Solving together · The integral as accumulation · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: פונקציה צוברת לפי גרף, קדומה טריגונומטרית ושטח, שטח מתחת ל- $f \cdot f'$ , ובעיית תנועה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פונקציה צוברת לפי גרף

הגרף של f בקטע [0, 6]

הגרף של

f

מורכב מקטעים ישרים. הוא חותך את ציר ה-

x

ב-

x=1

וב-

x=5

Interactive activity

בשרטוט הגרף של $f$ בקטע $[0,\,6]$ . נגדיר $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ . א. חשבו את $g(2)$ ואת $g(5)$ . ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של $g$ . ג. מצאו את נקודות הקיצון של $g$ בקטע, כולל הקצוות. ד. לאיזה $x$ בקטע $0<x \leq 6$ מתקיים $g(x)=0$ ?

\begin{aligned}g(x) &= \int_0^x f(t)\,dt \\ \quad 0 \leq x \leq 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כל ערך של $g$ הוא שטח עם סימן: משולשים ומלבנים בלבד, בלי נוסחה.

א. g(2)

\begin{aligned}g(2) &= -\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 \\ &= -1+1 \\ &= 0\end{aligned}

משולש מתחת לציר ומשולש מעליו מתקזזים.

א. g(5)

\begin{aligned}g(5) &= 0+2 \cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 \\ &= 5\end{aligned}

מלבן $2 \times 2$ ועוד משולש.

ב.

g\,'=f: \quad g \searrow \ (0,1) \cup (5,6) \qquad g \nearrow \ (1,5)

הסימן של $f$ הוא הכיוון של $g$ .

ג. פנימיות

\min (1,\,-1) \qquad \max (5,\,5)

$g(1)=-1$ : משולש אחד מתחת לציר. ב- $x=5$ , $f$ עוברת מ- $+$ ל- $-$ .

ג. קצוות

(0,\,0) \ \max \qquad (6,\,4) \ \min

$g(6)=5-1=4$ . $g$ יורדת מ- $0$ , ולכן $(0,0)$ מקסימום מקומי בקצה.

ד.

\begin{aligned}g(2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

אחרי $x=2$ , $g$ עולה עד $5$ ויורדת רק עד $4$ : היא לא חוזרת ל- $0$ .

שני דברים שהשאלה בודקת: $g(2)=0$ אף ש- $f(2) \neq 0$ , והמקסימום של $g$ ב- $x=5$ , דווקא בנקודה שבה $f=0$ .

Do the activity on elev

לאיזה $x$ בקטע קצב העלייה של $g$ הוא הגדול ביותר?

Show the answer and the solution

קצב העלייה של $g$ הוא $g'=f$ . הוא הגדול ביותר כש- $f$ הגדולה ביותר: בכל הקטע $2 \leq x \leq 4$ , שם $f=2$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — קדומה טריגונומטרית ושטח

Interactive activity

קדומה של $\cos 2x$

נתונה $f(x)=\cos 2x$ . א. מצאו את הפונקציה הקדומה $F$ של $f$ שהגרף שלה עובר בנקודה $\left(\frac{\pi}{4},\,1\right)$ . ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ .

מהי הקדומה הכללית של $\cos 2x$ ?

$\frac{1}{2}\sin 2x+C$

Show the answer and the solution

ארגומנט ליניארי: מחלקים ב- $m=2$ .

$2\sin 2x+C$

Show the answer and the solution

בגזירה יוצא $4\cos 2x$ .

$-\frac{1}{2}\sin 2x+C$

Show the answer and the solution

המינוס שייך לקדומה של $\sin$ .

F(x)=\tfrac{1}{2}\sin 2x+C

בדיקה: $F'=\cos 2x$ ✓

איך מוצאים את $C$ ?

מציבים $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$

Show the answer and the solution

הנקודה על הגרף של $F$ .

מציבים $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$

Show the answer and the solution

הנקודה נתונה על הקדומה, לא על $f$ . וגם $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$ .

\begin{aligned}\tfrac{1}{2}\sin\tfrac{\pi}{2}+C &= 1 \ \Rightarrow \ C \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

$F(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}$ .

האם אפשר לחשב את השטח כ- $\int_0^{\pi/2}\cos 2x\,dx$ ?

לא: $f$ מחליפה סימן ב- $x=\frac{\pi}{4}$

Show the answer and the solution

$\cos 2x=0$ כש- $2x=\frac{\pi}{2}$ .

כן, האינטגרל הוא השטח

Show the answer and the solution

האינטגרל יוצא $0$ : החלקים מתקזזים.

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\cos 2x\,dx &= \tfrac{1}{2}\sin\pi-0 \\ &= 0\end{aligned}

אפס, אבל השטח אינו אפס.

אז מה השטח?

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

Show the answer and the solution

כל חלק נספר בערך מוחלט.

$\frac{1}{2}$

Show the answer and the solution

זה רק החלק שמעל הציר.

\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}\cos 2x\,dx &= \tfrac{1}{2} \qquad \int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos 2x\,dx \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

השטח: $1$ .

Show the answer and the solution

$F(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}$ , והשטח $1$ . שימו לב: בסעיף ב אפשר להשתמש ב- $F$ מסעיף א, כי הקבוע $C$ מתקזז בהפרש.

Do the activity on elev

מה הערך של $F(0)$ , ומה זה אומר על הגרף של $F$ ?

Show the answer and the solution

$F(0)=\frac{1}{2}$ . וגם $F(x) \geq 0$ לכל $x$ , כי $\sin 2x \geq -1$ : הגרף של $F$ נוגע בציר ה- $x$ ולא חוצה אותו.

השאלות התאומות: שאלה 2 ושאלה 5 ברשימה למטה.

3 — שטח מתחת ל- $f \cdot f'$

Interactive activity

נתונה $f(x)=1+\sin x$ , ונגדיר $g(x)=f(x) \cdot f\,'(x)$ . א. מצאו את נקודות האפס של $g$ בקטע $[0,\,2\pi]$ . ב. הראו ש- $\frac{f^2(x)}{2}$ היא פונקציה קדומה של $g$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ .

g(x)=(1+\sin x)\cos x

לחצו «להתחיל». סעיף ב הוא הרמז לסעיף ג.

א. g

g(x)=(1+\sin x)\cos x

$f\,'(x)=\cos x$ .

א. אפסים

\begin{aligned}\cos x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2} \qquad 1+\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

שני אפסים: $\frac{\pi}{2}$ ו- $\frac{3\pi}{2}$ .

ב.

\begin{aligned}\Big(\tfrac{f^2}{2}\Big)' &= \tfrac{2f \cdot f\,'}{2} \\ &= f \cdot f\,' \\ &= g\end{aligned}

כלל השרשרת.

ג. סימן

0<x<\tfrac{\pi}{2}: \ 1+\sin x>0 ,\ \cos x>0

$g>0$ : הגרף מעל הציר, אין צורך לחלק.

ג.

\begin{aligned}\Big[\tfrac{(1+\sin x)^2}{2}\Big]_0^{\pi/2} &= \tfrac{4}{2}-\tfrac{1}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

הקדומה מסעיף ב.

בלי סעיף ב היה צריך לפתוח סוגריים: $\cos x+\sin x\cos x$ . הרמז חוסך את זה.

Do the activity on elev

מה הסימן של $g$ בקטע $\left(\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2}\right)$ ?

Show the answer and the solution

$1+\sin x>0$ ו- $\cos x<0$ , ולכן $g<0$ . שטח בקטע הזה מחושב בערך מוחלט.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — בעיית תנועה

Interactive activity

מהירות, מקום ודרך

גוף נע על ישר במהירות $v(t)=3t^2-18t+24$ (מ׳/ש׳). ברגע $t=0$ הוא נמצא בנקודה $s=0$ . א. מתי הגוף עוצר? ב. מצאו את המקום $s(t)$ ואת $s(5)$ . ג. חשבו את הדרך שעבר הגוף בחמש השניות הראשונות. ד. מהי המהירות הממוצעת (ההעתק חלקי הזמן) בחמש השניות האלה?

מתי הגוף עוצר?

כש- $v(t)=0$ : $t=2$ ו- $t=4$

Show the answer and the solution

$3(t-2)(t-4)=0$ .

כש- $v\,'(t)=0$ : $t=3$

Show the answer and the solution

שם המהירות מינימלית, $v(3)=-3$ , לא אפס.

\begin{aligned}v(t) &= 3(t-2)(t-4) \\ &= 0\end{aligned}

עוצר ב- $t=2$ וב- $t=4$ .

מהו $s(t)$ ?

$s(t)=t^3-9t^2+24t$

Show the answer and the solution

קדומה של $v$ , ו- $s(0)=0$ נותן $C=0$ .

$s(t)=6t-18$

Show the answer and the solution

זו הנגזרת של $v$ : התאוצה.

\begin{aligned}s(5) &= 125-225+120 \\ &= 20\end{aligned}

$s(2)=20$ , $s(4)=16$ .

מהי הדרך?

$20+4+4=28$

Show the answer and the solution

קדימה $20$ , אחורה $4$ , שוב קדימה $4$ .

$s(5)-s(0)=20$

Show the answer and the solution

זה ההעתק. בין $t=2$ ל- $t=4$ הגוף חזר לאחור.

|s(2)-s(0)|+|s(4)-s(2)|+|s(5)-s(4)|=20+4+4

הדרך: $28$ מטר.

מהי המהירות הממוצעת?

$\frac{20}{5}=4$

Show the answer and the solution

ההעתק חלקי הזמן: הערך הממוצע של $v$ .

$\frac{v(0)+v(5)}{2}=16.5$

Show the answer and the solution

ממוצע של שני קצוות אינו ערך ממוצע.

\begin{aligned}\bar{v} &= \tfrac{1}{5}\int_0^5 v\,dt \\ &= \tfrac{20}{5} \\ &= 4\end{aligned}

מ׳/ש׳.

Show the answer and the solution

עוצר ב- $t=2$ וב- $t=4$ ; $s(5)=20$ ; דרך $28$ מטר; מהירות ממוצעת $4$ מ׳/ש׳. ההבדל בין $20$ ל- $28$ הוא כל ההבדל בין העתק לדרך.

Do the activity on elev

האם יש רגע שבו הגוף חוזר לנקודת המוצא $s=0$ בקטע $0<t \leq 5$ ?

Show the answer and the solution

לא. המקום הקטן ביותר אחרי $t=0$ הוא $s(4)=16>0$ . הגוף אף פעם לא חוזר לנקודת המוצא בחמש השניות האלה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

הגרף של f בקטע [0, 6]

בשרטוט הגרף של $f$ בקטע $[0,\,6]$ , המורכב מקטעים ישרים. נגדיר $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ . השלימו.

מקסימום של $g$ ב- $x=$ ____ , והערך ____ ; $g(6)=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום של $g$ ב- $x=$ 3 , והערך 5 ; $g(6)=$ 0

Worked solution:

0<x<3: \ f>0 \qquad 3<x<6: \ f<0

$f$ עוברת מ- $+$ ל- $-$ ב- $x=3$

\begin{aligned}g(3) &= 2 \cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 \\ &= 5\end{aligned}

מלבן ומשולש

\begin{aligned}g(6) &= 5-\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2-2 \cdot 2 \\ &= 0\end{aligned}

משולש ומלבן מתחת לציר

$g(6)=0$ אף ש- $f(6)=-2$ : השטח שמעל הציר והשטח שמתחתיו שווים.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=3\sin 3x$ . $F$ היא הפונקציה הקדומה של $f$ שהגרף שלה עובר בנקודה $\left(\frac{\pi}{3},\,4\right)$ . השלימו.

$F(x)=-\cos 3x+$ ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{2\pi}{3}\right]$ : ____

Show the answer and the solution

Answer: $F(x)=-\cos 3x+$ 3 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{2\pi}{3}\right]$ : 4

Worked solution:

\begin{aligned}F(x) &= 3 \cdot \Big(-\tfrac{1}{3}\Big)\cos 3x+C \\ &= -\cos 3x+C\end{aligned}

ארגומנט ליניארי

\begin{aligned}-\cos\pi+C &= 1+C \\ &= 4 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}\int_0^{\pi/3} 3\sin 3x\,dx &= 2 \qquad \int_{\pi/3}^{2\pi/3} 3\sin 3x\,dx \\ &= -2\end{aligned}

$f$ מחליפה סימן ב- $x=\frac{\pi}{3}$

\begin{aligned}S &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

ערכים מוחלטים

$\cos\pi=-1$ , ולכן $-\cos\pi=+1$ . מי שקיבל $C=5$ איבד את המינוס. ובשטח: $\int_0^{2\pi/3} f=0$ , אבל השטח $4$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=2+\cos x$ , ונגדיר $g(x)=f(x) \cdot f\,'(x)$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ וציר ה- $x$ בקטע $[0,\,\pi]$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= -(2+\cos x)\sin x \leq 0 \\ \quad 0 \leq x \leq \pi\end{aligned}

$2+\cos x>0$ ו- $\sin x \geq 0$ : הגרף מתחת לציר

\begin{aligned}\int_0^{\pi} g\,dx &= \Big[\tfrac{(2+\cos x)^2}{2}\Big]_0^{\pi} \\ &= \tfrac{1}{2}-\tfrac{9}{2} \\ &= -4\end{aligned}

הקדומה של $f \cdot f'$ היא $\frac{f^2}{2}$

S=4

ערך מוחלט

האינטגרל שלילי כי $f$ יורדת בקטע. מי שענה $-4$ שכח ששטח חיובי תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 4

גוף נע על ישר במהירות $v(t)=3t^2-12t+9$ (מ׳/ש׳). השלימו.

הדרך בארבע השניות הראשונות: ____ מטר ; המהירות הממוצעת (העתק חלקי זמן) באותן שניות: ____ מ׳/ש׳

Show the answer and the solution

Answer: הדרך בארבע השניות הראשונות: 12 מטר ; המהירות הממוצעת (העתק חלקי זמן) באותן שניות: 1 מ׳/ש׳

Worked solution:

v(t)=3(t-1)(t-3)

עוצר ב- $t=1$ וב- $t=3$

\begin{aligned}s(t) &= t^3-6t^2+9t: \ s(1) \\ &= 4 \\ \ s(3) &= 0 \\ \ s(4) &= 4\end{aligned}

$s(0)=0$

4+4+4=12

הדרך

\begin{aligned}\bar{v} &= \tfrac{s(4)-s(0)}{4} \\ &= \tfrac{4}{4} \\ &= 1\end{aligned}

העתק חלקי זמן

ההעתק הוא $4$ מטר, אבל הדרך $12$ . הגוף הלך קדימה, חזר לנקודת המוצא, ושוב התקדם.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=4\cos 2x$ . $F$ היא הפונקציה הקדומה של $f$ שהגרף שלה עובר בנקודה $\left(\frac{\pi}{4},\,3\right)$ . השלימו.

$F(x)=2\sin 2x+$ ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ : ____

Show the answer and the solution

Answer: $F(x)=2\sin 2x+$ 1 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ : 4

Worked solution:

\begin{aligned}F(x) &= 4 \cdot \tfrac{1}{2}\sin 2x+C \\ &= 2\sin 2x+C\end{aligned}

ארגומנט ליניארי

\begin{aligned}2\sin\tfrac{\pi}{2}+C &= 3 \ \Rightarrow \ C \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}4\cos 2x\,dx &= 2 \qquad \int_{\pi/4}^{\pi/2}4\cos 2x\,dx \\ &= -2\end{aligned}

חיתוך עם הציר ב- $\frac{\pi}{4}$

השטח $4$ , והאינטגרל על כל הקטע $0$ . מי שענה $C=3$ הציב $x=0$ במקום $x=\frac{\pi}{4}$ .

Check the answer on elev

1 — פונקציה צוברת לפי גרף

2 — קדומה טריגונומטרית ושטח

3 — שטח מתחת ל-f⋅f′f \cdot f'f⋅f′

4 — בעיית תנועה

Exercises

Keep practising on elev

3 — שטח מתחת ל- $f \cdot f'$