Set 3 — towards the bagrut · Circle geometry · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח שאלה 4 של הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה. סעיף מאוחר מותר להשתמש בכל מה שהוכח בסעיף מוקדם, גם אם לא הצלחתם להוכיח אותו.

בבחינה, סעיף «הוכיחו» שלא הצלחתם בו אינו סוף השאלה: מניחים את הטענה ועוברים לסעיף הבא. החישוב בסעיף האחרון שווה נקודות גם בלי ההוכחה.

Exercises

Exercise 1

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). א. הוכיחו: $\triangle PAC \sim \triangle PBA$ .

$PA$ משיק למעגל ב- $A$
$B$ , $C$ , $P$ על ישר אחד

$\triangle PAC \sim \triangle PBA$

Show the answer and the solution

$\angle APC=\angle BPA$ — זווית משותפת
$\angle PAC=\angle PBA$ — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
$\triangle PAC \sim \triangle PBA$ — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

\angle P=\angle P

משותפת

\angle PAC=\angle ABC

משיק $AP$ ומיתר $AC$

\triangle PAC \sim \triangle PBA

ז.ז

ההתאמה: $P \leftrightarrow P$ , $A \leftrightarrow B$ , $C \leftrightarrow A$ . היא תקבע את כל היחסים בסעיפים הבאים.

Check the answer on elev

Exercise 2

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). ב. נתון $PC=4$ ו- $BC=5$ . חשבו את $PA$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PA}

מסעיף א: צלעות מתאימות

\begin{aligned}PA^2 &= PC \cdot PB \\ &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

$PB=4+5=9$

PA=6

$PA=6$ . $PB$ הוא כל החותך: $4+5$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). נתון $PC=4$ ו- $BC=5$ . ג. נתון גם $AC=4$ . חשבו את $AB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\frac{AC}{BA}=\frac{PA}{PB}

מסעיף א: $AC \leftrightarrow BA$

\begin{aligned}\frac{4}{AB} &= \frac{6}{9} \Rightarrow AB \\ &= 6\end{aligned}

$PA=6$ מסעיף ב

$AB=6$ . המלכודת: $\frac{AC}{AB}=\frac{PC}{PB}=\frac{4}{9}$ . $PC$ ו- $PB$ אינן צלעות מתאימות: $PC$ מתאימה ל- $PA$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). נתון $PC=4$ ו- $BC=5$ . ד. שטח המשולש $PAC$ הוא $S$ . שטח המשולש $ABC$ שווה ל- $k \cdot S$ . מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1.25

Worked solution:

\begin{aligned}k_{sim} &= \frac{PA}{PB} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון מסעיף א

\begin{aligned}S_{PBA} &= S \cdot \frac{9}{4} \\ &= \frac{9}{4}S\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{ABC} &= S_{PBA}-S_{PAC} \\ &= \frac{9}{4}S-S \\ &= \frac{5}{4}S\end{aligned}

המשולש $PBA$ מורכב מ- $PAC$ ומ- $ABC$

$k=1.25$ . שני צעדים: דמיון בריבוע, ואז חיסור שטחים. דרך בדיקה: למשולשים $PAC$ ו- $ABC$ גובה משותף מ- $A$ , ולכן היחס $\frac{BC}{PC}=\frac{5}{4}$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 5

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . $C$ נקודה על המעגל, ו- $D$ היא אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ . המיתר $AD$ חותך את $BC$ בנקודה $E$ . א. הוכיחו: $OD \parallel AC$ .

$AB$ קוטר, $O$ המרכז
$D$ אמצע הקשת $BC$

$OD \parallel AC$

Show the answer and the solution

$OA=OD$ — רדיוסים במעגל שווים
$\angle ODA=\angle OAD$ — במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\angle OAD=\angle DAC$ — זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות
$\angle ODA=\angle DAC$ — כלל המעבר
$OD \parallel AC$ — אם זוויות מתחלפות שוות — הישרים מקבילים

Worked solution:

\angle ODA=\angle OAD

רדיוסים: משולש שווה שוקיים

\angle OAD=\angle DAC

קשתות שוות $BD$ ו- $DC$

\angle ODA=\angle DAC \Rightarrow OD \parallel AC

מתחלפות, עם החותך $AD$

ההוכחה עוברת דרך הרדיוסים: $OA=OD$ נותן את הזווית שחסרה. המלכודת: לכתוב $\angle ODA=\angle DAC$ «כי היקפיות». $\angle ODA$ אינה היקפית: אחת מזרועותיה היא הרדיוס $DO$ , ולא מיתר.

Check the answer on elev

Exercise 6

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . $C$ נקודה על המעגל, ו- $D$ היא אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ . המיתר $AD$ חותך את $BC$ בנקודה $E$ . ב. מוכיחים ש- $\triangle ACE \sim \triangle BDE$ . איזה זוג נימוקים מספיק?

$\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$ (זוויות על הקוטר $AB$ ), ו- $\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות)
$\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות), ו- $AE=BE$
$\angle CAE=\angle EAB$ (חוצה זווית), ו- $\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות)
$\angle ACB=90^\circ$ (זווית על קוטר), ו- $OD \parallel AC$ (סעיף א)

Show the answer and the solution

Answer: A $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$ (זוויות על הקוטר $AB$ ), ו- $\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות)

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ACE &= \angle BDE \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה, פעמיים

\angle AEC=\angle BED

זוויות קודקודיות שוות

\triangle ACE \sim \triangle BDE

ז.ז

הנכונה: שתי זוויות ישרות וזוויות קודקודיות. באפשרות האחרונה $\angle EAB$ אינה זווית של $\triangle BDE$ . ובאפשרות השנייה יש רק זווית אחת בכל משולש.

Check the answer on elev

Exercise 7

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . $C$ נקודה על המעגל, ו- $D$ היא אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ . המיתר $AD$ חותך את $BC$ בנקודה $E$ . ג. נתון $\angle ABC=30^\circ$ . חשבו את היחס $\frac{CE}{EB}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ACB &= 90^\circ \Rightarrow AC \\ &= \tfrac{1}{2}AB\end{aligned}

זווית על קוטר, וניצב מול $30^\circ$

\angle CAE=\angle EAB

קשתות שוות: $AE$ חוצה את $\angle CAB$

\begin{aligned}\frac{CE}{EB} &= \frac{AC}{AB} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש

$\frac{CE}{EB}=0.5$ . המפתח הוא לזהות ש- $AE$ חוצה זווית במשולש $ABC$ , כי $D$ אמצע הקשת. מי שענה $2$ הפך את היחס.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש חד-זוויות $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $CF$ הם גבהים ( $D$ על $BC$ , $F$ על $AB$ ), והם נפגשים בנקודה $H$ . א. הוכיחו שהנקודות $A$ , $F$ , $D$ , $C$ נמצאות על מעגל אחד.

$AD \perp BC$
$CF \perp AB$

הנקודות $A$ , $F$ , $D$ , $C$ על מעגל אחד

Show the answer and the solution

$\angle AFC=90^\circ$ — הגדרת גובה במשולש $CF$
$\angle ADC=90^\circ$ — הגדרת גובה במשולש $AD$
$F$ על המעגל שקוטרו $AC$ — זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
$D$ על המעגל שקוטרו $AC$ — זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
הנקודות $A$ , $F$ , $D$ , $C$ על מעגל אחד — שתיהן על אותו מעגל, שעובר גם דרך $A$ ו- $C$

Worked solution:

\begin{aligned}\angle AFC &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

גבהים

F ,\ D

שתיהן «רואות» את $AC$ בזווית ישרה, ולכן על המעגל שקוטרו $AC$

כאן הזוויות הישרות אינן נגדיות במרובע $AFDC$ ( $F$ ו- $D$ סמוכות בו). לכן לא עובדים עם סכום $180^\circ$ , אלא עם הקוטר המשותף $AC$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש חד-זוויות $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $CF$ הם גבהים ( $D$ על $BC$ , $F$ על $AB$ ), והם נפגשים בנקודה $H$ . ב. הוכיחו: $\triangle BFD \sim \triangle BCA$ .

$A$ , $F$ , $D$ , $C$ על מעגל אחד (סעיף א)

$\triangle BFD \sim \triangle BCA$

Show the answer and the solution

$\angle FBD=\angle CBA$ — זווית משותפת
$\angle AFD+\angle ACD=180^\circ$ — במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$ ( $AFDC$ )
$\angle AFD+\angle BFD=180^\circ$ — סכום זוויות צמודות הוא $180^\circ$
$\angle BFD=\angle ACD$ — משלימות לאותה זווית
$\triangle BFD \sim \triangle BCA$ — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

\angle BFD=\angle BCA

זווית חיצונית של המרובע החסום $AFDC$ שווה לפנימית שממול

\angle B=\angle B

משותפת

\triangle BFD \sim \triangle BCA

ז.ז

ההתאמה: $F \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow A$ . המשולש הקטן «הפוך» ביחס לגדול: $FD$ אינו מקביל ל- $AC$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש חד-זוויות $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $CF$ הם גבהים ( $D$ על $BC$ , $F$ על $AB$ ), והם נפגשים בנקודה $H$ . ג. נתון $BD=4$ , $BF=5$ ו- $BA=12$ . חשבו את $BC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{BA}

מסעיף ב: $F \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow A$

\begin{aligned}\frac{5}{BC} &= \frac{4}{12} \Rightarrow BC \\ &= 15\end{aligned}

$BC=15$ . בדיקה: $BF \cdot BA=5 \cdot 12=60=4 \cdot 15=BD \cdot BC$ , שני חותכים מ- $B$ למעגל של סעיף א ✓. מי שהתאים $F \leftrightarrow A$ קיבל $\frac{BF}{BA}=\frac{BD}{BC}$ , כלומר $BC=9.6$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev