The accumulation function

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

למאגר מים נכנסים ויוצאים מים. f(t)f(t) הוא הקצב (מ״ק לשעה): חיובי כשנכנסים מים, שלילי כשיוצאים. כמה מים הצטברו מרגע 00 ועד רגע xx? התשובה היא השטח עם סימן מתחת לגרף של הקצב, מ-00 עד xx. הסתכלו על הגרף.

הגרף של הקצב f(t)
4+6+1−1−6012345678-3-2-1123ty
המספרים על הגרף הם השטחים של החלקים, עם סימן: מעל הציר ++, מתחת לציר −-. הקצב מחליף סימן ב-t=4t=4.

נסמן ב-F(x)F(x) את כמות המים שהצטברה מ-00 עד xx. מהם F(3)F(3), F(4)F(4) ו-F(8)F(8)? ומתי במאגר הכי הרבה מים?

Show the answer and the solution

F(3)=6F(3)=6, F(4)=6+1=7F(4)=6+1=7, F(8)=7−1−6=0F(8)=7-1-6=0. הכי הרבה מים ב-t=4t=4: עד אז הקצב חיובי והמאגר מתמלא, ואחר כך הוא מתרוקן. המקסימום של FF הוא איפה ש-ff מחליפה סימן, לא איפה ש-ff גדולה.

הפונקציה הצוברת והמשפט היסודי

F(x)=∫axf(t) dt⟹F ′(x)=f(x)F(a)=0\begin{aligned}F(x) &= \int_a^x f(t)\,dt \qquad \Longrightarrow \qquad F\,'(x) \\ &= f(x) \\ \qquad F(a) &= 0\end{aligned}

למה F ′=fF\,'=f? מגדילים את xx בקצת, hh. לשטח נוסף פס צר ברוחב hh ובגובה בערך f(x)f(x), ולכן F(x+h)−F(x)≈f(x)⋅hF(x+h)-F(x) \approx f(x) \cdot h. מחלקים ב-hh ומקבלים את קצב השינוי של FF: הוא f(x)f(x). כלומר FF היא פונקציה קדומה של ff, זו שמתאפסת ב-aa. מכאן גם הדרך לחשב כל אינטגרל מסוים: ∫abf(x) dx=G(b)−G(a)\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a), לכל קדומה GG.

האות tt בתוך האינטגרל היא רק «משתנה פנימי». המשתנה של FF הוא הגבול העליון xx.

f>0f>0

FF עולה

f<0f<0

FF יורדת

+ → −+ \ \to \ -

ff מחליפה סימן מחיובי לשלילי: מקסימום של FF

− → +- \ \to \ +

ff מחליפה סימן משלילי לחיובי: מינימום של FF

f קיצוןf \ \text{קיצון}

ל-ff קיצון: F ′′=f ′F\,''=f\,' מחליפה סימן, ול-FF נקודת פיתול

נתונה F(x)=∫2xf(t) dtF(x)=\int_2^x f(t)\,dt עבור פונקציה ff כלשהי. מהו F(2)F(2)?

Show the answer and the solution

00, תמיד. האינטגרל מ-22 עד 22 הוא שטח ברוחב אפס. זו הנקודה שבה הגרף של FF חותך את ציר ה-xx בוודאות.

הפונקציה הצוברת בנוסחה

נתונה F(x)=∫1x(2t−4) dtF(x)=\int_1^x (2t-4)\,dt. מצאו ביטוי ל-F(x)F(x), ואת נקודת המינימום של FF.

F(x)=[t2−4t]1x=(x2−4x)−(1−4)=x2−4x+3\begin{aligned}F(x) &= \big[t^2-4t\big]_1^x \\ &= (x^2-4x)-(1-4) \\ &= x^2-4x+3\end{aligned}

קדומה, ומציבים את שני הגבולות

F(1)=1−4+3=0\begin{aligned}F(1) &= 1-4+3 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה: FF מתאפסת בגבול התחתון ✓

F ′(x)=2x−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}F\,'(x) &= 2x-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

המשפט היסודי

F(2)=4−8+3=−1\begin{aligned}F(2) &= 4-8+3 \\ &= -1\end{aligned}

ff עוברת משלילי לחיובי: מינימום (2, −1)(2,\,-1)

FF עולה זה לא FF חיובית. בגרף של הקצב למעלה FF יורדת מ-t=4t=4 ועד t=8t=8, ובכל זאת חיובית עד t=8t=8: המאגר מתרוקן, אבל עדיין יש בו מים.

שלוש טעויות בפונקציה הצוברת.

F ′(x)=f ′(x)F\,'(x)=f\,'(x)
F ′(x)=f(x)F\,'(x)=f(x)

הנגזרת של FF היא ff עצמה, לא הנגזרת של ff.

xmax⁡F=xmax⁡fx_{\max F}=x_{\max f}
xmax⁡F: f  +→−x_{\max F}: \ f \ \ + \to -

המקסימום של ff הוא הרגע שבו FF עולה הכי מהר. FF ממשיכה לעלות כל עוד f>0f>0.

F(x)=x2−4xF(x)=x^2-4x
F(x)=x2−4x+3F(x)=x^2-4x+3

ב-∫1x\int_1^x חייבים להחסיר את הערך בגבול התחתון. בדיקה: F(1)F(1) חייב להיות 00.

Exercises

Exercise 1

נתונה F(x)=∫0x(t3+1) dtF(x)=\int_0^x (t^3+1)\,dt. חשבו את F ′(2)F\,'(2).

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

F ′(x)=x3+1F\,'(x)=x^3+1

המשפט היסודי

F ′(2)=8+1=9\begin{aligned}F\,'(2) &= 8+1 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים

אין צורך לחשב את האינטגרל. מי שחישב F(2)=164+2=6F(2)=\frac{16}{4}+2=6 ענה על שאלה אחרת: ערך, לא נגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה F(x)=∫2x(3t2−2) dtF(x)=\int_2^x (3t^2-2)\,dt. חשבו את F(3)F(3).

Show the answer and the solution

Answer: 17

Worked solution:

F(x)=[t3−2t]2x=x3−2x−4\begin{aligned}F(x) &= \big[t^3-2t\big]_2^x \\ &= x^3-2x-4\end{aligned}

23−2⋅2=42^3-2 \cdot 2=4

F(3)=27−6−4=17\begin{aligned}F(3) &= 27-6-4 \\ &= 17\end{aligned}

מציבים

מי שקיבל 2121 שכח להחסיר את הערך בגבול התחתון, 44.

Check the answer on elev

Exercise 3

הגרף של f
0123456-5-4-3-2-112345xy

הגרף של ff מורכב מקטעים ישרים, כמו בשרטוט. נגדיר F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt עבור 0≤x≤60 \leq x \leq 6. חשבו את F(2)F(2).

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

F(2)=12⋅2⋅4=4\begin{aligned}F(2) &= \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \\ &= 4\end{aligned}

משולש מעל הציר, בסיס 22 וגובה 44

השטח מעל הציר נספר בחיוב. עוד לא הגענו לחלק שמתחת לציר.

Check the answer on elev

Exercise 4

הגרף של f
0123456-5-4-3-2-112345xy

לפי אותו שרטוט, עם F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt: חשבו את F(6)F(6).

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

∫02f=4\int_0^2 f=4

משולש מעל הציר

∫26f=−12⋅4⋅4=−8\begin{aligned}\int_2^6 f &= -\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \\ &= -8\end{aligned}

משולש מתחת לציר, בסיס 44 וגובה 44

F(6)=4−8=−4\begin{aligned}F(6) &= 4-8 \\ &= -4\end{aligned}

סכום עם סימנים

FF היא שטח עם סימן, ולכן יכולה להיות שלילית. מי שענה 1212 חיבר שטחים בלי סימן: זה השטח הכולל, לא F(6)F(6).

Check the answer on elev

Exercise 5

הגרף של f
0123456-5-4-3-2-112345xy

לפי אותו שרטוט, עם F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt: באיזה xx מקבלת FF את הערך הגדול ביותר בקטע [0, 6][0,\,6]?

  1. x=4x=4
  2. x=6x=6
  3. x=2x=2
  4. x=0x=0
Show the answer and the solution

Answer: C x=2x=2

Worked solution:

0<x<2: f>0 ⇒ F ↗0<x<2: \ f>0 \ \Rightarrow \ F \ \nearrow

עולה

2<x<6: f<0 ⇒ F ↘2<x<6: \ f<0 \ \Rightarrow \ F \ \searrow

יורדת

F(2)=4F(2)=4

ff מחליפה סימן מ-++ ל-−-: מקסימום

הנכונה: x=2x=2. ב-x=0x=0 הערך של ff הכי גדול, אבל F(0)=0F(0)=0. ב-x=4x=4 הערך של ff הכי קטן: שם FF יורדת הכי מהר.

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: אם f(t)>0f(t)>0 לכל tt, אז F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt חיובית לכל xx.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

F(0)=0F(0)=0

בגבול התחתון

f(t)=1: F(x)=x ⇒ F(−1)=−1<0\begin{aligned}f(t) &= 1: \ F(x) \\ &= x \ \Rightarrow \ F(-1) \\ &= -1<0\end{aligned}

דוגמה נגדית

הטענה לא נכונה. f>0f>0 אומר ש-FF עולה, לא ש-FF חיובית. FF עולה ומתאפסת ב-00, ולכן משמאל ל-00 היא שלילית.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה F(x)=∫1x(2t−6) dtF(x)=\int_1^x (2t-6)\,dt. השלימו.

F(x)=x2−6x+F(x)=x^2-6x+ ____ ; מינימום ב-x=x= ____ , ערך המינימום ____ ; F(x)=0F(x)=0 גם ב-x=x= ____

Show the answer and the solution

Answer: F(x)=x2−6x+F(x)=x^2-6x+ 5 ; מינימום ב-x=x= 3 , ערך המינימום -4 ; F(x)=0F(x)=0 גם ב-x=x= 5

Worked solution:

F(x)=[t2−6t]1x=x2−6x−(1−6)=x2−6x+5\begin{aligned}F(x) &= \big[t^2-6t\big]_1^x \\ &= x^2-6x-(1-6) \\ &= x^2-6x+5\end{aligned}

קדומה ושני גבולות

F ′(x)=2x−6=0 ⇒ x=3F(3)=−4\begin{aligned}F\,'(x) &= 2x-6 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \quad F(3) &= -4\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

x2−6x+5=(x−1)(x−5)=0\begin{aligned}x^2-6x+5 &= (x-1)(x-5) \\ &= 0\end{aligned}

x=1x=1 ידוע מראש; השני x=5x=5

אחד השורשים של FF ידוע בלי חישוב: הגבול התחתון x=1x=1.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt. התאימו לכל תכונה של ff את מה שהיא אומרת על FF.

  • f>0f>0 בקטע
  • f<0f<0 בקטע
  • ff מחליפה סימן מ-++ ל-−-
  • ל-ff יש מקסימום
  • FF יורדת בקטע
  • FF עולה בקטע
  • ל-FF מקסימום
  • ל-FF נקודת פיתול
Show the answer and the solution

Answer: f>0f>0 בקטע — FF עולה בקטע · f<0f<0 בקטע — FF יורדת בקטע · ff מחליפה סימן מ-++ ל-−- — ל-FF מקסימום · ל-ff יש מקסימום — ל-FF נקודת פיתול

Worked solution:

F ′=fF\,'=f

הסימן של ff הוא כיוון FF

F ′′=f ′F\,''=f\,'

הכיוון של ff הוא הקעירות של FF

שתי שכבות: הסימן של ff קובע עלייה וירידה של FF, והעלייה והירידה של ff קובעות את הקעירות של FF.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה F(x)=∫0x(t2−9) dtF(x)=\int_0^x (t^2-9)\,dt. באיזה xx יש ל-FF נקודת מינימום?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

F ′(x)=x2−9=0 ⇒ x=±3\begin{aligned}F\,'(x) &= x^2-9 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

נקודות חשודות

F ′(2)=−5<0F ′(4)=7>0\begin{aligned}F\,'(2) &= -5<0 \qquad F\,'(4) \\ &= 7>0\end{aligned}

סביב x=3x=3: מ-−- ל-++

F ′(−4)=7>0F ′(−2)=−5<0\begin{aligned}F\,'(-4) &= 7>0 \qquad F\,'(-2) \\ &= -5<0\end{aligned}

סביב x=−3x=-3: מקסימום

המינימום ב-x=3x=3. x=−3x=-3 הוא מקסימום. מי שבחר לפי «איפה x2−9x^2-9 הכי קטנה» ענה x=0x=0: שם FF יורדת הכי מהר.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה F(x)=∫0x(at+2) dtF(x)=\int_0^x (at+2)\,dt, כאשר aa פרמטר, וידוע ש-F(2)=10F(2)=10. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

F(x)=a2x2+2xF(x)=\tfrac{a}{2}x^2+2x

קדומה, ו-F(0)=0F(0)=0

F(2)=2a+4=10 ⇒ a=3\begin{aligned}F(2) &= 2a+4 \\ &= 10 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

בתוך האינטגרל aa הוא קבוע, והמשתנה הוא tt. בדיקה: ∫02(3t+2) dt=6+4=10\int_0^2 (3t+2)\,dt=6+4=10 ✓

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade