The antiderivative

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו קיבלתם פונקציה וחיפשתם את הנגזרת שלה. עכשיו הכיוון מתהפך: נתונה הנגזרת, ומחפשים את הפונקציה שממנה היא באה. הפונקציה הזו נקראת פונקציה קדומה.

∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \ne -1)

מעלים את החזקה באחד, ומחלקים בחזקה החדשה — בדיוק ההפך מהגזירה.

ולמה תמיד מוסיפים +C+C? מפני שגזירה מוחקת את המספר החופשי: ל-x2x^2, ל-x2+7x^2+7 ול-x2−100x^2-100 יש בדיוק אותה נגזרת. כשחוזרים אחורה אי אפשר לדעת מה היה שם, ולכן כותבים קבוע כללי.

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\begin{aligned}\int \cos x \, dx &= \sin x + C \qquad \int \sin x \, dx \\ &= -\cos x + C\end{aligned}

שוב, שימו לב למינוס — הפעם הוא צץ אצל הסינוס.

למצוא את הקבוע

נתון f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 וידוע ש-f(1)=5f(1) = 5. מצאו את f(x)f(x).

f(x)=x3+Cf(x) = x^3 + C

הפונקציה הקדומה הכללית

1+C=51 + C = 5

מציבים את הנתון

C=4C = 4
f(x)=x3+4f(x) = x^3 + 4

עכשיו הפונקציה יחידה

בדיקה שלוקחת שנייה: גזרו את התשובה. אם קיבלתם בחזרה את מה שהיה בתוך האינטגרל — הפתרון נכון.

מהי ∫(4x+3) dx\int (4x + 3)\, dx?

Show the answer and the solution

2x2+3x+C2x^2 + 3x + C. בדיקה: הנגזרת של 2x2+3x2x^2+3x היא 4x+34x+3 ✓.

ולמה ∫x−1dx\int x^{-1} dx אינו x00\frac{x^0}{0}?

Show the answer and the solution

מפני שחלוקה באפס אסורה — ולכן הכלל מוגבל ל-n≠−1n \ne -1. המקרה הזה מטופל בנפרד ואינו בתוכנית של שאלון 571.

הטעות שעולה נקודה בכל שאלה.

∫3x2dx=x3\int 3x^2 dx = x^3
∫3x2dx=x3+C\int 3x^2 dx = x^3 + C

בלי +C+C התשובה אינה שלמה: יש אינסוף פונקציות קדומות, לא אחת.

Exercises

Exercise 1

מהי ∫3x2 dx\int 3x^2 \, dx?

  1. x33+C\frac{x^3}{3} + C
  2. x3+Cx^3 + C
  3. 6x+C6x + C
  4. 3x3+C3x^3 + C
Show the answer and the solution

Answer: B x3+Cx^3 + C

Worked solution:

בדיקה: הנגזרת של x3x^3 היא 3x23x^2 ✓

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי ∫(4x+3) dx\int (4x + 3) \, dx?

  1. x2+3x+Cx^2 + 3x + C
  2. 2x2+3x+C2x^2 + 3x + C
  3. 2x2+3+C2x^2 + 3 + C
  4. 4x2+3x+C4x^2 + 3x + C
Show the answer and the solution

Answer: B 2x2+3x+C2x^2 + 3x + C

Worked solution:

האינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לגזירה: מעלים את החזקה באחד ומחלקים במעריך החדש.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהי ∫cos⁡x dx\int \cos x \, dx?

  1. −sin⁡x+C-\sin x + C
  2. cos⁡x+C\cos x + C
  3. −cos⁡x+C-\cos x + C
  4. sin⁡x+C\sin x + C
Show the answer and the solution

Answer: D sin⁡x+C\sin x + C

Worked solution:

האינטגרל של הקוסינוס הוא סינוס. שווה לזכור את הזוג הזה בשני הכיוונים.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהי ∫sin⁡x dx\int \sin x \, dx?

  1. sin⁡x+C\sin x + C
  2. −cos⁡x+C-\cos x + C
  3. cos⁡x+C\cos x + C
  4. −sin⁡x+C-\sin x + C
Show the answer and the solution

Answer: B −cos⁡x+C-\cos x + C

Worked solution:

כאן המינוס מופיע — הפוך מהגזירה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 ו-f(1)=5f(1) = 5. מהו הקבוע CC?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f(x)=x3+Cf(x) = x^3 + C
1+C=51 + C = 5
C=4C = 4

הקבוע CC נקבע רק כשיודעים ערך אחד של הפונקציה — בלעדיו יש אינסוף פונקציות קדומות.

Check the answer on elev

Exercise 6

ולפי הסעיף הקודם — מהו f(2)f(2)?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

f(x)=x3+4f(x) = x^3 + 4
f(2)=8+4=12\begin{aligned}f(2) &= 8 + 4 \\ &= 12\end{aligned}

אחרי שמצאנו את CC, הפונקציה מלאה וניתן להציב בה כל מספר.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1 ו-f(0)=3f(0) = 3. מהו f(2)f(2)?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

f(x)=x2+x+Cf(x) = x^2 + x + C
C=3C = 3

מהנתון f(0)=3f(0)=3

f(2)=4+2+3=9\begin{aligned}f(2) &= 4 + 2 + 3 \\ &= 9\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 8

לפונקציה f′(x)=2xf'(x) = 2x יש בדיוק פונקציה קדומה אחת.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x2+Cx^2 + C

לכל CC

יש אינסוף — כולן נבדלות במספר חופשי בלבד. רק נתון נוסף (נקודה על הגרף) בוחר אחת מהן.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו כל אינטגרל לתוצאה שלו

  • ∫2x dx\int 2x \, dx
  • ∫x3 dx\int x^3 \, dx
  • ∫5 dx\int 5 \, dx
  • ∫cos⁡x dx\int \cos x \, dx
  • x44+C\frac{x^4}{4} + C
  • sin⁡x+C\sin x + C
  • 5x+C5x + C
  • x2+Cx^2 + C
Show the answer and the solution

Answer: ∫2x dx\int 2x \, dx — x2+Cx^2 + C · ∫x3 dx\int x^3 \, dx — x44+C\frac{x^4}{4} + C · ∫5 dx\int 5 \, dx — 5x+C5x + C · ∫cos⁡x dx\int \cos x \, dx — sin⁡x+C\sin x + C

Worked solution:

בכל שורה אפשר לבדוק בגזירה חוזרת.

Check the answer on elev

Exercise 10

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

∫4x dx=2x2+C\int 4x \, dx = 2x^2 + C
∫x2 dx=x33+C\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C
∫cos⁡x dx=−sin⁡x+C\int \cos x \, dx = -\sin x + C
Show the answer and the solution

Answer: ∫cos⁡x dx=−sin⁡x+C\int \cos x \, dx = -\sin x + C → ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C

Worked solution:

המינוס שייך לאינטגרל של הסינוס, לא של הקוסינוס.

Check the answer on elev

Exercise 11

מהו המקדם של x3x^3 בפונקציה הקדומה של f′(x)=6x2f'(x) = 6x^2? (כלומר ∫6x2dx=ax3+C\int 6x^2 dx = ax^3 + C)

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

∫6x2dx=2x3+C\int 6x^2 dx = 2x^3 + C

המקדם עולה מהחלוקה במעריך החדש: 6 חלקי 3 נותן 2.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade