Set 3 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח פרק 4 של הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פונקציה רציונלית עם פרמטר עד נקודות הפיתול, פונקציה שנתונה רק הנגזרת שלה, וקטע אנכי ארוך ביותר בין שני גרפים.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בקודמו. לפני שמתחילים סעיף, כתבו מה כבר מצאתם: את הפרמטר, את f′f', את נקודות החיתוך.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

f′(x)=a(x2+9)−ax⋅2x(x2+9)2=a(9−x2)(x2+9)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+9)-ax \cdot 2x}{(x^2+9)^2} \\ &= \frac{a(9-x^2)}{(x^2+9)^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=3 (max⁡)x=−3 (min⁡)\begin{aligned}x &= 3 \ (\max) \\ \quad x &= -3 \ (\min)\end{aligned}

כי a>0a>0

f(3)=3a18=a6=1 ⇒ a=6\begin{aligned}f(3) &= \frac{3a}{18} \\ &= \frac{a}{6} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

הערך הגדול ביותר

המקסימום הוא ערך של ff, ולכן משווים את f(3)f(3) ל-11. מי שמשווה את f′f' ל-11 מחפש שיפוע, לא גובה.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. ב. מצאו את נקודת המינימום של ff ואת האסימפטוטה האופקית שלה.

מינימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; אסימפטוטה: y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: מינימום: x=x= -3 , y=y= -1 ; אסימפטוטה: y=y= 0

Worked solution:

f(x)=6xx2+9f(x)=\frac{6x}{x^2+9}

עם a=6a=6

f(−3)=−1818=−1\begin{aligned}f(-3) &= \frac{-18}{18} \\ &= -1\end{aligned}

המינימום

y=0y=0

דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה

הפונקציה אי-זוגית: f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). לכן המינימום הוא «השתקפות» של המקסימום (3, 1)(3,\,1). ואין אסימפטוטה אנכית: x2+9>0x^2+9>0 תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. ג. כמה נקודות פיתול יש לפונקציה ff?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′′(x)=12x(x2−27)(x2+9)3f''(x)=\frac{12x(x^2-27)}{(x^2+9)^3}

גוזרים את f′f' בכלל המנה

x=0x=±33\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x &= \pm 3\sqrt{3}\end{aligned}

אפסי המונה

x<−33:−−33<x<0:+0<x<33:−x>33:+x<-3\sqrt{3}: - \quad -3\sqrt{3}<x<0: + \quad 0<x<3\sqrt{3}: - \quad x>3\sqrt{3}: +

הסימן מתחלף בשלושתן

המכנה (x2+9)3(x^2+9)^3 תמיד חיובי ולא משפיע על הסימן. מי שעונה 11 מצא רק את x=0x=0 ושכח את הגורם x2−27x^2-27.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. ד. נתונה g(x)=k⋅f(x)g(x)=k \cdot f(x), כאשר k<0k<0. הערך הגדול ביותר של gg הוא 44. מצאו את kk.

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

k<0k<0

הכפלה במספר שלילי הופכת את הגרף

max⁡g=k⋅min⁡f=k⋅(−1)\begin{aligned}\max g &= k \cdot \min f \\ &= k \cdot (-1)\end{aligned}

המקסימום של gg בא מהמינימום של ff

−k=4 ⇒ k=−4\begin{aligned}-k &= 4 \ \Rightarrow \ k \\ &= -4\end{aligned}

פותרים

מי שכותב k⋅1=4k \cdot 1=4 לקח את המקסימום של ff ומקבל k=4k=4, בסתירה ל-k<0k<0. כש-k<0k<0 המקסימום והמינימום מתחלפים.

Check the answer on elev

Exercise 5

הפונקציה ff מוגדרת לכל xx, ונגזרתה היא f′(x)=(x−1)2(x+2)f'(x)=(x-1)^2(x+2). א. מה נכון לגבי נקודות הקיצון של ff?

  1. מינימום ב-x=−2x=-2 בלבד
  2. אין לפונקציה נקודות קיצון
  3. מינימום ב-x=−2x=-2 ומקסימום ב-x=1x=1
  4. מקסימום ב-x=−2x=-2 ומינימום ב-x=1x=1
Show the answer and the solution

Answer: A מינימום ב-x=−2x=-2 בלבד

Worked solution:

f′(x)=0 ⇒ x=1 x=−2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -2\end{aligned}

נקודות חשודות

x<−2:f′<0−2<x<1:f′>0x>1:f′>0x<-2: f'<0 \qquad -2<x<1: f'>0 \qquad x>1: f'>0

(x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0, ולכן הסימן לפי x+2x+2

min⁡:x=−2\min: x=-2

ב-x=1x=1 הסימן לא מתחלף

הנכונה: מינימום ב-x=−2x=-2 בלבד. ב-x=1x=1 הנגזרת מתאפסת, אבל נשארת חיובית משני הצדדים — בגלל הריבוע. שם אין קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 6

הפונקציה ff מוגדרת לכל xx, ונגזרתה היא f′(x)=(x−1)2(x+2)f'(x)=(x-1)^2(x+2). ב. מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות הפיתול של ff.

הקטן: x=x= ____ ; הגדול: x=x= ____

Show the answer and the solution

Answer: הקטן: x=x= -1 ; הגדול: x=x= 1

Worked solution:

f′′(x)=2(x−1)(x+2)+(x−1)2f''(x)=2(x-1)(x+2)+(x-1)^2

כלל המכפלה

f′′(x)=(x−1)(3x+3)=3(x−1)(x+1)\begin{aligned}f''(x) &= (x-1)(3x+3) \\ &= 3(x-1)(x+1)\end{aligned}

מוציאים גורם משותף (x−1)(x-1)

x<−1:+−1<x<1:−x>1:+x<-1: + \qquad -1<x<1: - \qquad x>1: +

הסימן מתחלף בשתיהן

ב-x=1x=1 מתקיים גם f′=0f'=0 וגם נקודת פיתול: זו נקודת פיתול אופקית. מי שפותח את (x−1)2(x+2)(x-1)^2(x+2) לפולינום לפני הגזירה מגיע לאותה תשובה, בדרך ארוכה יותר.

Check the answer on elev

Exercise 7

הפונקציה ff מוגדרת לכל xx, ונגזרתה היא f′(x)=(x−1)2(x+2)f'(x)=(x-1)^2(x+2). ג. באיזה תחום הפונקציה ff קעורה (∩\cap)?

  1. −2<x<1-2<x<1
  2. x<−2x<-2
  3. x<−1x<-1 או x>1x>1
  4. −1<x<1-1<x<1
Show the answer and the solution

Answer: D −1<x<1-1<x<1

Worked solution:

f′′(x)=3(x−1)(x+1)f''(x)=3(x-1)(x+1)

מסעיף ב

−1<x<1:f′′<0-1<x<1: f''<0

פרבולה פתוחה כלפי מעלה, שלילית בין השורשים

הנכונה: −1<x<1-1<x<1. התחום −2<x<1-2<x<1 נלקח מ-f′f': שם ff עולה. עלייה וקמירות הן שתי שאלות שונות.

Check the answer on elev

Exercise 8

f(x) = 12/x ו-g(x) = 8 − x
ABfg012345678012345678xy
הישר האנכי x=tx=t חותך את gg ב-AA ואת ff ב-BB.

נתונות הפונקציות f(x)=12xf(x)=\frac{12}{x} ו-g(x)=8−xg(x)=8-x, בתחום x>0x>0. הישר x=tx=t חותך את הגרף של gg בנקודה AA ואת הגרף של ff בנקודה BB, כאשר AA מעל BB. א. מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך של שני הגרפים.

הקטן: x=x= ____ ; הגדול: x=x= ____

Show the answer and the solution

Answer: הקטן: x=x= 2 ; הגדול: x=x= 6

Worked solution:

12x=8−x ⇒ 12=8x−x2\begin{aligned}\frac{12}{x} &= 8-x \ \Rightarrow \ 12 \\ &= 8x-x^2\end{aligned}

כופלים ב-x≠0x \neq 0

x2−8x+12=0 ⇒ x=2 x=6\begin{aligned}x^2-8x+12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 6\end{aligned}

משוואה ריבועית

בין x=2x=2 ל-x=6x=6 הישר מעל ההיפרבולה. זה התחום של tt בסעיפים הבאים: מחוצה לו AA מתחת ל-BB.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונות הפונקציות f(x)=12xf(x)=\frac{12}{x} ו-g(x)=8−xg(x)=8-x, בתחום x>0x>0. הישר x=tx=t חותך את הגרף של gg בנקודה AA ואת הגרף של ff בנקודה BB, כאשר AA מעל BB. ב. עבור איזה ערך של tt אורך הקטע ABAB הגדול ביותר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 3.46

Worked solution:

d(t)=8−t−12t2≤t≤6\begin{aligned}d(t) &= 8-t-\frac{12}{t} \\ \quad 2 \leq t \leq 6\end{aligned}

העליון פחות התחתון

d′(t)=−1+12t2=0 ⇒ t=12=23\begin{aligned}d'(t) &= -1+\frac{12}{t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= \sqrt{12} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

נקודה חשודה בתחום

d′(3)>0, d′(4)<0d'(3)>0 ,\ d'(4)<0

מקסימום

t=23≈3.46t=2\sqrt{3} \approx 3.46

התשובה

בקצוות d(2)=d(6)=0d(2)=d(6)=0, ולכן המקסימום בפנים. מי שכותב 12t−(8−t)\frac{12}{t}-(8-t) מקבל פונקציה שלילית בתחום, ואת אותו tt — אבל כמינימום.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונות הפונקציות f(x)=12xf(x)=\frac{12}{x} ו-g(x)=8−xg(x)=8-x, בתחום x>0x>0. הישר x=tx=t חותך את הגרף של gg בנקודה AA ואת הגרף של ff בנקודה BB, כאשר AA מעל BB. ג. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע ABAB?

  1. 8−438-4\sqrt{3}
  2. 43−44\sqrt{3}-4
  3. 8−238-2\sqrt{3}
  4. 22
Show the answer and the solution

Answer: A 8−438-4\sqrt{3}

Worked solution:

d(23)=8−23−1223d(2\sqrt{3})=8-2\sqrt{3}-\frac{12}{2\sqrt{3}}

מציבים בסעיף ב

1223=63=23\begin{aligned}\frac{12}{2\sqrt{3}} &= \frac{6}{\sqrt{3}} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

מנטרלים את השורש מהמכנה

d=8−43≈1.07d=8-4\sqrt{3} \approx 1.07

האורך

הנכונה: 8−438-4\sqrt{3}. 8−238-2\sqrt{3} הוא הגובה של AA בלבד, בלי לחסר את BB. במקסימום 12t=t\frac{12}{t}=t: שני המחוברים שווים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade