Approximating an area with rectangles · The integral as accumulation · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מכונית נוסעת במהירות משתנה. אם המהירות הייתה קבועה, המרחק היה «מהירות כפול זמן»: שטח של מלבן. כשהמהירות משתנה, מחלקים את הזמן לחלקים קטנים ומניחים שבכל חלק המהירות כמעט קבועה. כך השטח מתחת לגרף מתקרב בעזרת סכום של מלבנים. הסתכלו על הגרף לפני כל נוסחה.

y = x² + 1 בקטע [0, 3], שלושה חלקים

הקו המלא: מלבנים מתחת לעקומה, בגובה הקצה השמאלי של כל חלק. הקו המקווקו: מלבנים מעל העקומה, בגובה הקצה הימני. השטח האמיתי נמצא ביניהם.

לפי הגרף: חשבו את שני הסכומים. בין אילו מספרים נמצא השטח המדויק מתחת ל- $y=x^2+1$ בקטע $[0,\,3]$ ?

Show the answer and the solution

רוחב כל מלבן $1$ . תחתון: $1+2+5=8$ . עליון: $2+5+10=17$ . לכן $8 < S < 17$ . (השטח המדויק הוא $12$ .)

סכום תחתון וסכום עליון

מחלקים את הקטע $[a,\,b]$ ל- $n$ חלקים שווים ברוחב $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ . בכל חלק בונים מלבן. בסכום התחתון הגובה הוא הערך הקטן ביותר של $f$ בחלק, ובסכום העליון הערך הגדול ביותר.

\begin{aligned}\Delta x &= \frac{b-a}{n} \qquad s_n \\ &= \Delta x \cdot \big(\text{min}_1+\dots+\text{min}_n\big) \qquad S_n \\ &= \Delta x \cdot \big(\text{max}_1+\dots+\text{max}_n\big)\end{aligned}

f \ \text{עולה}

הקטן בקצה השמאלי של כל חלק, הגדול בקצה הימני: $s_n$ משמאל, $S_n$ מימין

f \ \text{יורדת}

הפוך: $s_n$ לוקח את הקצוות הימניים, $S_n$ את השמאליים

s_n \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq S_n

כשמגדילים את $n$ , שני הסכומים מתקרבים זה לזה ולאינטגרל

עבור $f(x)=x^2+1$ בקטע $[0,\,3]$ עם $n=6$ חלקים, $\Delta x=0.5$ : $s_6=9.875$ ו- $S_6=14.375$ . הפער ירד מ- $9$ ל- $4.5$ . לפונקציה מונוטונית הפער הוא בדיוק $S_n-s_n=\Delta x \cdot |f(b)-f(a)|$ : כל «מדרגה» נדחפת שמאלה לעמודה אחת.

S_n-s_n=\frac{b-a}{n}\cdot\big|f(b)-f(a)\big|

עבור $f(x)=x^2+1$ בקטע $[0,\,3]$ : כמה חלקים צריך לפחות כדי שהפער $S_n-s_n$ יהיה קטן מ- $1$ ?

Show the answer and the solution

$\frac{3}{n}\cdot 9=\frac{27}{n}<1$ , ולכן $n>27$ : לפחות $28$ חלקים.

פונקציה יורדת

נתונה $f(x)=9-x^2$ בקטע $[0,\,3]$ . חלקו לשלושה חלקים שווים וחשבו את הסכום התחתון ואת הסכום העליון.

\begin{aligned}\Delta x &= \frac{3-0}{3} \\ &= 1\end{aligned}

רוחב כל חלק

\begin{aligned}f(0) &= 9 \quad f(1) \\ &= 8 \quad f(2) \\ &= 5 \quad f(3) \\ &= 0\end{aligned}

בקטע $[0,\,3]$ הפונקציה יורדת

\begin{aligned}s_3 &= 1 \cdot (8+5+0) \\ &= 13\end{aligned}

תחתון: הקצוות הימניים

\begin{aligned}S_3 &= 1 \cdot (9+8+5) \\ &= 22\end{aligned}

עליון: הקצוות השמאליים

13 \leq \int_0^3 (9-x^2)\,dx=18 \leq 22

האינטגרל אכן ביניהם

לפני כל חישוב שאלו: האם $f$ עולה או יורדת בקטע? התשובה קובעת איזה קצה נותן את הגובה הקטן. ואם $f$ לא מונוטונית, מחפשים בכל חלק את המינימום ואת המקסימום שלו.

שלוש טעויות בסכומים.

s_3=f(0)+f(1)+f(2)

s_3=f(1)+f(2)+f(3)

עבור $9-x^2$ , שיורדת, הקצה השמאלי נותן את הגובה הגדול. זה הסכום העליון.

s_4=f(0)+f(0.5)+f(1)+f(1.5)

s_4=0.5 \cdot \big(f(0)+f(0.5)+f(1)+f(1.5)\big)

שכחו לכפול ברוחב $\Delta x$ . מסכמים שטחים, לא גבהים.

n=4 \ \Rightarrow \ 4 \ \text{נקודות}

\begin{aligned}n &= 4 \ \Rightarrow \ x_0 \\ \,x_1 \\ \,\dots \\ \,x_4\end{aligned}

ארבעה חלקים נקבעים על ידי חמש נקודות, מ- $x_0=a$ עד $x_4=b$ . כל סכום משתמש בארבע מהן.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=x^2$ בקטע $[0,\,4]$ . מחלקים את הקטע ל- $4$ חלקים שווים. חשבו את הסכום התחתון $s_4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

\Delta x=1

רוחב כל חלק

\begin{aligned}s_4 &= 1 \cdot \big(f(0)+f(1)+f(2)+f(3)\big) \\ &= 0+1+4+9 \\ &= 14\end{aligned}

$f$ עולה בקטע: הקצוות השמאליים

$f$ עולה, ולכן הגובה הקטן בכל חלק הוא בקצה השמאלי. מי שכתב $30$ חישב את הסכום העליון.

Check the answer on elev

Exercise 2

המשך: עבור $f(x)=x^2$ בקטע $[0,\,4]$ עם $4$ חלקים, חשבו את הסכום העליון $S_4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

\begin{aligned}S_4 &= 1 \cdot \big(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)\big) \\ &= 1+4+9+16 \\ &= 30\end{aligned}

הקצוות הימניים

14 \leq \int_0^4 x^2\,dx=\tfrac{64}{3} \approx 21.3 \leq 30

בדיקה

העליון לוקח את הקצוות הימניים, כולל $f(4)=16$ . בדיקה מהירה: $S_4-s_4=1 \cdot (16-0)=16$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 3

הפונקציה $f$ יורדת בקטע $[a,\,b]$ . מחלקים את הקטע לחלקים שווים. באיזה גובה בונים כל עמודה של הסכום התחתון?

בערך של $f$ בקצה השמאלי של החלק
בערך של $f$ בקצה הימני של החלק
בערך של $f$ באמצע החלק
בממוצע של שני הקצוות

Show the answer and the solution

Answer: B בערך של $f$ בקצה הימני של החלק

Worked solution:

x_{k-1}<x_k \ \Rightarrow \ f(x_{k-1})>f(x_k)

פונקציה יורדת

\text{min}=f(x_k)

הערך הקטן בחלק: בקצה הימני

הנכונה: הקצה הימני. «שמאל = תחתון» נכון רק לפונקציה עולה. האמצע והממוצע נותנים קירוב, אבל לא סכום תחתון.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=2x+1$ בקטע $[1,\,3]$ . מחלקים את הקטע ל- $4$ חלקים שווים. השלימו.

$\Delta x=$ ____ ; $s_4=$ ____ ; $S_4=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $\Delta x=$ 0.5 ; $s_4=$ 9 ; $S_4=$ 11

Worked solution:

\begin{aligned}\Delta x &= \frac{3-1}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

רוחב

\begin{aligned}f(1) &= 3 \\ \ f(1.5) &= 4 \\ \ f(2) &= 5 \\ \ f(2.5) &= 6 \\ \ f(3) &= 7\end{aligned}

חמש נקודות

\begin{aligned}s_4 &= 0.5 \cdot (3+4+5+6) \\ &= 9\end{aligned}

תחתון: $f$ עולה

\begin{aligned}S_4 &= 0.5 \cdot (4+5+6+7) \\ &= 11\end{aligned}

עליון

חמש נקודות חלוקה, ארבעה מלבנים בכל סכום. מי שקיבל $18$ ו- $22$ שכח לכפול ב- $\Delta x=0.5$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: עבור $f(x)=2x+1$ בקטע $[1,\,3]$ , הממוצע של $s_4$ ושל $S_4$ שווה בדיוק ל- $\int_1^3 (2x+1)\,dx$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\frac{9+11}{2}=10

ממוצע הסכומים מהשאלה הקודמת

\begin{aligned}\int_1^3 (2x+1)\,dx &= \big[x^2+x\big]_1^3 \\ &= 12-2 \\ &= 10\end{aligned}

האינטגרל

הטענה נכונה. לגרף ישר, בכל חלק המלבן התחתון «חסר» משולש, והעליון «עודף» משולש זהה. לפרבולה זה לא נכון: ב- $x^2$ בקטע $[0,4]$ , $\frac{14+30}{2}=22 \neq \frac{64}{3}$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה $f(x)=x^3$ בקטע $[0,\,2]$ , ומחלקים את הקטע ל- $8$ חלקים שווים. חשבו את $S_8-s_8$ , בלי לחשב כל סכום בנפרד.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}\Delta x &= \frac{2}{8} \\ &= 0.25\end{aligned}

רוחב

\begin{aligned}S_8-s_8 &= \Delta x\cdot\big(f(2)-f(0)\big) \\ &= 0.25 \cdot 8 \\ &= 2\end{aligned}

פונקציה עולה: המדרגות מצטמצמות לעמודה אחת

כל ערך פנימי מופיע בשני הסכומים ומתקזז. נשארים רק $f(2)$ ב- $S_8$ ו- $f(0)$ ב- $s_8$ , כפול הרוחב.

Check the answer on elev

Exercise 7

עבור $f(x)=x^2$ בקטע $[0,\,3]$ מחלקים את הקטע ל- $n$ חלקים שווים. מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $S_n-s_n<0.1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 271

Worked solution:

\begin{aligned}S_n-s_n &= \frac{3}{n}\cdot(9-0) \\ &= \frac{27}{n}\end{aligned}

הפער לפונקציה עולה

\frac{27}{n}<0.1 \ \Rightarrow \ n>270

אי-שוויון

n=271

המספר השלם הקטן ביותר

אי-השוויון חזק: עבור $n=270$ הפער שווה בדיוק ל- $0.1$ , ולא קטן ממנו.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה $f(x)=x^2$ בקטע $[0,\,2]$ . סדרו מהקטן לגדול.

$\int_0^2 x^2\,dx$
$s_2$
$S_2$
$s_4$
$S_4$

Show the answer and the solution

Answer: $s_2$ · $s_4$ · $\int_0^2 x^2\,dx$ · $S_4$ · $S_2$

Worked solution:

\begin{aligned}s_2 &= 1 \cdot (0+1) \\ &= 1 \qquad s_4 \\ &= 0.5 \cdot (0+0.25+1+2.25) \\ &= 1.75\end{aligned}

התחתונים

\int_0^2 x^2\,dx=\tfrac{8}{3} \approx 2.67

האינטגרל

\begin{aligned}S_4 &= 0.5 \cdot (0.25+1+2.25+4) \\ &= 3.75 \qquad S_2 \\ &= 1 \cdot (1+4) \\ &= 5\end{aligned}

העליונים

כשמגדילים את $n$ , הסכום התחתון עולה והעליון יורד. שניהם מתקרבים לאינטגרל מצדדים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה $f(x)=16-x^2$ בקטע $[0,\,4]$ . מחלקים את הקטע ל- $4$ חלקים שווים. השלימו.

$s_4=$ ____ ; $S_4=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $s_4=$ 34 ; $S_4=$ 50

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= 16 \\ \ f(1) &= 15 \\ \ f(2) &= 12 \\ \ f(3) &= 7 \\ \ f(4) &= 0\end{aligned}

בקטע $[0,4]$ הפונקציה יורדת

\begin{aligned}s_4 &= 15+12+7+0 \\ &= 34\end{aligned}

תחתון: הקצוות הימניים

\begin{aligned}S_4 &= 16+15+12+7 \\ &= 50\end{aligned}

עליון: הקצוות השמאליים

34 \leq \int_0^4 (16-x^2)\,dx=\tfrac{128}{3} \approx 42.7 \leq 50

בדיקה

פונקציה יורדת: הימני הוא התחתון. מי שהפך את התשובות בנה את הסכומים כאילו $f$ עולה.

Check the answer on elev

Exercise 10

תלמיד חישב את הסכום התחתון של $f(x)=x^2$ בקטע $[0,\,2]$ עם $4$ חלקים. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\begin{aligned}\Delta x &= \frac{2-0}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

\begin{aligned}x_0 &= 0 \\ \ x_1 &= 0.5 \\ \ x_2 &= 1 \\ \ x_3 &= 1.5\end{aligned}

\begin{aligned}f(x_0) &= 0 \\ \ f(x_1) &= 0.25 \\ \ f(x_2) &= 1 \\ \ f(x_3) &= 2.25\end{aligned}

\begin{aligned}s_4 &= 0+0.25+1+2.25 \\ &= 3.5\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $s_4=0+0.25+1+2.25=3.5$ → $s_4=0.5 \cdot (0+0.25+1+2.25)=1.75$

Worked solution:

s_4=\Delta x \cdot \big(f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\big)

כל מלבן: רוחב כפול גובה

0.5 \cdot 3.5=1.75

התיקון

$3.5$ גדול אפילו מהאינטגרל $\frac{8}{3}$ : סכום תחתון לא יכול להיות גדול ממנו. זה הסימן שהרוחב נשכח.

Check the answer on elev

סכום תחתון וסכום עליון

Exercises

Keep practising on elev