Set 1 — easy

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: פונקציה קדומה של פולינום ושל 1x2\frac{1}{x^2}, אינטגרל מסוים, קדומה שעוברת בנקודה, ושטחים פשוטים — מתחת לגרף ובין שני גרפים.

לפני כל אינטגרל: כתבו כל שבר כחזקה שלילית (4x2=4x−2\frac{4}{x^2}=4x^{-2}). ואחרי כל קדומה: גזרו אותה וודאו שחזרתם לפונקציה שבתוך האינטגרל.

Exercises

Exercise 1

מהי ∫4x2 dx\int \frac{4}{x^2}\,dx?

  1. 43x3+C\frac{4}{3x^3}+C
  2. 4x+C\frac{4}{x}+C
  3. −8x3+C-\frac{8}{x^3}+C
  4. −4x+C-\frac{4}{x}+C
Show the answer and the solution

Answer: D −4x+C-\frac{4}{x}+C

Worked solution:

∫4x−2 dx=4x−1−1+C\int 4x^{-2}\,dx=\frac{4x^{-1}}{-1}+C

מעלים את החזקה ב-11

=−4x+C=-\frac{4}{x}+C

בדיקה: (−4x−1)′=4x−2(-4x^{-1})'=4x^{-2} ✓

הנכונה: −4x+C-\frac{4}{x}+C. −8x3-\frac{8}{x^3} היא נגזרת של 4x2\frac{4}{x^2}, לא קדומה. 4x\frac{4}{x} שכחה שמחלקים ב-−1-1.

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את ∫14(2x−1) dx\int_1^4 (2x-1)\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

[x2−x]14\Big[x^2-x\Big]_1^4

קדומה

(16−4)−(1−1)=12(16-4)-(1-1)=12

מציבים

גם כשהגבול התחתון נותן 00, כותבים אותו. כאן 1−1=01-1=0, אבל ב-∫24\int_2^4 הוא היה 22.

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו את ∫128x3 dx\int_1^2 \frac{8}{x^3}\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

∫8x−3 dx=8x−2−2=−4x2\begin{aligned}\int 8x^{-3}\,dx &= \frac{8x^{-2}}{-2} \\ &= -\frac{4}{x^2}\end{aligned}

קדומה

[−4x2]12=−1−(−4)=3\begin{aligned}\Big[-\frac{4}{x^2}\Big]_1^2 &= -1-(-4) \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

המינוס של הקדומה נכנס גם לגבול התחתון: −(−4)=+4-(-4)=+4. מי שמאבד אותו מקבל −5-5.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהי ∫1(2x+1)2 dx\int \frac{1}{(2x+1)^2}\,dx?

  1. 13(2x+1)3+C\frac{1}{3(2x+1)^3}+C
  2. −22x+1+C-\frac{2}{2x+1}+C
  3. −12x+1+C-\frac{1}{2x+1}+C
  4. −12(2x+1)+C-\frac{1}{2(2x+1)}+C
Show the answer and the solution

Answer: D −12(2x+1)+C-\frac{1}{2(2x+1)}+C

Worked solution:

∫(2x+1)−2 dx=(2x+1)−1−1⋅2+C\int (2x+1)^{-2}\,dx=\frac{(2x+1)^{-1}}{-1 \cdot 2}+C

חזקה של ביטוי לינארי: מחלקים גם במקדם של xx

=−12(2x+1)+C=-\frac{1}{2(2x+1)}+C

בדיקה בגזירה: שרשרת נותנת פי 22

הנכונה: −12(2x+1)+C-\frac{1}{2(2x+1)}+C. −12x+1-\frac{1}{2x+1} שכחה לחלק ב-22: הנגזרת שלה היא 2(2x+1)2\frac{2}{(2x+1)^2}.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון F′(x)=6x2−2F'(x)=6x^2-2, והגרף של FF עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). חשבו את F(2)F(2).

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

F(x)=2x3−2x+CF(x)=2x^3-2x+C

קדומה

2−2+C=3 ⇒ C=3\begin{aligned}2-2+C &= 3 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את הנקודה

F(2)=16−4+3=15\begin{aligned}F(2) &= 16-4+3 \\ &= 15\end{aligned}

מחשבים

בלי הקבוע CC יוצא 1212. הנקודה הנתונה היא בדיוק מה שקובע את CC.

Check the answer on elev

Exercise 6

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=x2y=x^2 לבין הישר y=2x+3y=2x+3. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 10.67

Worked solution:

x2=2x+3 ⇒ x=−1 x=3\begin{aligned}x^2 &= 2x+3 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

נקודות החיתוך

∫−13(2x+3−x2) dx=[x2+3x−x33]−13\int_{-1}^{3} (2x+3-x^2)\,dx=\Big[x^2+3x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{3}

הישר למעלה

9−(−53)=323≈10.679-\left(-\tfrac{5}{3}\right)=\tfrac{32}{3} \approx 10.67

השטח

בדיקה ב-x=0x=0: הישר נותן 33, הפרבולה 00. מי שמחסר בסדר הפוך מקבל −10.67-10.67 — ושטח אינו שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=2x2y=\frac{2}{x^2}, ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=4x=4.

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

∫142x−2 dx=[−2x]14\int_1^4 2x^{-2}\,dx=\Big[-\frac{2}{x}\Big]_1^4

הפונקציה חיובית

−12−(−2)=1.5-\tfrac{1}{2}-(-2)=1.5

מציבים

ככל ש-xx גדל, 2x2\frac{2}{x^2} קטנה מהר. לכן רוב השטח קרוב ל-x=1x=1, והתשובה קטנה ממה שהרוחב 33 מרמז.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: אם ∫03f(x) dx=5\int_0^3 f(x)\,dx=5, אז ∫03(f(x)+2)dx=7\int_0^3 \left(f(x)+2\right) dx=7.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

∫03(f+2) dx=∫03f dx+∫032 dx\int_0^3 (f+2)\,dx=\int_0^3 f\,dx+\int_0^3 2\,dx

אינטגרל של סכום

=5+2⋅3=11=5+2 \cdot 3=11

הקבוע 22 «נפרש» על רוחב 33

הטענה לא נכונה. ∫032 dx=6\int_0^3 2\,dx=6, לא 22: הזזה של הגרף ב-22 למעלה מוסיפה מלבן ברוחב 33 ובגובה 22.

Check the answer on elev

Exercise 9

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x3y=x^3, ציר ה-xx והישרים x=−1x=-1 ו-x=2x=2.

Show the answer and the solution

Answer: 4.25

Worked solution:

∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4

מעל הציר

∫−10x3 dx=−14\int_{-1}^0 x^3\,dx=-\tfrac{1}{4}

מתחת לציר: השטח 14\tfrac{1}{4}

4+14=4.254+\tfrac{1}{4}=4.25

מחברים שטחים

אינטגרל אחד מ-−1-1 עד 22 נותן 3.753.75: החלק שמתחת לציר מתקזז. בשטח מחלקים בנקודה שבה הגרף חוצה את הציר.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון ∫0k2x dx=9\int_0^k 2x\,dx=9, כאשר k>0k>0. מצאו את kk.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

[x2]0k=k2\Big[x^2\Big]_0^k=k^2

קדומה

k2=9 ⇒ k=3\begin{aligned}k^2 &= 9 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3\end{aligned}

k>0k>0

גם k=−3k=-3 פותר k2=9k^2=9, אבל הנתון k>0k>0 פוסל אותו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade