Set 2 — medium · Circle geometry · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות של שני צעדים: משפט במעגל ואחריו משפט במשולש, דמיון ואחריו מכפלה, או הוכחה לסדר. הנושאים מעורבבים בכוונה, כמו בבגרות.

כשהשאלה מבקשת אורך, חפשו שני משולשים דומים שהאורך הוא צלע באחד מהם. כשהיא מבקשת זווית, חפשו קשת שהזווית נשענת עליה.

Exercises

Exercise 1

המשולש $ABC$ חסום במעגל, ו- $EF$ משיק למעגל ב- $A$ . נתון $\angle FAB=50^\circ$ ו- $\angle ABC=70^\circ$ ( $C$ על הקשת הגדולה $AB$ ). חשבו את $\angle BAC$ (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ACB &= \angle FAB \\ &= 50^\circ\end{aligned}

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

\begin{aligned}\angle BAC &= 180^\circ-70^\circ-50^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

$60^\circ$ . הזווית בין המשיק למיתר $AB$ עוברת ל- $C$ , מול המיתר $AB$ , לא ל- $B$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

$AB$ קוטר במעגל, $C$ נקודה על המעגל, ו- $CD \perp AB$ ( $D$ על $AB$ ). הוכיחו: $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ .

$AB$ קוטר
$CD \perp AB$

$\triangle ACD \sim \triangle ABC$

Show the answer and the solution

$\angle CAD=\angle BAC$ — זווית משותפת
$\angle ACB=90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
$\angle ADC=90^\circ$ — נתון: $CD \perp AB$
$\triangle ACD \sim \triangle ABC$ — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

\angle A=\angle A

משותפת

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

אנך, וזווית על קוטר

\triangle ACD \sim \triangle ABC

ז.ז

ההתאמה: $A \leftrightarrow A$ , $D \leftrightarrow C$ (הזוויות הישרות), $C \leftrightarrow B$ . מי שכותב $\triangle ACD \sim \triangle ACB$ מתאים את הזווית הישרה $D$ לזווית $B$ , שאינה ישרה, ומקבל יחסים שגויים.

Check the answer on elev

Exercise 3

במרובע $ABCD$ מאריכים את $BC$ עד $E$ . המרובע חסום במעגל, ו- $\angle DCE=75^\circ$ . השלימו (במעלות).

$\angle BAD=$ ____ , $\angle BCD=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $\angle BAD=$ 75 , $\angle BCD=$ 105

Worked solution:

\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ-75^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

סכום זוויות צמודות הוא $180^\circ$

\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ-105^\circ \\ &= 75^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$

הזווית החיצונית שווה לזווית הפנימית שממול. אין צורך לזכור את זה בעל פה: צמודות, ואחר כך נגדיות.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהנקודה $P$ יוצאים שני חותכים: $PAB$ ו- $PCD$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ , $C$ בין $P$ ל- $D$ ). נתון $PA=4$ , $AB=5$ ו- $PC=3$ . חשבו את $CD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

PA \cdot PB=PC \cdot PD

שני חותכים: $\triangle PAD \sim \triangle PCB$

\begin{aligned}4 \cdot 9 &= 3 \cdot PD \Rightarrow PD \\ &= 12\end{aligned}

$PB=4+5=9$

\begin{aligned}CD &= PD-PC \\ &= 12-3 \\ &= 9\end{aligned}

$CD=9$ . שני צעדים: המכפלה נותנת את $PD$ , ורק אז מחסרים.

Check the answer on elev

Exercise 5

המשולש $ABC$ חסום במעגל. חוצה הזווית $A$ חותך את $BC$ ב- $E$ ואת המעגל ב- $D$ . סדרו את שורות ההוכחה ש- $AB \cdot AC=AD \cdot AE$ .

$\angle ADB=\angle ACE$ — היקפיות על הקשת $AB$
$\angle BAD=\angle EAC$ — נתון: חוצה זווית
$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$ — צלעות מתאימות
$\triangle ABD \sim \triangle AEC$ — ז.ז
$AB \cdot AC=AD \cdot AE$ — כפל בהצלבה

Show the answer and the solution

Answer: $\angle BAD=\angle EAC$ — נתון: חוצה זווית · $\angle ADB=\angle ACE$ — היקפיות על הקשת $AB$ · $\triangle ABD \sim \triangle AEC$ — ז.ז · $\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$ — צלעות מתאימות · $AB \cdot AC=AD \cdot AE$ — כפל בהצלבה

Worked solution:

\triangle ABD \sim \triangle AEC

שתי זוויות

\begin{aligned}\frac{AB}{AE} &= \frac{AD}{AC} \Rightarrow AB \cdot AC \\ &= AD \cdot AE\end{aligned}

הדמיון קודם, היחס אחריו, והמכפלה בסוף. הזוג $B \leftrightarrow E$ קובע ש- $AB$ מתאימה ל- $AE$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $P$ . נתון $PA=x$ , $PB=8$ , $PC=4$ ו- $PD=x+2$ . מצאו את $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

8x=4(x+2)

מכפלת קטעי מיתרים

\begin{aligned}4x &= 8 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$x=2$ . בדיקה: $2 \cdot 8=16=4 \cdot 4$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 7

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והאלכסונים נחתכים ב- $P$ . איזה זוג משולשים דומה תמיד?

$\triangle APB \sim \triangle CPB$
$\triangle APB \sim \triangle DPC$
$\triangle ABC \sim \triangle ADC$
$\triangle APD \sim \triangle APB$

Show the answer and the solution

Answer: B $\triangle APB \sim \triangle DPC$

Worked solution:

\angle APB=\angle DPC

זוויות קודקודיות שוות

\angle BAC=\angle BDC

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות $BC$

\triangle APB \sim \triangle DPC

ז.ז

הנכונה: $\triangle APB \sim \triangle DPC$ , המשולשים ה«נגדיים» סביב $P$ . המשולשים ה«שכנים» ( $APB$ ו- $CPB$ ) חולקים זווית צמודה, לא שווה.

Check the answer on elev

Exercise 8

מיינו את זוגות הזוויות: שוות תמיד, או משלימות תמיד ל- $180^\circ$ ?

שוות
משלימות ל- $180^\circ$

זוויות נגדיות במרובע חסום
זווית בין משיק למיתר, והיקפית על המיתר מצדו השני
זווית חיצונית של מרובע חסום, והפנימית שממול
זווית פנימית של מרובע חסום, והחיצונית שלידה
שתי היקפיות על מיתר $AB$ , באותו צד שלו
שתי היקפיות על מיתר $AB$ , משני צדיו

Show the answer and the solution

Answer: שתי היקפיות על מיתר $AB$ , באותו צד שלו — שוות · שתי היקפיות על מיתר $AB$ , משני צדיו — משלימות ל- $180^\circ$ · זוויות נגדיות במרובע חסום — משלימות ל- $180^\circ$ · זווית בין משיק למיתר, והיקפית על המיתר מצדו השני — שוות · זווית חיצונית של מרובע חסום, והפנימית שממול — שוות · זווית פנימית של מרובע חסום, והחיצונית שלידה — משלימות ל- $180^\circ$

Worked solution:

\overset{\frown}{AB}

אותו צד של המיתר: שתי הזוויות נשענות על אותה קשת

\angle ACB+\angle ADB=180^\circ

משני הצדדים: מרובע חסום

השאלה המבחינה: באיזה צד של המיתר נמצא הקודקוד. אותו צד — שוות. צדדים מנוגדים — משלימות.

Check the answer on elev

Exercise 9

$AB$ קוטר במעגל, $C$ על המעגל, ו- $CD \perp AB$ ( $D$ על $AB$ ). נתון $AD=4$ ו- $DB=9$ . חשבו את $CD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\triangle ACD \sim \triangle CBD

ז.ז: $\angle ADC=\angle CDB=90^\circ$ , ו- $\angle ACD=\angle CBD$ (שתיהן משלימות את $\angle A$ ל- $90^\circ$ )

\begin{aligned}\frac{CD}{BD} &= \frac{AD}{CD} \Rightarrow CD^2 \\ &= AD \cdot DB\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}CD^2 &= 36 \Rightarrow CD \\ &= 6\end{aligned}

$CD=6$ . ההתאמה היא $A \leftrightarrow C$ , $C \leftrightarrow B$ . מי שכתב $CD^2=AD \cdot AB$ ערבב את הקטעים.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ הקטעים $BE$ ו- $CF$ הם גבהים. הוכיחו או הפריכו: $\angle AEF=\angle ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

B ,\ C ,\ E ,\ F

על המעגל שקוטרו $BC$ : זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

\angle AEF+\angle FEC=180^\circ

סכום זוויות צמודות הוא $180^\circ$

\angle FBC+\angle FEC=180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$ ( $BCEF$ )

\begin{aligned}\angle AEF &= \angle FBC \\ &= \angle ABC\end{aligned}

משלימות לאותה זווית

הטענה נכונה. המרובע $BCEF$ חסום, ו- $\angle AEF$ היא הזווית החיצונית שלו ב- $E$ . לכן היא שווה לזווית הפנימית שממול, ב- $B$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev