Antiderivatives: trig, 1/xⁿ and composites

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בכל נגזרת שלמדתם מסתתרת פונקציה קדומה: מה שגוזרים לכיוון אחד, «מקדימים» לכיוון השני. הנגזרת של sin⁡x\sin x היא cos⁡x\cos x, ולכן השטח מתחת ל-cos⁡x\cos x נמדד בעזרת sin⁡x\sin x. הסתכלו על הגרף.

y = cos x בקטע [0, 2π]
1x = π/20123456-1-0.50.51xy
השטח בין y=cos⁡xy=\cos x לציר ה-xx, מ-00 עד π2\frac{\pi}{2}, שווה בדיוק 11. וזה בדיוק sin⁡π2−sin⁡0\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0: הפונקציה הקדומה של cos⁡x\cos x היא sin⁡x\sin x.

לפי הגרף: מהו ∫0πcos⁡x dx\int_0^{\pi}\cos x\,dx? ומה השטח בין הגרף לציר בקטע [0, π][0,\,\pi]?

Show the answer and the solution

sin⁡π−sin⁡0=0\sin\pi-\sin 0=0: החלק שמעל הציר והחלק שמתחתיו מתקזזים. השטח הוא 1+1=21+1=2: כל חלק נספר בחיוב.

טבלת הקדומות (מדף הנוסחאות)

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

לכל n≠−1n \neq -1, גם שלילי: ∫1x3 dx=x−2−2=−12x2\int \frac{1}{x^3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^2}

∫12x dx=x+C\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\sqrt{x}+C

כי (x)′=12x(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x\,dx=\sin x+C

כי (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x\,dx=-\cos x+C

שימו לב למינוס: (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x

∫1cos⁡2x dx=tan⁡x+C\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tan x+C

כי (tan⁡x)′=1cos⁡2x(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}

ארגומנט ליניארי: f(mx+b)f(mx+b)

∫f(mx+b) dx=1m F(mx+b)+C\int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}\,F(mx+b)+C

כשגוזרים F(mx+b)F(mx+b), כלל השרשרת מוסיף גורם mm. לכן בכיוון ההפוך מחלקים ב-mm.

∫cos⁡2x dx=12sin⁡2x+C\int \cos 2x\,dx=\tfrac{1}{2}\sin 2x+C

m=2m=2

∫(3x−1)4 dx=(3x−1)515+C\int (3x-1)^4\,dx=\frac{(3x-1)^5}{15}+C

מחלקים ב-55 וגם ב-33

∫1(2x+1)3 dx=−14(2x+1)2+C\int \frac{1}{(2x+1)^3}\,dx=-\frac{1}{4(2x+1)^2}+C

(2x+1)−2−2⋅2\frac{(2x+1)^{-2}}{-2 \cdot 2}

מהי ∫sin⁡3x dx\int \sin 3x\,dx? בדקו בגזירה.

Show the answer and the solution

−13cos⁡3x+C-\frac{1}{3}\cos 3x+C. בדיקה: (−13cos⁡3x)′=−13⋅(−sin⁡3x)⋅3=sin⁡3x\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right)'=-\frac{1}{3} \cdot (-\sin 3x) \cdot 3=\sin 3x ✓

f(g(x))⋅g′(x)f(g(x)) \cdot g'(x) — כשיש רמז

∫F ′(g(x))⋅g ′(x) dx=F(g(x))+C\int F\,'\big(g(x)\big) \cdot g\,'(x)\,dx=F\big(g(x)\big)+C

זה כלל השרשרת הפוך. בבגרות השאלה נותנת בדרך כלל רמז: «גזרו את (x2+1)4(x^2+1)^4» או «הראו ש-g=f⋅f ′g=f \cdot f\,'». מזהים את הפונקציה הפנימית gg, ובודקים שהנגזרת שלה כבר כתובה ליד.

∫2x (x2+1)3 dx=(x2+1)44+C\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C

g=x2+1g=x^2+1, והגורם 2x2x הוא g ′g\,'

∫sin⁡2xcos⁡x dx=sin⁡3x3+C\int \sin^2 x \cos x\,dx=\frac{\sin^3 x}{3}+C

g=sin⁡xg=\sin x, ו-cos⁡x\cos x הוא g ′g\,'

∫f(x) f ′(x) dx=f2(x)2+C\int f(x)\,f\,'(x)\,dx=\frac{f^2(x)}{2}+C

המקרה שחוזר הכי הרבה בבגרות

ולפעמים זהות טריגונומטרית הופכת מכפלה לביטוי שיש לו קדומה ישירה: sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x, ולכן ∫sin⁡xcos⁡x dx=−14cos⁡2x+C\int \sin x\cos x\,dx=-\frac{1}{4}\cos 2x+C. ו-sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, ולכן ∫sin⁡2x dx=x2−sin⁡2x4+C\int \sin^2 x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C.

שטח עם סימן

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=sin⁡2xy=\sin 2x לבין ציר ה-xx בקטע [0, π][0,\,\pi].

sin⁡2x=0 ⇒ x=0 π2 π\begin{aligned}\sin 2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi\end{aligned}

החיתוכים עם הציר בקטע

∫0π/2sin⁡2x dx=[−12cos⁡2x]0π/2=12+12=1\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx &= \Big[-\tfrac{1}{2}\cos 2x\Big]_0^{\pi/2} \\ &= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2} \\ &= 1\end{aligned}

החלק שמעל הציר

∫π/2πsin⁡2x dx=−12−12=−1\begin{aligned}\int_{\pi/2}^{\pi}\sin 2x\,dx &= -\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2} \\ &= -1\end{aligned}

החלק שמתחת לציר

S=1+∣−1∣=2\begin{aligned}S &= 1+|-1| \\ &= 2\end{aligned}

מחברים ערכים מוחלטים

שטח בין שני גרפים

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של y=cos⁡xy=\cos x ו-y=sin⁡xy=\sin x ועל ידי ציר ה-yy, ברביע הראשון.

cos⁡x=sin⁡x ⇒ tan⁡x=1 ⇒ x=π4\begin{aligned}\cos x &= \sin x \ \Rightarrow \ \tan x \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{4}\end{aligned}

נקודת החיתוך הראשונה של הגרפים

0<x<π4: cos⁡x>sin⁡x0<x<\tfrac{\pi}{4}: \ \cos x>\sin x

בדיקה ב-x=0x=0: 1>01>0. העליון הוא cos⁡x\cos x

∫0π/4(cos⁡x−sin⁡x) dx=[sin⁡x+cos⁡x]0π/4\int_0^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx=\big[\sin x+\cos x\big]_0^{\pi/4}

עליון פחות תחתון; הקדומה של −sin⁡x-\sin x היא +cos⁡x+\cos x

=(22+22)−(0+1)=2−1≈0.41=\Big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)-(0+1)=\sqrt{2}-1 \approx 0.41

מציבים

בודקים בגזירה, תמיד. קדומה נכונה חוזרת בדיוק לפונקציה שבתוך האינטגרל, כולל המקדם. בדיקה של שורה אחת תופסת את רוב הטעויות של 1m\frac{1}{m} ושל הסימן.

ארבע טעויות בקדומות.

∫cos⁡2x dx=sin⁡2x+C\int \cos 2x\,dx=\sin 2x+C
12sin⁡2x+C\tfrac{1}{2}\sin 2x+C

בגזירה של sin⁡2x\sin 2x יוצא 2cos⁡2x2\cos 2x. שכחו לחלק ב-m=2m=2.

∫sin⁡x dx=cos⁡x+C\int \sin x\,dx=\cos x+C
−cos⁡x+C-\cos x+C

הסימן: הנגזרת של cos⁡x\cos x היא −sin⁡x-\sin x.

∫(x2+1)3 dx=(x2+1)44+C\int (x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C
∫2x(x2+1)3 dx=(x2+1)44+C\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C

הכלל עובד רק כש-g ′=2xg\,'=2x כתוב ליד. בלעדיו פותחים סוגריים.

∫1x2 dx=1x+C\int \frac{1}{x^2}\,dx=\frac{1}{x}+C
−1x+C-\frac{1}{x}+C

x−2x^{-2}: מעלים את החזקה ל-−1-1 ומחלקים ב-−1-1.

Exercises

Exercise 1

מהי ∫cos⁡3x dx\int \cos 3x\,dx?

  1. −13sin⁡3x+C-\frac{1}{3}\sin 3x+C
  2. 3sin⁡3x+C3\sin 3x+C
  3. 13sin⁡3x+C\frac{1}{3}\sin 3x+C
  4. sin⁡3x+C\sin 3x+C
Show the answer and the solution

Answer: C 13sin⁡3x+C\frac{1}{3}\sin 3x+C

Worked solution:

∫cos⁡(mx) dx=1msin⁡(mx)+C\int \cos(mx)\,dx=\tfrac{1}{m}\sin(mx)+C

ארגומנט ליניארי

(13sin⁡3x)′=13⋅3cos⁡3x=cos⁡3x\begin{aligned}\Big(\tfrac{1}{3}\sin 3x\Big)' &= \tfrac{1}{3}\cdot 3\cos 3x \\ &= \cos 3x\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: 13sin⁡3x+C\frac{1}{3}\sin 3x+C. 3sin⁡3x3\sin 3x כופל במקום לחלק. המינוס שייך לקדומה של sin⁡\sin, לא של cos⁡\cos.

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את ∫0π/2sin⁡2x dx\int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

∫sin⁡2x dx=−12cos⁡2x\int \sin 2x\,dx=-\tfrac{1}{2}\cos 2x

קדומה

−12cos⁡π−(−12cos⁡0)=12+12=1\begin{aligned}-\tfrac{1}{2}\cos\pi-\Big(-\tfrac{1}{2}\cos 0\Big) &= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2} \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

שני מינוסים: של ∫sin⁡\int\sin ושל cos⁡π=−1\cos\pi=-1. מי שקיבל 00 איבד אחד מהם.

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו את ∫124x3 dx\int_1^2 \frac{4}{x^3}\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

∫4x−3 dx=4x−2−2=−2x2\begin{aligned}\int 4x^{-3}\,dx &= \frac{4x^{-2}}{-2} \\ &= -\frac{2}{x^2}\end{aligned}

כלל החזקה עם מעריך שלילי

−24−(−2)=1.5-\tfrac{2}{4}-(-2)=1.5

מציבים

החזקה עולה מ-−3-3 ל-−2-2, לא ל-−4-4. מי שכתב 4x−4−4\frac{4x^{-4}}{-4} גזר במקום למצוא קדומה.

Check the answer on elev

Exercise 4

חשבו את ∫1912x dx\int_1^9 \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

∫12x dx=x\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\sqrt{x}

מדף הנוסחאות

9−1=2\sqrt{9}-\sqrt{1}=2

מציבים

זו הקדומה היחידה עם שורש שנדרשת השנה, והיא בדף הנוסחאות.

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו את ∫0π/42cos⁡2x dx\int_0^{\pi/4} \frac{2}{\cos^2 x}\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

∫2cos⁡2x dx=2tan⁡x\int \frac{2}{\cos^2 x}\,dx=2\tan x

מדף הנוסחאות

2tan⁡π4−2tan⁡0=22\tan\tfrac{\pi}{4}-2\tan 0=2

tan⁡π4=1\tan\frac{\pi}{4}=1

מי שחיפש קדומה בעזרת «חזקה של cos⁡\cos» נתקע: 1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x} היא נגזרת של tan⁡x\tan x, ישר מהטבלה.

Check the answer on elev

Exercise 6

גזרו את (x2−1)3(x^2-1)^3, והיעזרו בתוצאה כדי למצוא את ∫6x (x2−1)2 dx\int 6x\,(x^2-1)^2\,dx.

  1. (x2−1)33+C\frac{(x^2-1)^3}{3}+C
  2. 2(x2−1)3+C2(x^2-1)^3+C
  3. (x2−1)3+C(x^2-1)^3+C
  4. 3x2(x2−1)3+C3x^2(x^2-1)^3+C
Show the answer and the solution

Answer: C (x2−1)3+C(x^2-1)^3+C

Worked solution:

((x2−1)3)′=3(x2−1)2⋅2x=6x(x2−1)2\begin{aligned}\big((x^2-1)^3\big)' &= 3(x^2-1)^2 \cdot 2x \\ &= 6x(x^2-1)^2\end{aligned}

כלל השרשרת

∫6x(x2−1)2 dx=(x2−1)3+C\int 6x(x^2-1)^2\,dx=(x^2-1)^3+C

הנגזרת היא בדיוק מה שבתוך האינטגרל

הנכונה: (x2−1)3+C(x^2-1)^3+C. הרמז נתן נגזרת שהיא בדיוק הביטוי, ולכן אין מה לחלק. (x2−1)33\frac{(x^2-1)^3}{3} מחלק ב-33 פעם אחת מיותרת.

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: F(x)=sin⁡2xF(x)=\sin^2 x היא פונקציה קדומה של f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

F ′(x)=2sin⁡x⋅cos⁡xF\,'(x)=2\sin x \cdot \cos x

כלל השרשרת

2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\sin 2x

זהות הזווית הכפולה

הטענה נכונה. גם −12cos⁡2x-\frac{1}{2}\cos 2x היא קדומה של sin⁡2x\sin 2x. שתיהן נכונות: sin⁡2x=12−12cos⁡2x\sin^2 x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x, כלומר הן נבדלות בקבוע 12\frac{1}{2}.

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו את ∫01(2x+1)3 dx\int_0^1 (2x+1)^3\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

∫(2x+1)3 dx=(2x+1)44⋅2=(2x+1)48\begin{aligned}\int (2x+1)^3\,dx &= \frac{(2x+1)^4}{4 \cdot 2} \\ &= \frac{(2x+1)^4}{8}\end{aligned}

ארגומנט ליניארי, m=2m=2

818−18=10\frac{81}{8}-\frac{1}{8}=10

מציבים

מי שקיבל 2020 שכח לחלק ב-m=2m=2. בגבול התחתון x=0x=0 הערך הוא 18\frac{1}{8}, לא 00.

Check the answer on elev

Exercise 9

תלמידה חישבה את ∫0π/6cos⁡3x dx\int_0^{\pi/6} \cos 3x\,dx. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

∫cos⁡3x dx=3sin⁡3x+C\int \cos 3x\,dx=3\sin 3x+C
∫0π/6cos⁡3x dx=[13sin⁡3x]0π/6\int_0^{\pi/6}\cos 3x\,dx=\Big[\tfrac{1}{3}\sin 3x\Big]_0^{\pi/6}
=13sin⁡π2−13sin⁡0=13=\tfrac{1}{3}\sin\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{1}{3}\sin 0=\tfrac{1}{3}
Show the answer and the solution

Answer: ∫cos⁡3x dx=3sin⁡3x+C\int \cos 3x\,dx=3\sin 3x+C → ∫cos⁡3x dx=13sin⁡3x+C\int \cos 3x\,dx=\tfrac{1}{3}\sin 3x+C

Worked solution:

(3sin⁡3x)′=9cos⁡3x≠cos⁡3x\big(3\sin 3x\big)'=9\cos 3x \neq \cos 3x

בדיקה בגזירה פוסלת את השורה

השורה הראשונה כופלת ב-33. השורות הבאות כבר משתמשות בקדומה הנכונה, והתשובה 13\frac{1}{3} נכונה.

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=sin⁡xy=\sin x לבין ציר ה-xx בקטע [0, 2π][0,\,2\pi].

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

∫0πsin⁡x dx=[−cos⁡x]0π=1+1=2\begin{aligned}\int_0^{\pi}\sin x\,dx &= \big[-\cos x\big]_0^{\pi} \\ &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

הקשת שמעל הציר

∫π2πsin⁡x dx=−1−1=−2\begin{aligned}\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

הקשת שמתחת לציר

S=2+2=4\begin{aligned}S &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

ערכים מוחלטים

∫02πsin⁡x dx=0\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0, אבל השטח הוא 44. מחלקים את הקטע בחיתוך עם הציר x=πx=\pi.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade