Speed, flow, cash flow: accumulation and average value

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מד המהירות של מכונית רושם את המהירות בכל רגע. איך יודעים כמה מטרים היא עברה? בכל רגע קצר המרחק הוא «מהירות כפול זמן». מחברים את כל הרגעים, ומקבלים את השטח מתחת לגרף המהירות. הסתכלו על הגרף.

מהירות המכונית v(t)
150123456785101520זמן (שניות)מהירות (מ׳/ש׳)
המכונית מאיצה 22 שניות, נוסעת 44 שניות במהירות קבועה ובולמת 22 שניות. הקו המקווקו בגובה 1515 הוא המהירות הממוצעת.

לפי הגרף: כמה מטרים עברה המכונית ב-88 השניות? ומה המהירות הממוצעת שלה?

Show the answer and the solution

השטח הוא טרפז: (8+4)⋅202=120\frac{(8+4) \cdot 20}{2}=120 מטר. המהירות הממוצעת: 1208=15\frac{120}{8}=15 מ׳/ש׳. מלבן בגובה 1515 וברוחב 88 מכיל אותו שטח כמו הטרפז.

השינוי המצטבר

Q(b)−Q(a)=∫abQ′(t) dtQ(b)-Q(a)=\int_a^b Q'(t)\,dt

אם יודעים את קצב השינוי Q′Q' של גודל כלשהו, האינטגרל נותן את השינוי של הגודל. זה המשפט היסודי, בשפה של בעיות מילוליות.

v(t) → ∫abv(t) dtv(t) \ \to \ \int_a^b v(t)\,dt

מהירות: ההעתק (השינוי במקום)

r(t) → ∫abr(t) dtr(t) \ \to \ \int_a^b r(t)\,dt

ספיקה (ליטר לדקה): כמות הנוזל שזרמה

c(t) → ∫abc(t) dtc(t) \ \to \ \int_a^b c(t)\,dt

תזרים מזומנים (₪ לחודש): היתרה שהצטברה. חיובי = הכנסה, שלילי = הוצאה

כשהמהירות מחליפה סימן, הגוף חוזר לאחור. האינטגרל של vv נותן את ההעתק, ושם תנועה אחורה מקזזת תנועה קדימה. הדרך שעבר הגוף היא האינטגרל של ∣v∣|v|: מחלקים את הקטע בנקודות שבהן v=0v=0.

העתק מול דרך

גוף נע על ישר במהירות v(t)=6t−3t2v(t)=6t-3t^2 (מ׳/ש׳). חשבו את ההעתק ואת הדרך בשלוש השניות הראשונות.

v(t)=3t(2−t)=0 ⇒ t=0 t=2\begin{aligned}v(t) &= 3t(2-t) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 0 \\ \ t &= 2\end{aligned}

ב-t=2t=2 הגוף עוצר ומסתובב

∫03(6t−3t2) dt=[3t2−t3]03=27−27=0\begin{aligned}\int_0^3 (6t-3t^2)\,dt &= \big[3t^2-t^3\big]_0^3 \\ &= 27-27 \\ &= 0\end{aligned}

ההעתק: הגוף חזר לנקודת המוצא

∫02v dt=12−8=4∫23v dt=0−4=−4\begin{aligned}\int_0^2 v\,dt &= 12-8 \\ &= 4 \qquad \int_2^3 v\,dt \\ &= 0-4 \\ &= -4\end{aligned}

קדימה 44 מטר, אחורה 44 מטר

4+4=84+4=8

הדרך: 88 מטר

הערך הממוצע של פונקציה

fˉ=1b−a∫abf(x) dx\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

הערך הממוצע הוא הגובה של מלבן שבסיסו הקטע [a, b][a,\,b] ושטחו שווה לאינטגרל. המהירות הממוצעת של המכונית, 1515, היא הערך הממוצע של vv.

מהו הערך הממוצע של f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x בקטע [0, π][0,\,\pi]?

Show the answer and the solution

1π∫0πsin⁡x dx=2π≈0.64\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\,dx=\frac{2}{\pi} \approx 0.64. קצת יותר מחצי מהערך המקסימלי 11.

בכל בעיה מילולית כתבו קודם יחידות: מ׳/ש׳ כפול שניות נותן מטרים; ליטר לדקה כפול דקות נותן ליטרים. אם היחידות של התשובה לא מתאימות לשאלה, חסר אינטגרל, או שיש אחד מיותר.

שלוש טעויות בצבירה.

דרך=∫03v dt=0\begin{aligned}\text{דרך} &= \int_0^3 v\,dt \\ &= 0\end{aligned}
∫02v dt+∣∫23v dt∣=8\int_0^2 v\,dt+\Big|\int_2^3 v\,dt\Big|=8

כשהמהירות מחליפה סימן, האינטגרל נותן העתק, לא דרך.

fˉ=f(a)+f(b)2\bar{f}=\frac{f(a)+f(b)}{2}
fˉ=1b−a∫abf\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f

ממוצע של שני קצוות נכון רק לפונקציה ליניארית. ל-x2x^2 בקטע [0,3][0,3]: 4.54.5 לעומת 33.

fˉ=∫abf(x) dx\bar{f}=\int_a^b f(x)\,dx
fˉ=1b−a∫abf(x) dx\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

שכחו לחלק באורך הקטע. זה השטח, לא הגובה.

Exercises

Exercise 1

גוף נע במהירות v(t)=3t2+2v(t)=3t^2+2 (מ׳/ש׳). כמה מטרים הוא עובר בשתי השניות הראשונות?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

∫02(3t2+2) dt=[t3+2t]02=8+4=12\begin{aligned}\int_0^2 (3t^2+2)\,dt &= \big[t^3+2t\big]_0^2 \\ &= 8+4 \\ &= 12\end{aligned}

v>0v>0 תמיד: הדרך שווה להעתק

המהירות חיובית בכל הקטע, ולכן אין צורך לחלק אותו. מי שענה 1414 הציב במהירות, v(2)=14v(2)=14, במקום לחשב שטח.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו הערך הממוצע של f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע [0, 3][0,\,3]?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

∫03x2 dx=9\int_0^3 x^2\,dx=9

האינטגרל

fˉ=93−0=3\begin{aligned}\bar{f} &= \frac{9}{3-0} \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

לא f(0)+f(3)2=4.5\frac{f(0)+f(3)}{2}=4.5: הפרבולה «שוהה» יותר זמן בערכים נמוכים.

Check the answer on elev

Exercise 3

למיכל שבו 5050 ליטר זורמים מים בקצב r(t)=40−4tr(t)=40-4t ליטר לדקה, כאשר 0≤t≤100 \leq t \leq 10 (דקות). כמה ליטר יהיו במיכל אחרי 1010 דקות?

Show the answer and the solution

Answer: 250

Worked solution:

∫010(40−4t) dt=[40t−2t2]010=400−200=200\begin{aligned}\int_0^{10} (40-4t)\,dt &= \big[40t-2t^2\big]_0^{10} \\ &= 400-200 \\ &= 200\end{aligned}

המים שנכנסו

50+200=25050+200=250

מוסיפים לכמות ההתחלתית

האינטגרל נותן את השינוי, 200200. את הכמות שהייתה בהתחלה מוסיפים בנפרד.

Check the answer on elev

Exercise 4

גוף נע על ישר במהירות v(t)=4−2tv(t)=4-2t (מ׳/ש׳). איזו דרך עבר הגוף בין t=0t=0 ל-t=4t=4?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

v(t)=0 ⇒ t=2\begin{aligned}v(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

הגוף מסתובב

∫02(4−2t) dt=4∫24(4−2t) dt=−4\begin{aligned}\int_0^2 (4-2t)\,dt &= 4 \qquad \int_2^4 (4-2t)\,dt \\ &= -4\end{aligned}

קדימה ואחורה

4+4=84+4=8

הדרך

∫04v dt=0\int_0^4 v\,dt=0: זה ההעתק. הגוף חזר למקום שממנו יצא, אבל עבר 88 מטר.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו הערך הממוצע של f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x בקטע [0, π2]\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]?

  1. 11
  2. 2π\frac{2}{\pi}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. π2\frac{\pi}{2}
Show the answer and the solution

Answer: B 2π\frac{2}{\pi}

Worked solution:

∫0π/2cos⁡x dx=sin⁡π2−sin⁡0=1\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx &= \sin\tfrac{\pi}{2}-\sin 0 \\ &= 1\end{aligned}

האינטגרל

fˉ=1π/2⋅1=2π≈0.64\begin{aligned}\bar{f} &= \frac{1}{\pi/2} \cdot 1 \\ &= \frac{2}{\pi} \approx 0.64\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

הנכונה: 2π\frac{2}{\pi}. 12\frac{1}{2} הוא ממוצע הקצוות 1+02\frac{1+0}{2}. 11 הוא השטח, לפני החלוקה באורך הקטע.

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: לכל פונקציה ff ולכל קטע [a, b][a,\,b], הערך הממוצע של ff בקטע שווה ל-f(a)+f(b)2\frac{f(a)+f(b)}{2}.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=x2 [0,3]: fˉ=3\begin{aligned}f(x) &= x^2 \\ \ [0,3]: \ \bar{f} &= 3\end{aligned}

דוגמה נגדית

f(0)+f(3)2=4.5≠3\frac{f(0)+f(3)}{2}=4.5 \neq 3

ממוצע הקצוות

הטענה לא נכונה. השוויון מתקיים לפונקציה ליניארית, שבה הגרף «סימטרי» סביב האמצע. דוגמה נגדית אחת מספיקה.

Check the answer on elev

Exercise 7

קצב התזרים של עסק קטן הוא c(t)=12−3tc(t)=12-3t אלפי ₪ לחודש, כאשר tt הוא הזמן בחודשים, 0≤t≤60 \leq t \leq 6. ברגע t=0t=0 היתרה היא 00. השלימו.

היתרה הגדולה ביותר מתקבלת ב-t=t= ____ , והיא ____ אלפי ₪ ; היתרה אחרי 66 חודשים: ____ אלפי ₪

Show the answer and the solution

Answer: היתרה הגדולה ביותר מתקבלת ב-t=t= 4 , והיא 24 אלפי ₪ ; היתרה אחרי 66 חודשים: 18 אלפי ₪

Worked solution:

c(t)=0 ⇒ t=4\begin{aligned}c(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4\end{aligned}

עד t=4t=4 הכנסות, אחר כך הוצאות

∫04(12−3t) dt=[12t−1.5t2]04=48−24=24\begin{aligned}\int_0^4 (12-3t)\,dt &= \big[12t-1.5t^2\big]_0^4 \\ &= 48-24 \\ &= 24\end{aligned}

היתרה המקסימלית

∫06(12−3t) dt=72−54=18\begin{aligned}\int_0^6 (12-3t)\,dt &= 72-54 \\ &= 18\end{aligned}

אחרי שישה חודשים

זו הפונקציה הצוברת B(x)=∫0xc(t) dtB(x)=\int_0^x c(t)\,dt: המקסימום שלה כש-cc עוברת מחיובי לשלילי, לא כש-cc הכי גדולה (t=0t=0).

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=kx2f(x)=kx^2, כאשר kk פרמטר. הערך הממוצע של ff בקטע [0, 2][0,\,2] הוא 88. מצאו את kk.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

∫02kx2 dx=8k3\int_0^2 kx^2\,dx=\tfrac{8k}{3}

האינטגרל

12⋅8k3=4k3=8 ⇒ k=6\begin{aligned}\frac{1}{2} \cdot \frac{8k}{3} &= \frac{4k}{3} \\ &= 8 \ \Rightarrow \ k \\ &= 6\end{aligned}

הממוצע

מי שקיבל k=3k=3 שכח לחלק באורך הקטע 22.

Check the answer on elev

Exercise 9

נקודה נעה על ישר במהירות v(t)=πsin⁡πt4v(t)=\pi\sin\frac{\pi t}{4} (מ׳/ש׳). כמה מטרים היא עוברת בין t=0t=0 ל-t=4t=4?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

∫πsin⁡πt4 dt=π⋅(−4π)cos⁡πt4=−4cos⁡πt4\begin{aligned}\int \pi\sin\tfrac{\pi t}{4}\,dt &= \pi \cdot \Big(-\tfrac{4}{\pi}\Big)\cos\tfrac{\pi t}{4} \\ &= -4\cos\tfrac{\pi t}{4}\end{aligned}

ארגומנט ליניארי, m=π4m=\frac{\pi}{4}

−4cos⁡π−(−4cos⁡0)=4+4=8\begin{aligned}-4\cos\pi-(-4\cos 0) &= 4+4 \\ &= 8\end{aligned}

v≥0v \geq 0 בכל הקטע

החלוקה ב-m=π4m=\frac{\pi}{4} היא כפל ב-4π\frac{4}{\pi}, וה-π\pi מתקזז. מי שקיבל 2π22\pi^2 כפל ב-π4\frac{\pi}{4} במקום לחלק.

Check the answer on elev

Exercise 10

הערך הממוצע של f(x)=3x2f(x)=3x^2 בקטע [0, 2][0,\,2] הוא 44. באיזה xx בקטע מתקיים f(x)=4f(x)=4? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.15

Worked solution:

fˉ=12∫023x2 dx=82=4\begin{aligned}\bar{f} &= \tfrac{1}{2}\int_0^2 3x^2\,dx \\ &= \tfrac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה של הנתון

3x2=4 ⇒ x=23≈1.15\begin{aligned}3x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15\end{aligned}

רק הפתרון החיובי נמצא בקטע

הנקודה שבה הפונקציה מגיעה לערך הממוצע איננה אמצע הקטע x=1x=1. הפתרון x=−1.15x=-1.15 נפסל: הוא מחוץ לקטע.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade