Set 1 — easy · Circle geometry · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: זוויות במעגל, מרובע חסום, מכפלת קטעים, יחס שטחים, חוצה זווית וקטע אמצעים. כל שאלה דורשת משפט אחד, לכל היותר שניים.

לפני כל תשובה אמרו בקול את שם המשפט. אם אין לכם שם — אין לכם עדיין נימוק, ובבחינה זה עולה נקודות.

Exercises

Exercise 1

הנקודות $A$ , $B$ , $C$ על מעגל שמרכזו $O$ , ו- $A$ על הקשת הגדולה $BC$ . נתון $\angle BOC=100^\circ$ . חשבו את $\angle BAC$ (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

\begin{aligned}\angle BAC &= \tfrac{1}{2} \cdot 100^\circ \\ &= 50^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

$50^\circ$ : ההיקפית היא חצי מהמרכזית, לא שווה לה.

Check the answer on elev

Exercise 2

הישר $EF$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ , ו- $AB$ מיתר. נתון $\angle FAB=40^\circ$ . חשבו את הזווית המרכזית $\angle AOB$ (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 80

Worked solution:

\angle ACB=40^\circ

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני ( $C$ על הקשת הגדולה)

\begin{aligned}\angle AOB &= 2 \cdot 40^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

$80^\circ$ . הזווית בין משיק למיתר מתנהגת כמו היקפית: היא חצי מהמרכזית.

Check the answer on elev

Exercise 3

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, ו- $\angle ABC=115^\circ$ . חשבו את $\angle ADC$ (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 65

Worked solution:

\angle ABC+\angle ADC=180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$

\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ-115^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

$65^\circ$ . $B$ ו- $D$ נגדיות, ולכן משלימות. מי שענה $115^\circ$ השווה אותן.

Check the answer on elev

Exercise 4

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $P$ . נתון $PA=6$ , $PB=2$ ו- $PC=3$ . חשבו את $PD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

PA \cdot PB=PC \cdot PD

מכפלת קטעי מיתרים נחתכים

\begin{aligned}12 &= 3 \cdot PD \Rightarrow PD \\ &= 4\end{aligned}

$PD=4$ . מכפלה של שני הקטעים של אותו מיתר, בכל אגף.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהנקודה $P$ יוצאים משיק $PT$ וחותך שפוגש את המעגל ב- $A$ וב- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PA=2$ ו- $PB=8$ . חשבו את $PT$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}PT^2 &= PA \cdot PB \\ &= 16\end{aligned}

משיק וחותך

PT=4

$PT=4$ . כאן $PB$ נתון כבר כולו, ואין מה לחבר.

Check the answer on elev

Exercise 6

$AB$ קוטר במעגל, ו- $C$ נקודה על המעגל. מה הנימוק לטענה $\angle ACB=90^\circ$ ?

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
במרובע חסום סכום זוויות נגדיות $180^\circ$
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

Show the answer and the solution

Answer: B זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

Worked solution:

\angle ACB=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

הנכונה: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה. «זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר» הוא המשפט ההפוך: הוא מתחיל מהזווית הישרה ומסיק קוטר.

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: הזווית בין משיק למיתר שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על המיתר.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\angle FAB=\angle ACB

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

\angle ACB=\tfrac{1}{2}\angle AOB

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

הטענה נכונה. שני המשפטים יחד: הזווית בין המשיק למיתר שווה להיקפית, וההיקפית היא חצי מהמרכזית.

Check the answer on elev

Exercise 8

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $P$ , ו- $\triangle APC \sim \triangle DPB$ ביחס דמיון $2:3$ . שטח המשולש $APC$ הוא $8$ סמ״ר. חשבו את שטח המשולש $DPB$ (בסמ״ר).

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{S_{APC}}{S_{DPB}} &= \left(\frac{2}{3}\right)^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{DPB} &= 8 \cdot \frac{9}{4} \\ &= 18\end{aligned}

$18$ סמ״ר. מי שענה $12$ כפל ב- $k$ ולא ב- $k^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את $\angle BAC$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $AB=12$ , $AC=8$ ו- $BC=10$ . חשבו את $BD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{12}{8} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש

\begin{aligned}BD &= \frac{3}{5} \cdot 10 \\ &= 6\end{aligned}

$BD=6$ . הקטע הגדול יותר נמצא ליד הצלע הגדולה יותר.

Check the answer on elev

Exercise 10

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , $C$ נקודה על המעגל ו- $M$ אמצע המיתר $AC$ . נתון $OM=4$ . חשבו את $BC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

OM=\tfrac{1}{2}BC

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה: $O$ אמצע $AB$ ו- $M$ אמצע $AC$

\begin{aligned}BC &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

$BC=8$ . קטע האמצעים הוא חצי מהצלע, ולכן הצלע כפולה ממנו.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev