The normal distribution

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

גבהים, ציוני מבחן ארצי, משקלי תפוחים — כשהרבה גורמים קטנים מצטברים, ההתפלגות מקבלת צורת פעמון: רוב התצפיות ליד האמצע, וזנבות דקים בקצוות. שני מספרים מגדירים את הפעמון כולו: התוחלת μ\mu — מרכז הפעמון, וסטיית התקן σ\sigma — כמה הוא רחב.

הכלל 68–95–99.7

P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.68P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0.68

כ-68% מהתצפיות נופלות במרחק סטיית תקן אחת מהמרכז; 95% בתוך שתיים; 99.7% בתוך שלוש.

ציוני מבחן ארצי

ציונים מתפלגים נורמלית עם μ=70\mu = 70 ו-σ=10\sigma = 10.

P(60<X<80)≈0.68P(60 < X < 80) \approx 0.68

סטיית תקן אחת לכל כיוון

P(X>70)=0.5P(X > 70) = 0.5

הפעמון סימטרי סביב התוחלת

P(70<X<80)≈0.34P(70 < X < 80) \approx 0.34

חצי מה-68%

באותו מבחן — איזה אחוז מהנבחנים מעל 90?

Show the answer and the solution

90 הוא μ+2σ\mu + 2\sigma. מחוץ לתחום ±2σ\pm 2\sigma נמצאים 5%, וחצי מהם — 2.5% — בזנב העליון.

ציון התקן z

כדי להשוות בין פעמונים שונים מתרגמים כל ערך ל«כמה סטיות תקן מהמרכז»:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

ציון 85 במבחן שלנו: z=85−7010=1.5z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5 — סטייה וחצי מעל הממוצע.

ציון 95 בקורס עם μ=80,σ=10\mu = 80, \sigma = 10, או ציון 60 בקורס עם μ=50,σ=5\mu = 50, \sigma = 5 — מי מרשים יותר?

Show the answer and the solution

הראשון: z=1.5z = 1.5. השני: z=2z = 2 — מרשים יותר, אף שהמספר הגולמי קטן. ציון התקן מודד ביחס לקבוצה, לא במוחלט.

מה לא לעשות עם פעמון.

P(X=70)=0.5P(X = 70) = 0.5
P(X>70)=0.5P(X > 70) = 0.5

בהתפלגות רציפה ההסתברות של ערך בודד היא אפס — מדברים תמיד על תחומים.

Exercises

Exercise 1

משקל תפוח מתפלג נורמלית: μ=200\mu = 200 גרם, σ=20\sigma = 20. איזה אחוז מהתפוחים שוקל בין 180 ל-220 גרם? (באחוזים)

Show the answer and the solution

Answer: 68

Worked solution:

180=μ−σ 220=μ+σ\begin{aligned}180 &= \mu - \sigma \\ \ 220 &= \mu + \sigma\end{aligned}
≈68%\approx 68\%
Check the answer on elev

Exercise 2

באותם נתונים: איזה אחוז שוקל בין 160 ל-240 גרם? (באחוזים)

Show the answer and the solution

Answer: 95

Worked solution:

μ±2σ\mu \pm 2\sigma
≈95%\approx 95\%
Check the answer on elev

Exercise 3

באותם נתונים: מה ההסתברות שתפוח שוקל יותר מ-200 גרם? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

200=μ200 = \mu

הפעמון סימטרי סביב המרכז

Check the answer on elev

Exercise 4

באותם נתונים: איזה אחוז שוקל בין 200 ל-220? (באחוזים)

Show the answer and the solution

Answer: 34

Worked solution:

682=34\frac{68}{2} = 34

חצי מתחום הסטייה האחת

Check the answer on elev

Exercise 5

באותם נתונים: איזה אחוז שוקל יותר מ-240 גרם? (באחוזים, עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 2.5

Worked solution:

240=μ+2σ240 = \mu + 2\sigma
100−952=2.5%\frac{100 - 95}{2} = 2.5\%

חצי מהזנבות

Check the answer on elev

Exercise 6

ציוני מבחן: μ=70\mu = 70, σ=10\sigma = 10. מהו ציון התקן של 85?

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

z=85−7010=1.5\begin{aligned}z &= \frac{85 - 70}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 7

באותו מבחן: מהו ציון התקן של 55?

Show the answer and the solution

Answer: -1.5

Worked solution:

z=55−7010=−1.5\begin{aligned}z &= \frac{55 - 70}{10} \\ &= -1.5\end{aligned}

מתחת לממוצע — שלילי

Check the answer on elev

Exercise 8

לאיזה ציון גולמי מתאים z=2z = 2 במבחן עם μ=70,σ=10\mu = 70, \sigma = 10?

Show the answer and the solution

Answer: 90

Worked solution:

x=μ+zσ=70+20=90\begin{aligned}x &= \mu + z\sigma \\ &= 70 + 20 \\ &= 90\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 9

נועה קיבלה 82 בקורס עם μ=70,σ=6\mu = 70, \sigma = 6; עומר קיבל 88 בקורס עם μ=80,σ=8\mu = 80, \sigma = 8. מי השיג הישג יחסי גבוה יותר?

  1. שווה בדיוק
  2. עומר
  3. אי אפשר להשוות
  4. נועה
Show the answer and the solution

Answer: D נועה

Worked solution:

zנועה=126=2zעומר=88=1\begin{aligned}z_{\text{נועה}} &= \frac{12}{6} \\ &= 2 \\ \quad z_{\text{עומר}} &= \frac{8}{8} \\ &= 1\end{aligned}

ציון התקן מנרמל את שני הפעמונים לאותו סרגל — ושתי סטיות תקן גוברות על אחת.

Check the answer on elev

Exercise 10

גובה מתפלג נורמלית: μ=170\mu = 170 ס״מ, σ=8\sigma = 8. מהו ציון התקן של 150 ס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: -2.5

Worked solution:

z=150−1708=−208=−2.5\begin{aligned}z &= \frac{150 - 170}{8} \\ &= \frac{-20}{8} \\ &= -2.5\end{aligned}
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade