Solving together · Circle geometry · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח שאלה 4 של הבגרות, אחת לכל תבנית שחוזרת: משיק וחותך, גבהים ומרובע בר-חסימה, אמצע קשת וחוצה זווית, ושני מעגלים נחתכים. כל שאלה נפתרת יחד, סעיף אחרי סעיף. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בשאלה 4 כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. לפני שאתם מתחילים סעיף, שאלו: מה הוכחתי עד עכשיו, ואיך זה עוזר כאן?

1 — משיק וחותך: דמיון, אורך ויחס שטחים

Interactive activity

מהנקודה $P$ יוצאים משיק $PT$ למעגל וחותך שפוגש את המעגל ב- $A$ וב- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). א. הוכיחו: $\triangle PTA \sim \triangle PBT$ . ב. נתון $PA=3$ ו- $AB=9$ . חשבו את $PT$ . ג. מצאו את יחס השטחים $S_{PTA}:S_{PBT}$ .

\begin{aligned}\triangle PTA \sim \triangle PBT \\ \quad PA &= 3 \\ \ AB &= 9\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א נותן את הכלי לסעיפים ב ו-ג.

א. זווית

\angle TPA=\angle BPT

זווית משותפת.

א. זווית

\angle PTA=\angle PBT

הזווית בין המשיק $TP$ למיתר $TA$ שווה להיקפית הנשענת על $TA$ מצדו השני.

א. מסקנה

\triangle PTA \sim \triangle PBT

ז.ז. ההתאמה: $T \leftrightarrow B$ , $A \leftrightarrow T$ .

ב. יחס

\begin{aligned}\frac{PT}{PB} &= \frac{PA}{PT} \Rightarrow PT^2 \\ &= PA \cdot PB\end{aligned}

צלעות מתאימות, כפל בהצלבה.

ב. חישוב

\begin{aligned}PT^2 &= 3 \cdot 12 \\ &= 36 \Rightarrow PT \\ &= 6\end{aligned}

$PB=3+9=12$ .

ג. יחס הדמיון

\begin{aligned}k &= \frac{PT}{PB} \\ &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

צלע של הקטן חלקי הצלע המתאימה בגדול.

ג. שטחים

\begin{aligned}S_{PTA}:S_{PBT} &= k^2 \\ &= 1:4\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון.

בסעיף ב אפשר לצטט ישר את $PT^2=PA \cdot PB$ , אבל אחרי סעיף א זה כבר שורה אחת מהדמיון.

Do the activity on elev

בסעיף ג, מהו היחס $TA:TB$ ?

Show the answer and the solution

$1:2$ . $TA$ ו- $TB$ צלעות מתאימות ( $T \leftrightarrow B$ , $A \leftrightarrow T$ ), ולכן יחסן הוא יחס הדמיון $k=\frac{1}{2}$ , בלי ריבוע.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — גבהים: להוכיח שמרובע בר-חסימה ולהשתמש בזה

Interactive activity

שני גבהים ומרובע חדש

במשולש $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $BE$ הם גבהים, והם נפגשים ב- $H$ . א. הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע $CDHE$ במעגל. ב. הוכיחו: $\angle HDE=\angle HCE$ . ג. נתון $\angle ACB=64^\circ$ . חשבו את $\angle DHE$ .

$116^\circ$

$64^\circ$

$26^\circ$

$90^\circ$

סעיף א: באילו זוויות של $CDHE$ כדאי להשתמש?

$\angle HDC$ ו- $\angle HEC$

Show the answer and the solution

שתיהן $90^\circ$ (גבהים), והן נגדיות במרובע $CDHE$ .

$\angle HDC$ ו- $\angle DCE$

Show the answer and the solution

אלה זוויות סמוכות. סכום של סמוכות לא מוכיח חסימה.

\begin{aligned}\angle HDC+\angle HEC &= 90^\circ+90^\circ \\ &= 180^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות משלימות, ולכן אפשר לחסום את $CDHE$ .

סעיף ב: $\angle HDE$ ו- $\angle HCE$ — על איזו קשת הן נשענות במעגל החדש?

על הקשת $HE$

Show the answer and the solution

הקודקודים $D$ ו- $C$ נמצאים באותו צד של המיתר $HE$ .

על הקשת $DC$

Show the answer and the solution

הזוויות האלה נשענות על $HE$ : זרועותיהן עוברות דרך $H$ ודרך $E$ .

\angle HDE=\angle HCE

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת, במעגל שהוכחנו בסעיף א.

סעיף ג: איך מגיעים ל- $\angle DHE$ ?

$\angle DHE=180^\circ-\angle DCE$

Show the answer and the solution

$H$ ו- $C$ נגדיות במרובע החסום $CDHE$ .

$\angle DHE=\angle DCE$

Show the answer and the solution

הן נגדיות, ולכן משלימות, לא שוות.

\begin{aligned}\angle DHE &= 180^\circ-64^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות $180^\circ$ .

Show the answer and the solution

התשובה: $116^\circ$ . $64^\circ$ מתקבל ממי שהשווה זוויות נגדיות. $26^\circ=90^\circ-64^\circ$ היא זווית אחרת בשרטוט, $\angle HAC$ .

Do the activity on elev

במעגל של המרובע $CDHE$ , איזה קטע הוא קוטר?

Show the answer and the solution

$CH$ . הזוויות הישרות $\angle CDH$ ו- $\angle CEH$ נשענות עליו, וזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — אמצע קשת: משיק מקביל, דמיון וחוצה זווית

Interactive activity

המשולש $ABC$ חסום במעגל. $D$ היא אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ , ו- $GH$ משיק למעגל ב- $D$ . $AD$ חותך את $BC$ ב- $E$ . א. הוכיחו: $GH \parallel BC$ . ב. הוכיחו: $\triangle ABE \sim \triangle ADC$ . ג. נתון $AB=8$ , $AC=6$ , $BC=7$ . חשבו את $BE$ .

\begin{aligned}\overset{\frown}{BD} &= \overset{\frown}{DC} \\ \quad AB &= 8 \\ \ AC &= 6 \\ \ BC &= 7\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כל הסעיפים יוצאים מאותה עובדה: הקשתות $BD$ ו- $DC$ שוות.

א.

\angle HDC=\angle DBC

זווית בין המשיק $DH$ למיתר $DC$ שווה להיקפית מהצד השני.

א.

\angle DBC=\angle DCB

היקפיות הנשענות על הקשתות השוות $DC$ ו- $BD$ .

א. מסקנה

\angle HDC=\angle DCB \Rightarrow GH \parallel BC

כלל המעבר, וזוויות מתחלפות שוות.

ב.

\angle BAE=\angle DAC

היקפיות על הקשתות השוות $BD$ ו- $DC$ .

ב.

\angle ABE=\angle ADC

היקפיות הנשענות על אותה קשת $AC$ .

ב. מסקנה

\triangle ABE \sim \triangle ADC

ז.ז.

ג.

\begin{aligned}\frac{BE}{EC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

לפי סעיף ב $AD$ חוצה את $\angle A$ . משפט חוצה הזווית.

ג. חישוב

\begin{aligned}BE &= \frac{4}{7} \cdot 7 \\ &= 4\end{aligned}

$BC$ מתחלק ל- $4+3=7$ חלקים.

סעיף ב נראה כמו תרגיל נפרד, אבל השורה הראשונה שלו היא בדיוק « $AD$ חוצה זווית», שמשמשת בסעיף ג.

Do the activity on elev

בסעיף ג: מהו $EC$ , ומהי המכפלה $AE \cdot ED$ ?

Show the answer and the solution

$EC=7-4=3$ . המיתרים $AD$ ו- $BC$ נחתכים ב- $E$ , ולכן $AE \cdot ED=BE \cdot EC=4 \cdot 3=12$ .

השאלות התאומות: שאלות 3 ו-4 ברשימה למטה.

4 — שני מעגלים נחתכים: מקבילות דרך שני מרובעים

Interactive activity

שני מעגלים ושני מרובעים חסומים

שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . ישר דרך $A$ חותך את המעגל הראשון ב- $C$ ואת השני ב- $D$ . ישר דרך $B$ חותך את המעגל הראשון ב- $E$ ואת השני ב- $F$ . הוכיחו: $CE \parallel DF$ .

באיזה מרובע חסום במעגל הראשון נשתמש?

$ABEC$

Show the answer and the solution

ארבעת הקודקודים $A$ , $B$ , $E$ , $C$ על המעגל הראשון, בסדר הזה.

$ACDB$

Show the answer and the solution

$D$ אינה על המעגל הראשון.

\angle CAB+\angle BEC=180^\circ

זוויות נגדיות במרובע חסום.

איך מעבירים את $\angle CAB$ למעגל השני?

$\angle CAB+\angle BAD=180^\circ$

Show the answer and the solution

$C$ , $A$ , $D$ על ישר אחד: זוויות צמודות.

$\angle CAB=\angle BAD$

Show the answer and the solution

הזוויות צמודות, ולכן משלימות, לא שוות.

\begin{aligned}\angle BAD+\angle BFD &= 180^\circ \Rightarrow \angle BFD \\ &= \angle CAB\end{aligned}

במרובע החסום $ADFB$ ( $A$ ו- $F$ נגדיות), ושתי זוויות שמשלימות את אותה זווית שוות.

מה מקבלים על $\angle BEC$ ו- $\angle BFD$ ?

סכומן $180^\circ$ , והן חד-צדדיות

Show the answer and the solution

שתיהן על הישר $EF$ , באותו צד שלו, בין $CE$ ל- $DF$ .

הן שוות, והן מתאימות

Show the answer and the solution

סכומן $180^\circ$ . ומזה מסיקים מקבילות דרך זוויות חד-צדדיות.

\angle BEC+\angle BFD=180^\circ \Rightarrow CE \parallel DF

זוויות חד-צדדיות שסכומן $180^\circ$ .

Show the answer and the solution

ההוכחה עוברת דרך $\angle CAB$ : היא משותפת למרובע של המעגל הראשון, ובעזרת הזווית הצמודה לה היא מגיעה למרובע של המעגל השני. בלי הקשר הזה שני המעגלים לא «מדברים».

Do the activity on elev

איזה סוג מרובע הוא $CEFD$ ?

Show the answer and the solution

טרפז: $CE \parallel DF$ , ו- $CD$ ו- $EF$ אינם מקבילים (הם נחתכים בדרך כלל). זה סעיף המשך שכיח בבגרות.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

מהנקודה $P$ יוצאים משיק $PT$ וחותך שפוגש את המעגל ב- $A$ וב- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PA=5$ , $AB=15$ , ושטח המשולש $PBT$ הוא $48$ סמ״ר. השלימו.

$PT=$ ____ , $S_{PTA}=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $PT=$ 10 , $S_{PTA}=$ 12

Worked solution:

\triangle PTA \sim \triangle PBT

ז.ז: זווית משותפת, ומשיק ומיתר

\begin{aligned}PT^2 &= PA \cdot PB \\ &= 5 \cdot 20 \\ &= 100 \Rightarrow PT \\ &= 10\end{aligned}

יחס וכפל בהצלבה

\begin{aligned}k &= \frac{PT}{PB} \\ &= \frac{10}{20} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{PTA} &= 48 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 12\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

$PT=10$ ו- $S_{PTA}=12$ . שתי מלכודות: $PT^2=PA \cdot AB$ , וכפל ב- $k$ במקום ב- $k^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $BE$ הם גבהים, והם נפגשים ב- $H$ . נתון $\angle ACB=58^\circ$ . חשבו את $\angle AHB$ (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 122

Worked solution:

\angle HDC+\angle HEC=180^\circ

שתי זוויות ישרות נגדיות: $CDHE$ חסום

\begin{aligned}\angle DHE &= 180^\circ-58^\circ \\ &= 122^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$

\begin{aligned}\angle AHB &= \angle DHE \\ &= 122^\circ\end{aligned}

זוויות קודקודיות שוות

הזווית היא $122^\circ$ . $\angle AHB$ אינה במרובע, אבל היא קודקודית ל- $\angle DHE$ , שכן במרובע.

Check the answer on elev

Exercise 3

המשולש $ABC$ חסום במעגל. $D$ אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ , ו- $AD$ חותך את $BC$ ב- $E$ . נתון $AB=10$ , $AC=6$ ו- $BC=12$ . חשבו את $BE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 7.5

Worked solution:

\angle BAE=\angle EAC

היקפיות על הקשתות השוות $BD$ ו- $DC$ : $AE$ חוצה זווית

\begin{aligned}\frac{BE}{EC} &= \frac{10}{6} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש

\begin{aligned}BE &= \frac{5}{8} \cdot 12 \\ &= 7.5\end{aligned}

$BE=7.5$ . בלי השורה הראשונה אין רשות להשתמש במשפט חוצה הזווית: קודם מראים ש- $AE$ חוצה את $\angle A$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

המשולש $ABC$ חסום במעגל. $D$ אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ , ו- $AD$ חותך את $BC$ ב- $E$ . הוכיחו: $\triangle ABE \sim \triangle ADC$ .

$D$ אמצע הקשת $BC$

$\triangle ABE \sim \triangle ADC$

Show the answer and the solution

$\angle BAE=\angle DAC$ — זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות
$\angle ABE=\angle ADC$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות $AC$
$\triangle ABE \sim \triangle ADC$ — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

\angle BAE=\angle DAC

קשתות שוות

\angle ABC=\angle ADC

היקפיות על הקשת $AC$

\triangle ABE \sim \triangle ADC

ז.ז

המלכודת: לחפש זוויות קודקודיות ב- $E$ . $\angle AEB$ ו- $\angle DEC$ אכן שוות, אבל הן שייכות למשולשים אחרים ( $ABE$ ו- $DCE$ ). המשולש $ADC$ לא עובר דרך $E$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

שני מעגלים נחתכים ב- $A$ וב- $B$ . ישר דרך $A$ חותך אותם ב- $C$ וב- $D$ , וישר דרך $B$ חותך אותם ב- $E$ וב- $F$ ( $C$ , $E$ על המעגל הראשון). סדרו את שורות ההוכחה ש- $CE \parallel DF$ .

$\angle BAD+\angle BFD=180^\circ$ — המרובע $ADFB$ חסום
$\angle BEC+\angle BFD=180^\circ$ — הצבה
$\angle BFD=\angle CAB$ — משלימות לאותה זווית
$\angle CAB+\angle BAD=180^\circ$ — זוויות צמודות
$\angle CAB+\angle BEC=180^\circ$ — המרובע $ABEC$ חסום
$CE \parallel DF$ — זוויות חד-צדדיות משלימות

Show the answer and the solution

Answer: $\angle CAB+\angle BEC=180^\circ$ — המרובע $ABEC$ חסום · $\angle CAB+\angle BAD=180^\circ$ — זוויות צמודות · $\angle BAD+\angle BFD=180^\circ$ — המרובע $ADFB$ חסום · $\angle BFD=\angle CAB$ — משלימות לאותה זווית · $\angle BEC+\angle BFD=180^\circ$ — הצבה · $CE \parallel DF$ — זוויות חד-צדדיות משלימות

Worked solution:

\angle CAB+\angle BEC=180^\circ

המעגל הראשון

\angle BFD=\angle CAB

דרך הזווית הצמודה $\angle BAD$ והמעגל השני

\angle BEC+\angle BFD=180^\circ \Rightarrow CE \parallel DF

חד-צדדיות

הסדר הוא מעגל ראשון, קשר דרך $A$ , מעגל שני, ורק בסוף המקבילות.

Check the answer on elev

1 — משיק וחותך: דמיון, אורך ויחס שטחים

2 — גבהים: להוכיח שמרובע בר-חסימה ולהשתמש בזה

3 — אמצע קשת: משיק מקביל, דמיון וחוצה זווית

4 — שני מעגלים נחתכים: מקבילות דרך שני מרובעים

Exercises

Keep practising on elev