Solving together · Integral calculus · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בסגנון פרק 4 של הבגרות: שטח בין שני גרפים, שטח מורכב עם משיק, פרמטר שנמצא משטח, ופונקציה קדומה שעוברת בנקודה נתונה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל שאלת שטח שלושה צעדים קבועים: גבולות (נקודות החיתוך), מי למעלה (מציבים נקודה אחת מהתחום), ורק אז אינטגרל של העליון פחות התחתון.

1 — שטח בין שני גרפים

f(x) = x² − 2x ו-g(x) = 4 − x²

שני הגרפים נפגשים ב-

x=-1

וב-

x=2

. בין שתי הנקודות

g

מעל

f

Interactive activity

נתונות $f(x)=x^2-2x$ ו- $g(x)=4-x^2$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של שני הגרפים. ב. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים.

\begin{aligned}f(x) &= x^2-2x \\ \quad g(x) &= 4-x^2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הגבולות של האינטגרל הם נקודות החיתוך, לא נקודות החיתוך עם הצירים.

א. חיתוך

\begin{aligned}x^2-2x &= 4-x^2 \ \Rightarrow \ 2x^2-2x-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2-x-2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומסדרים.

א. נקודות

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 2 \qquad (-1,\,3) \\ \ (2,\,0)\end{aligned}

שיעורי ה- $y$ מאחת הפונקציות.

ב. מי למעלה

\begin{aligned}x &= 0: \ g(0) \\ &= 4>f(0) \\ &= 0\end{aligned}

בכל התחום $g$ מעל $f$ .

ב. אינטגרל

\int_{-1}^{2} \left[(4-x^2)-(x^2-2x)\right] dx=\int_{-1}^{2} (4+2x-2x^2)\,dx

העליון פחות התחתון, בסוגריים.

ב. קדומה

\Big[4x+x^2-\tfrac{2}{3}x^3\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{20}{3}-\left(-\tfrac{7}{3}\right)

מציבים את הגבול העליון ומחסרים את התחתון.

ב. השטח

S=9

יחידות שטח.

שימו לב: חלק מהשטח נמצא מתחת לציר ה- $x$ (שם $f<0$ ). זה לא משנה דבר — ההפרש $g-f$ חיובי בכל התחום.

Do the activity on elev

האם צריך לחלק את האינטגרל ב- $x=0$ , שם $f$ חותכת את ציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

לא. בשטח בין שני גרפים מה שקובע הוא הסימן של $g-f$ , לא הסימן של כל פונקציה לבד. חלוקה נדרשת רק אם הגרפים מחליפים מקום.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שטח מורכב: גרף, משיק וישר

f(x) = 4/x² והמשיק ב-x = 2

המשיק נוגע בגרף ב-

(2,\,1)

. השטח המבוקש נמצא בין הגרף, המשיק והישר

x=1

Interactive activity

נתונה $f(x)=\frac{4}{x^2}$ . א. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=2$ . ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , המשיק והישר $x=1$ .

\begin{aligned}f(x) &= \frac{4}{x^2} \\ &= 4x^{-2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כותבים את $f$ כחזקה שלילית: כך קל לגזור וגם קל למצוא קדומה.

א. נקודה

\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{4} \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה $(2,\,1)$ .

א. שיפוע

\begin{aligned}f'(x) &= -8x^{-3} \\ &= -\frac{8}{x^3} \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= -1\end{aligned}

כלל החזקה.

א. משיק

\begin{aligned}y-1 &= -(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3-x\end{aligned}

נקודה ושיפוע.

ב. מי למעלה

\begin{aligned}x &= 1: \ f(1) \\ &= 4>3-1 \\ &= 2\end{aligned}

הגרף מעל המשיק בין $x=1$ ל- $x=2$ .

ב. אינטגרל

\int_{1}^{2} \left[\frac{4}{x^2}-(3-x)\right] dx=\Big[-\frac{4}{x}-3x+\frac{x^2}{2}\Big]_{1}^{2}

הקדומה של $4x^{-2}$ היא $-4x^{-1}$ .

ב. השטח

\begin{aligned}(-2-6+2)-\left(-4-3+\tfrac{1}{2}\right) &= -6+6.5 \\ &= 0.5\end{aligned}

השטח: $0.5$ .

הגבולות: $x=1$ (הישר הנתון) ו- $x=2$ (נקודת ההשקה). הגרף קמור, ולכן הוא מעל כל משיק שלו — הבדיקה בנקודה אחת מאשרת זאת.

Do the activity on elev

למה הקדומה של $\frac{4}{x^2}$ אינה $\frac{4}{3x^3}$ ?

Show the answer and the solution

כי $\frac{4}{x^2}=4x^{-2}$ , ומעלים את החזקה ב- $1$ : $-2+1=-1$ . מקבלים $\frac{4x^{-1}}{-1}=-\frac{4}{x}$ . $\frac{4}{3x^3}$ «העלה» את החזקה שבמכנה, וזה הכיוון ההפוך.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטר שנמצא משטח

Interactive activity

השטח ידוע — מה הגבול?

השטח המוגבל על ידי הגרף של $f(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$ , הצירים והישר $x=k$ (כאשר $k>0$ ) שווה ל- $1.5$ . מצאו את $k$ .

$k=3$

$k=\frac{1}{3}$

$k=0.75$

$k=2$

מה הקדומה של $\frac{2}{(x+1)^2}$ ?

$-\frac{2}{x+1}$

Show the answer and the solution

$2(x+1)^{-2}$ נותן $\frac{2(x+1)^{-1}}{-1}$ . הנגזרת הפנימית היא $1$ .

$\frac{2}{3(x+1)^3}$

Show the answer and the solution

החזקה היא $-2$ , ומעלים אותה ל- $-1$ , לא ל- $-3$ .

\int \frac{2}{(x+1)^2}\,dx=-\frac{2}{x+1}+C

בדיקה: $\left(-2(x+1)^{-1}\right)'=2(x+1)^{-2}$ ✓

איך כותבים את השטח?

$\int_0^k \frac{2}{(x+1)^2}\,dx$

Show the answer and the solution

ציר ה- $y$ הוא $x=0$ , והפונקציה חיובית.

$\int_{-1}^k \frac{2}{(x+1)^2}\,dx$

Show the answer and the solution

$x=-1$ היא אסימפטוטה, לא ציר. השטח מוגבל על ידי ציר ה- $y$ .

\Big[-\frac{2}{x+1}\Big]_0^k=2-\frac{2}{k+1}

מציבים את שני הגבולות.

איך פותרים?

משווים ל- $1.5$

Show the answer and the solution

המשוואה בנעלם $k$ .

גוזרים לפי $k$ ומשווים לאפס

Show the answer and the solution

לא מחפשים כאן קיצון: השטח נתון.

\begin{aligned}2-\frac{2}{k+1} &= 1.5 \ \Rightarrow \ \frac{2}{k+1} \\ &= 0.5 \ \Rightarrow \ k+1 \\ &= 4\end{aligned}

$k=3$ , ו- $k>0$ ✓

Show the answer and the solution

$k=3$ . מי שבחר $\int_{-1}^{k}$ נתקע: האינטגרל לא מוגדר, כי $x=-1$ היא אסימפטוטה. בדיקה מהירה: גם כש- $k$ גדל מאוד, השטח קטן מ- $2$ . לכן $1.5$ אפשרי, ו- $2.5$ לא היה אפשרי.

Do the activity on elev

האם יש $k>0$ שעבורו השטח שווה ל- $2$ ?

Show the answer and the solution

לא. $2-\frac{2}{k+1}<2$ לכל $k>0$ . השטח מתקרב ל- $2$ כש- $k$ גדל, אבל לא מגיע אליו.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פונקציה קדומה שעוברת בנקודה, ואז שטח

Interactive activity

נתונה $f(x)=1-\frac{4}{x^2}$ , בתחום $x>0$ . הפונקציה $F$ מקיימת $F'(x)=f(x)$ , והגרף של $F$ עובר בנקודה $(1,\,6)$ . א. מצאו את $F(x)$ . ב. מצאו את נקודת הקיצון של $F$ וקבעו את סוגה. ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישר $x=4$ .

\begin{aligned}F'(x) &= 1-\frac{4}{x^2} \\ \quad F(1) &= 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנקודה הנתונה קובעת את הקבוע $C$ .

א. קדומה

F(x)=x+\frac{4}{x}+C

הקדומה של $-4x^{-2}$ היא $+4x^{-1}$ .

א. הקבוע

\begin{aligned}F(1) &= 1+4+C \\ &= 6 \ \Rightarrow \ C \\ &= 1\end{aligned}

לכן $F(x)=x+\frac{4}{x}+1$ .

ב. חשודה

\begin{aligned}F'(x) &= f(x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

רק $x=2$ בתחום $x>0$ .

ב. סוג

\begin{aligned}f(1) &= -3<0 \\ \quad f(3) &= \tfrac{5}{9}>0 \ \Rightarrow \ \min (2,\,5)\end{aligned}

$F(2)=2+2+1=5$ .

ג. גבולות

\begin{aligned}f(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

השטח בין $x=2$ ל- $x=4$ , ושם $f \geq 0$ .

ג. השטח

\begin{aligned}\int_2^4 f(x)\,dx &= F(4)-F(2) \\ &= 6-5 \\ &= 1\end{aligned}

יש כבר קדומה — משתמשים בה.

סעיף ג נפתר בשורה אחת בזכות סעיף א: האינטגרל של $f$ הוא הפרש ערכים של הקדומה $F$ . הקבוע $C$ מתבטל בחיסור.

Do the activity on elev

איך אפשר לדעת מהגרף של $F$ בלבד איפה $f$ חותכת את ציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

במקום שבו ל- $F$ יש נקודת קיצון: שם $F'=f=0$ . כאן זה $x=2$ , המינימום של $F$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. שאלה 5 בודקת את התחום של האינטגרל.

Exercises

Exercise 1

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של $f(x)=x^2$ ו- $g(x)=8-x^2$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 21.33

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 &= 8-x^2 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

נקודות החיתוך

\begin{aligned}x &= 0: \ g(0) \\ &= 8>f(0) \\ &= 0\end{aligned}

$g$ למעלה

\begin{aligned}\int_{-2}^{2} (8-2x^2)\,dx &= \Big[8x-\tfrac{2}{3}x^3\Big]_{-2}^{2} \\ &= \tfrac{64}{3}\end{aligned}

העליון פחות התחתון

\tfrac{64}{3} \approx 21.33

השטח

בחישוב $\Big[\ \Big]_{-2}^{2}$ הגבול התחתון שלילי: $-\left(8 \cdot (-2)-\tfrac{2}{3}(-8)\right)=+\tfrac{32}{3}$ . טעות סימן כאן נותנת $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=\frac{9}{x^2}$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , המשיק לגרף בנקודה שבה $x=3$ , והישר $x=1$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.67

Worked solution:

\begin{aligned}f(3) &= 1 \\ \quad f'(x) &= -\frac{18}{x^3} \ \Rightarrow \ f'(3) \\ &= -\tfrac{2}{3}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y=3-\tfrac{2}{3}x

המשיק

\int_1^3 \left(\frac{9}{x^2}-3+\tfrac{2}{3}x\right) dx=\Big[-\frac{9}{x}-3x+\frac{x^2}{3}\Big]_1^3

הגרף מעל המשיק

(-3-9+3)-\left(-9-3+\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{8}{3} \approx 2.67

השטח

הגבולות הם $x=1$ ונקודת ההשקה $x=3$ . מי שלוקח את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה- $x$ ( $x=4.5$ ) מחשב שטח אחר.

Check the answer on elev

Exercise 3

השטח המוגבל על ידי הגרף של $f(x)=\frac{3}{(x+2)^2}$ , הצירים והישר $x=k$ (כאשר $k>0$ ) שווה ל- $1$ . מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}\int_0^k \frac{3}{(x+2)^2}\,dx &= \Big[-\frac{3}{x+2}\Big]_0^k \\ &= \frac{3}{2}-\frac{3}{k+2}\end{aligned}

קדומה וגבולות

\begin{aligned}\frac{3}{2}-\frac{3}{k+2} &= 1 \ \Rightarrow \ \frac{3}{k+2} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

משווים לשטח

\begin{aligned}k+2 &= 6 \ \Rightarrow \ k \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

הגבול התחתון הוא $0$ (ציר ה- $y$ ), ולכן מופיע $\frac{3}{0+2}=\frac{3}{2}$ . מי ששוכח לחסר את הגבול התחתון פותר $-\frac{3}{k+2}=1$ ומקבל $k$ שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=1-\frac{9}{x^2}$ , בתחום $x>0$ . הפונקציה $F$ מקיימת $F'(x)=f(x)$ , והגרף של $F$ עובר בנקודה $(1,\,12)$ . השלימו.

המינימום של $F$ : $x=$ ____ , $F=$ ____ ; השטח בין הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישר $x=9$ : ____

Show the answer and the solution

Answer: המינימום של $F$ : $x=$ 3 , $F=$ 8 ; השטח בין הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישר $x=9$ : 4

Worked solution:

\begin{aligned}F(x) &= x+\frac{9}{x}+C \\ \quad 1+9+C &= 12 \ \Rightarrow \ C \\ &= 2\end{aligned}

הקדומה והקבוע

\begin{aligned}f(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \quad F(3) &= 3+3+2 \\ &= 8\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}\int_3^9 f(x)\,dx &= F(9)-F(3) \\ &= 12-8 \\ &= 4\end{aligned}

השטח, $f \geq 0$ ב- $[3,9]$

הקבוע $C$ נחוץ לערך $F(3)=8$ , אבל מתבטל בשטח. מי ששוכח את $C$ מקבל מינימום $6$ — ועדיין שטח $4$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx=-2$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}\Big[-\frac{1}{x}\Big]_{-1}^{1} &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

החישוב ה«אוטומטי»

x=0 \in [-1,\,1]

הפונקציה אינה מוגדרת ב- $x=0$

\frac{1}{x^2}>0

ואינטגרל של פונקציה חיובית לא יכול לצאת שלילי

הטענה לא נכונה. אסור להציב גבולות בקדומה כשבתוך הקטע יש אסימפטוטה. הסימן השלילי הוא הרמז: פונקציה חיובית לא נותנת אינטגרל שלילי.

Check the answer on elev

1 — שטח בין שני גרפים

2 — שטח מורכב: גרף, משיק וישר

3 — פרמטר שנמצא משטח

4 — פונקציה קדומה שעוברת בנקודה, ואז שטח

Exercises

Keep practising on elev