Binomial distribution

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

דני חוזר לקלוע — אבל הפעם שלוש זריקות, ואנחנו שואלים: מה ההסתברות לבדיוק שתי פגיעות? העץ כבר גדול — שמונה מסלולים — אבל יש קיצור דרך, כי כל המסלולים עם שתי פגיעות שווי הסתברות: p2qp^2 q כל אחד. נשאר רק לספור כמה כאלה יש.

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

מספר המסלולים (nk)\binom{n}{k}, כפול ההסתברות של מסלול אחד.

שלוש זריקות, שתי פגיעות

n=3n = 3, k=2k = 2, p=23p = \frac{2}{3}.

(32)=3\binom{3}{2} = 3

ההחטאה יכולה ליפול בזריקה 1, 2 או 3

P=3⋅(23)2⋅13=1227=49\begin{aligned}P &= 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{3} \\ &= \frac{12}{27} \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

מהם ארבעת התנאים לניסוי בינומי?

Show the answer and the solution

מספר קבוע של חזרות nn; כל חזרה מצליחה או נכשלת (שתי תוצאות); אותה הסתברות pp בכל חזרה; והחזרות בלתי תלויות. שליפה בלי החזרה, למשל, מפרה את שני האחרונים.

מהי תוחלת מספר הפגיעות בשלוש זריקות של דני?

Show the answer and the solution

בבינומית E(X)=np=3⋅23=2E(X) = np = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2. שלוש הזדמנויות, כל אחת «שווה» שני שלישים.

מה שנשכח בלחץ של מבחן.

P(X=2)=p2(1−p)P(X = 2) = p^2 (1-p)
P(X=2)=(32)p2(1−p)P(X = 2) = \binom{3}{2} p^2 (1-p)

בלי המקדם — חישבתם מסלול אחד ושכחתם ששניים נוספים מגשימים את אותו מאורע.

P(X≥1)=P(X=1)P(X \ge 1) = P(X = 1)
P(X≥1)=1−(1−p)nP(X \ge 1) = 1 - (1-p)^n

«לפחות אחת» כולל גם שתיים ושלוש. המשלים — «אף לא אחת» — קצר בהרבה.

Exercises

Exercise 1

מטילים מטבע הוגן 3 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 2 «עץ»? (עשרוני, שלוש ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 0.375

Worked solution:

(32)⋅0.52⋅0.5=3⋅0.125=0.375\begin{aligned}\binom{3}{2} \cdot 0.5^2 \cdot 0.5 &= 3 \cdot 0.125 \\ &= 0.375\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 2

מטילים מטבע הוגן 4 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 2 «עץ»? (עשרוני, שלוש ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 0.375

Worked solution:

(42)=6\binom{4}{2} = 6
6⋅0.54=616=0.375\begin{aligned}6 \cdot 0.5^4 &= \frac{6}{16} \\ &= 0.375\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 3

דני קולע בהסתברות 23\frac{2}{3} וזורק 3 זריקות. מה ההסתברות לבדיוק 2 פגיעות? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 0.44

Worked solution:

(32)(23)213=1227=49≈0.44\begin{aligned}\binom{3}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \frac{1}{3} &= \frac{12}{27} \\ &= \frac{4}{9} \approx 0.44\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 4

קולע בהסתברות 0.9 זורק 3 זריקות. מה ההסתברות לשלוש פגיעות? (עשרוני, שלוש ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 0.729

Worked solution:

0.93=0.7290.9^3 = 0.729

מסלול אחד — אין מה לספור

Check the answer on elev

Exercise 5

תלמיד מנחש בכל שאלה מתוך 3, בהסתברות הצלחה 0.8 לשאלה. מה ההסתברות שיצליח לפחות באחת? (עשרוני, שלוש ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 0.992

Worked solution:

1−0.23=1−0.008=0.992\begin{aligned}1 - 0.2^3 &= 1 - 0.008 \\ &= 0.992\end{aligned}

דרך המשלים

Check the answer on elev

Exercise 6

מטילים מטבע הוגן 4 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 3 «עץ»? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

(43)⋅0.54=416=0.25\begin{aligned}\binom{4}{3} \cdot 0.5^4 &= \frac{4}{16} \\ &= 0.25\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 7

מהי תוחלת מספר ה«עץ» ב-10 הטלות מטבע הוגן?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

E(X)=np=10⋅0.5=5\begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 10 \cdot 0.5 \\ &= 5\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 8

זרע נובט בהסתברות 0.9. שותלים 4 זרעים. מה ההסתברות שלפחות 3 ינבטו? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 0.95

Worked solution:

P(4)=0.94=0.6561\begin{aligned}P(4) &= 0.9^4 \\ &= 0.6561\end{aligned}
P(3)=(43)0.93⋅0.1=0.2916\begin{aligned}P(3) &= \binom{4}{3} 0.9^3 \cdot 0.1 \\ &= 0.2916\end{aligned}
0.6561+0.2916≈0.950.6561 + 0.2916 \approx 0.95

«לפחות 3» = בדיוק 3 או בדיוק 4

Check the answer on elev

Exercise 9

שולפים 3 קלפים בלי החזרה וסופרים כמה אדומים. מדוע זו אינה התפלגות בינומית?

  1. כי יש יותר משתי תוצאות
  2. ההסתברות משתנה משליפה לשליפה
  3. כי אי אפשר לספור הצלחות
  4. זו כן בינומית
Show the answer and the solution

Answer: B ההסתברות משתנה משליפה לשליפה

Worked solution:

p2≠p1p_2 \ne p_1

אחרי אדום ראשון — נשארו פחות אדומים

בלי החזרה השליפות תלויות זו בזו וההסתברות זזה. עם החזרה — הייתה בינומית.

Check the answer on elev

Exercise 10

קולע בהסתברות 0.9 זורק 4 זריקות. מה ההסתברות שיחטיא לפחות פעמיים? (עגלו לשלוש ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 0.052

Worked solution:

P(0 החטאות)=0.94=0.6561\begin{aligned}P(0 \text{ החטאות}) &= 0.9^4 \\ &= 0.6561\end{aligned}
P(1)=(41)0.1⋅0.93=0.2916\begin{aligned}P(1) &= \binom{4}{1} 0.1 \cdot 0.9^3 \\ &= 0.2916\end{aligned}
1−0.6561−0.2916≈0.0521 - 0.6561 - 0.2916 \approx 0.052
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade