Tangent to a circle

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משיק נוגע במעגל בנקודה אחת בדיוק — ובנקודת ההשקה הוא מאונך לרדיוס. המשפט הקטן הזה עושה את כל העבודה: מהמרכז ומנקודת ההשקה מחשבים את שיפוע הרדיוס, הופכים ומנגידים — וזה שיפוע המשיק.

mrayon⋅mtangente=−1m_{\text{rayon}} \cdot m_{\text{tangente}} = -1

שיפועים של ישרים מאונכים — מכפלתם מינוס אחת.

משיק בנקודה על המעגל

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והנקודה (3,4)(3, 4) שעליו.

mr=4−03−0=43\begin{aligned}m_r &= \frac{4 - 0}{3 - 0} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהמרכז לנקודה

mt=−34m_t = -\frac{3}{4}

הופכי ונגדי

y−4=−34(x−3)y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)

משוואת ישר בנקודה ובשיפוע — סיימנו

מהו אורך המשיק מנקודה חיצונית PP שמרחקה מהמרכז dd?

Show the answer and the solution

המשולש מרכז–השקה–PP ישר-זווית בנקודת ההשקה, ולכן פיתגורס: ℓ=d2−r2\ell = \sqrt{d^2 - r^2}.

אורך משיק במספרים

מהנקודה (9,0)(9, 0) אל המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25.

d=9r=5\begin{aligned}d &= 9 \\ \quad r &= 5\end{aligned}
ℓ=81−25=56≈7.48\begin{aligned}\ell &= \sqrt{81 - 25} \\ &= \sqrt{56} \approx 7.48\end{aligned}

הרדיוס אל נקודת ההשקה מאונך למשיק — פיתגורס עושה את השאר

מנקודה חיצונית יוצאים שני משיקים למעגל. מה אפשר לומר על אורכיהם?

Show the answer and the solution

שווים — שני המשולשים ישרי-הזווית חופפים (רדיוס משותף ויתר משותף). זה המשפט ששימושי בכל שאלות הדלתון.

ההיפוך שכולם שוכחים.

mt=−43m_t = -\frac{4}{3}
mt=−34m_t = -\frac{3}{4}

נגדי בלבד אינו מאונך — צריך גם הופכי וגם נגדי: הופכים את השבר ומחליפים סימן.

Exercises

Exercise 1

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והנקודה (3,4)(3, 4) שעליו. מהו שיפוע הרדיוס אל הנקודה? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 1.33

Worked solution:

mr=43≈1.33m_r = \frac{4}{3} \approx 1.33
Check the answer on elev

Exercise 2

באותם נתונים: מהו שיפוע המשיק בנקודה? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: -0.75

Worked solution:

mt=−34=−0.75\begin{aligned}m_t &= -\frac{3}{4} \\ &= -0.75\end{aligned}

הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס

Check the answer on elev

Exercise 3

באותם נתונים: המשיק y=−0.75x+ny = -0.75x + n. מהו nn? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 6.25

Worked solution:

4=−0.75⋅3+n4 = -0.75 \cdot 3 + n

מציבים את נקודת ההשקה

n=4+2.25=6.25\begin{aligned}n &= 4 + 2.25 \\ &= 6.25\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 4

מהנקודה (9,0)(9, 0) מעבירים משיק למעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25. מהו אורכו? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 7.48

Worked solution:

ℓ=d2−r2=81−25=56≈7.48\begin{aligned}\ell &= \sqrt{d^2 - r^2} \\ &= \sqrt{81 - 25} \\ &= \sqrt{56} \approx 7.48\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 5

מנקודה במרחק 13 ממרכז מעגל שרדיוסו 5 — מהו אורך המשיק?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

ℓ=169−25=144=12\begin{aligned}\ell &= \sqrt{169 - 25} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned}

השלשה 5-12-13

Check the answer on elev

Exercise 6

המעגל x2+y2=100x^2 + y^2 = 100 והנקודה (6,8)(6, 8) שעליו. מהו שיפוע המשיק בנקודה? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: -0.75

Worked solution:

mr=86=43\begin{aligned}m_r &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}
mt=−34m_t = -\frac{3}{4}
Check the answer on elev

Exercise 7

המעגל (x−1)2+(y−2)2=25(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 והנקודה (4,6)(4, 6) שעליו. מהו שיפוע הרדיוס אל הנקודה? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 1.33

Worked solution:

mr=6−24−1=43\begin{aligned}m_r &= \frac{6-2}{4-1} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

מהמרכז (1,2)(1,2) — לא מהראשית

Check the answer on elev

Exercise 8

מדוע המשיק בנקודת ההשקה מאונך לרדיוס?

  1. כי המעגל סימטרי
  2. כי כך הוגדר
  3. כל נקודה אחרת על המשיק רחוקה מהמרכז יותר מהרדיוס
  4. זה נכון רק במעגל היחידה
Show the answer and the solution

Answer: C כל נקודה אחרת על המשיק רחוקה מהמרכז יותר מהרדיוס

Worked solution:

d(מרכז,ישר)=rd(\text{מרכז}, \text{ישר}) = r

המרחק הקצר ביותר — האנך

נקודת ההשקה היא הנקודה הקרובה ביותר למרכז על הישר, והמרחק הקצר ביותר תמיד נמדד לאורך האנך.

Check the answer on elev

Exercise 9

משיק אופקי למעגל x2+y2=49x^2 + y^2 = 49 — באיזו נקודה עליונה הוא נוגע? כתבו את ה-yy.

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

(0,7)(0, 7)

המשיק y=7y = 7 נוגע בקודקוד העליון

Check the answer on elev

Exercise 10

מנקודה חיצונית שני משיקים באורך 8 כל אחד, והרדיוס 6. מהו מרחק הנקודה מהמרכז?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

d=ℓ2+r2=64+36=10\begin{aligned}d &= \sqrt{\ell^2 + r^2} \\ &= \sqrt{64 + 36} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס הפוך

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade