Line and circle

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ישר יכול לחתוך מעגל בשתי נקודות, להשיק לו בנקודה אחת, או לפספס אותו. מי מחליט? מערכת המשוואות. מציבים את הישר במעגל ומקבלים משוואה ריבועית — ומספר הפתרונות שלה הוא מספר נקודות המפגש.

חיתוך מלא, צעד אחר צעד

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והישר y=x+1y = x + 1.

x2+(x+1)2=25x^2 + (x+1)^2 = 25

מציבים את הישר במעגל

2x2+2x−24=0 ⇒ x2+x−12=0\begin{aligned}2x^2 + 2x - 24 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}
(x+4)(x−3)=0 ⇒ x=3 x=−4\begin{aligned}(x+4)(x-3) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -4\end{aligned}

שני פתרונות — שתי נקודות חיתוך

(3,4),(−4,−3)(3, 4), \quad (-4, -3)

כל xx חוזר לישר לקבל את ה-yy שלו

איזה גודל במשוואה הריבועית מכריע בין שלושת המצבים?

Show the answer and the solution

הדיסקרימיננטה: Δ>0\Delta > 0 — שתי נקודות (חותך), Δ=0\Delta = 0 — נקודה אחת (משיק), Δ<0\Delta < 0 — אין מפגש.

הדרך הגיאומטרית — מרחק מול רדיוס

יש גם דרך בלי משוואה ריבועית: מודדים את מרחק המרכז מהישר ומשווים לרדיוס. קטן מהרדיוס — חותך; שווה — משיק; גדול — מפספס. לישר ax+by+c=0ax + by + c = 0:

d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

מרחק הנקודה (x0,y0)(x_0, y_0) מהישר. הערך המוחלט — מרחק אינו שלילי.

המעגל x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 והישר y=5y = 5. מה מצבם ההדדי?

Show the answer and the solution

מרחק המרכז (0,0)(0,0) מהישר הוא 5, והרדיוס 3. 5>35 > 3 — הישר לא נוגע במעגל כלל.

המלכודת של הפרק.

x=3 היא נקודת החיתוךx = 3 \ \text{היא נקודת החיתוך}
(3,4) היא נקודת החיתוך(3, 4) \ \text{היא נקודת החיתוך}

פתרון המשוואה נותן רק את ה-xx. נקודה היא זוג — חוזרים לישר להשלים את ה-yy.

Exercises

Exercise 1

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והישר y=x+1y = x + 1. כמה נקודות חיתוך?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x2+(x+1)2=25⇒x2+x−12=0\begin{aligned}x^2 + (x+1)^2 &= 25 \Rightarrow x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}
Δ=1+48=49>0\begin{aligned}\Delta &= 1 + 48 \\ &= 49 > 0\end{aligned}

שני פתרונות

Check the answer on elev

Exercise 2

באותה מערכת: אחת מנקודות החיתוך היא (3,y)(3, y). מהו yy?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

y=3+1=4\begin{aligned}y &= 3 + 1 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים את ה-xx בישר

Check the answer on elev

Exercise 3

המעגל x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 והישר y=5y = 5. מהו מרחק המרכז מהישר?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

d=∣5−0∣=5\begin{aligned}d &= |5 - 0| \\ &= 5\end{aligned}

ישר אופקי — המרחק הוא הפרש גבהים

Check the answer on elev

Exercise 4

באותם נתונים (r=3r = 3, d=5d = 5): מה מצבם ההדדי?

  1. הישר אינו פוגש את המעגל
  2. חותך בשתי נקודות
  3. עובר במרכז
  4. משיק
Show the answer and the solution

Answer: A הישר אינו פוגש את המעגל

Worked solution:

d=5>3=r\begin{aligned}d &= 5 > 3 \\ &= r\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 5

המעגל x2+y2=16x^2 + y^2 = 16 והישר y=4y = 4. כמה נקודות משותפות?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

d=4=r\begin{aligned}d &= 4 \\ &= r\end{aligned}

מרחק שווה רדיוס — משיק

x2+16=16⇒x=0\begin{aligned}x^2 + 16 &= 16 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה (0,4)(0,4)

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו מרחק הנקודה (0,0)(0, 0) מהישר 3x+4y−10=03x + 4y - 10 = 0?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

d=∣3⋅0+4⋅0−10∣9+16=105=2\begin{aligned}d &= \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 7

המעגל x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 והישר 3x+4y−10=03x + 4y - 10 = 0 (מרחקו מהמרכז 2). מה מצבם ההדדי?

  1. משיק
  2. הישר בתוך המעגל
  3. חותך בשתי נקודות
  4. לא נפגשים
Show the answer and the solution

Answer: A משיק

Worked solution:

d=2=r\begin{aligned}d &= 2 \\ &= r\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 8

עבור איזה c>0c > 0 הישר y=x+cy = x + c משיק למעגל x2+y2=8x^2 + y^2 = 8?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x2+(x+c)2=8⇒2x2+2cx+c2−8=0\begin{aligned}x^2 + (x+c)^2 &= 8 \Rightarrow 2x^2 + 2cx + c^2 - 8 \\ &= 0\end{aligned}
Δ=4c2−8(c2−8)=0\begin{aligned}\Delta &= 4c^2 - 8(c^2 - 8) \\ &= 0\end{aligned}
c2=16⇒c=4\begin{aligned}c^2 &= 16 \Rightarrow c \\ &= 4\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 9

המעגל (x−3)2+y2=25(x-3)^2 + y^2 = 25 והישר האנכי x=8x = 8. כמה נקודות משותפות?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

d=∣8−3∣=5=r\begin{aligned}d &= |8 - 3| \\ &= 5 \\ &= r\end{aligned}

משיק בנקודה (8,0)(8, 0)

Check the answer on elev

Exercise 10

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והישר y=7y = 7. כמה נקודות משותפות?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

d=7>5=r\begin{aligned}d &= 7 > 5 \\ &= r\end{aligned}
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade