The definite integral

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

האינטגרל הלא מסוים מחזיר משפחת פונקציות. האינטגרל המסוים מחזיר מספר — ומחשבים אותו בשני שלבים: מוצאים פונקציה קדומה, ומחסרים את ערכיה בשני הקצוות.

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

ו-CC נעלם מעצמו: (F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b)-F(a).

למה החיסור הזה נותן דווקא שטח? כי אפשר לכסות את השטח במלבנים דקים ולסכם אותם. ככל שהמלבנים צרים יותר, הסכום מתקרב לשטח האמיתי — והאינטגרל הוא בדיוק הגבול הזה.

חישוב מלא

חשבו את ∫13(3x2+2x) dx\int_1^3 (3x^2 + 2x)\,dx.

F(x)=x3+x2F(x) = x^3 + x^2

פונקציה קדומה — בלי CC, הוא יתבטל

F(3)=27+9=36\begin{aligned}F(3) &= 27 + 9 \\ &= 36\end{aligned}
F(1)=1+1=2\begin{aligned}F(1) &= 1 + 1 \\ &= 2\end{aligned}
36−2=3436 - 2 = 34

זו התשובה — מספר

סדר הגבולות משנה סימן: ∫baf=−∫abf\int_b^a f = -\int_a^b f. אם קיבלתם שטח שלילי, בדקו קודם שלא החלפתם בין הגבולות.

חשבו את ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx.

Show the answer and the solution

F(x)=x33F(x) = \frac{x^3}{3}, ולכן F(2)−F(0)=83−0=83≈2.67F(2)-F(0) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2.67.

ומהו ∫0π2cos⁡x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx?

Show the answer and the solution

F(x)=sin⁡xF(x) = \sin x, ולכן sin⁡π2−sin⁡0=1−0=1\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1.

הטעות הנפוצה.

F(a)−F(b)F(a) - F(b)
F(b)−F(a)F(b) - F(a)

קודם הגבול העליון. היפוך הסדר הופך את הסימן ומאבד את התשובה.

Exercises

Exercise 1

חשבו את ∫13(3x2+2x) dx\int_1^3 (3x^2 + 2x)\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 34

Worked solution:

F(x)=x3+x2F(x) = x^3 + x^2
F(3)−F(1)=36−2=34\begin{aligned}F(3) - F(1) &= 36 - 2 \\ &= 34\end{aligned}

אינטגרל מסוים הוא הפרש: הפונקציה הקדומה בגבול העליון פחות בגבול התחתון. הקבוע CC מתבטל תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx. (עגלו ל-3 ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 2.667

Worked solution:

F(x)=x33F(x) = \frac{x^3}{3}
83−0≈2.667\frac{8}{3} - 0 \approx 2.667

אותה מכניקה. שימו לב שהגבול התחתון 0 אינו «אפס אוטומטי» — צריך להציב אותו.

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו את ∫01(2x+1) dx\int_0^1 (2x + 1)\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

F(x)=x2+xF(x) = x^2 + x
F(1)−F(0)=2−0=2\begin{aligned}F(1) - F(0) &= 2 - 0 \\ &= 2\end{aligned}

מוצאים קדומה, מציבים שני גבולות, מחסרים. שלושה שלבים קבועים.

Check the answer on elev

Exercise 4

חשבו את ∫0π2cos⁡x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

F(x)=sin⁡xF(x) = \sin x
1−0=11 - 0 = 1

הקדומה של הקוסינוס היא סינוס, ובגבולות האלה ההפרש יוצא בדיוק 1.

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו את ∫−22(4−x2) dx\int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx. (עגלו ל-3 ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 10.667

Worked solution:

F(x)=4x−x33F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}
F(2)−F(−2)=163+163=323\begin{aligned}F(2) - F(-2) &= \frac{16}{3} + \frac{16}{3} \\ &= \frac{32}{3}\end{aligned}

הגבול התחתון שלילי — כשמציבים אותו בחזקה אי-זוגית, הסימן מתהפך ושני האיברים מצטברים.

Check the answer on elev

Exercise 6

חשבו את ∫126x dx\int_1^2 6x\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

F(x)=3x2F(x) = 3x^2
12−3=912 - 3 = 9

קדומה, הצבה, חיסור. גם כשהפונקציה פשוטה, הסדר לא משתנה.

Check the answer on elev

Exercise 7

תוצאת אינטגרל מסוים היא פונקציה של xx.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)

שני מספרים

זהו מספר. ה-xx נעלם ברגע שמציבים את הגבולות — הוא רק משתנה עזר.

Check the answer on elev

Exercise 8

מתקיים ∫31f(x)dx=−∫13f(x)dx\int_3^1 f(x)dx = -\int_1^3 f(x)dx.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

F(1)−F(3)=−(F(3)−F(1))F(1)-F(3) = -(F(3)-F(1))

החלפת הגבולות הופכת את הסימן — תכונה שימושית כשמפצלים תחומים.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון ∫04f(x)dx=10\int_0^4 f(x)dx = 10 ו-∫02f(x)dx=3\int_0^2 f(x)dx = 3. מהו ∫24f(x)dx\int_2^4 f(x)dx?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

∫04=∫02+∫24\int_0^4 = \int_0^2 + \int_2^4

תכונת הפיצול

10=3+x⇒x=7\begin{aligned}10 &= 3 + x \Rightarrow x \\ &= 7\end{aligned}

אפשר לפצל אינטגרל לפי נקודת ביניים — ולחבר בחזרה.

Check the answer on elev

Exercise 10

סדרו את שלבי חישוב האינטגרל המסוים

  • מוצאים פונקציה קדומה F(x)F(x)
  • מחסרים: F(b)−F(a)F(b) - F(a)
  • מציבים את הגבול העליון: F(b)F(b)
  • מציבים את הגבול התחתון: F(a)F(a)
Show the answer and the solution

Answer: מוצאים פונקציה קדומה F(x)F(x) · מציבים את הגבול העליון: F(b)F(b) · מציבים את הגבול התחתון: F(a)F(a) · מחסרים: F(b)−F(a)F(b) - F(a)

Worked solution:

הסדר חשוב — בעיקר בשלב האחרון.

Check the answer on elev

Exercise 11

השלימו את חישוב ∫132x dx\int_1^3 2x\,dx

F(3)=F(3) = ____ , F(1)=F(1) = ____ , והתוצאה היא ____

Show the answer and the solution

Answer: F(3)=F(3) = 9 , F(1)=F(1) = 1 , והתוצאה היא 8

Worked solution:

F(x)=x2F(x) = x^2
9−1=89 - 1 = 8

שתי שורות: קודם הקדומה, ואז ההפרש בין שני הגבולות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade