות

גם בלי קדומה: משולש עם בסיס 55 וגובה v(5)=10v(5)=10, 5⋅102=25\frac{5 \cdot 10}{2}=25.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל פונקציה פונקציה קדומה שלה.

  • cos⁡x\cos x
  • sin⁡x\sin x
  • 1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x}
  • 1x2\frac{1}{x^2}
  • −cos⁡x-\cos x
  • −1x-\frac{1}{x}
  • sin⁡x\sin x
  • tan⁡x\tan x
Show the answer and the solution

Answer: cos⁡x\cos x — sin⁡x\sin x · sin⁡x\sin x — −cos⁡x-\cos x · 1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x} — tan⁡x\tan x · 1x2\frac{1}{x^2} — −1x-\frac{1}{x}

Worked solution:

(−cos⁡x)′=sin⁡x(−1x)′=1x2\begin{aligned}(-\cos x)' &= \sin x \qquad \Big(-\tfrac{1}{x}\Big)' \\ &= \tfrac{1}{x^2}\end{aligned}

בודקים בגזירה

שני המינוסים הם המלכודת: ∫sin⁡x=−cos⁡x\int\sin x=-\cos x, ו-∫x−2=x−1−1\int x^{-2}=\frac{x^{-1}}{-1}.

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו את ∫136x2 dx\int_1^3 \frac{6}{x^2}\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

∫6x−2 dx=−6x\int 6x^{-2}\,dx=-\frac{6}{x}

כלל החזקה

−2−(−6)=4-2-(-6)=4

מציבים

−63−(−61)=−2+6-\frac{6}{3}-\left(-\frac{6}{1}\right)=-2+6. שני מינוסים, והתוצאה חיובית, כמו שצריך: 6x2>0\frac{6}{x^2}>0.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade