Solving together · Recurrence relations · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: סכומים של המקומות הזוגיים והאי-זוגיים, סדרת עזר שמסתתרת בכלל נסיגה, סדרה בשני כללים, וסדרה שנבנית מסדרה הנדסית. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — סכום המקומות האי-זוגיים וסכום המקומות הזוגיים

Interactive activity

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. סכום כל האיברים הוא $12$ , וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים הוא $9$ . א. מצאו את המנה $q$ . ב. מצאו את $a_1$ . ג. מצאו את סכום האיברים שבמקומות הזוגיים.

\begin{aligned}S &= 12 \\ \qquad a_1+a_3+a_5+\ldots &= 9\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המקומות האי-זוגיים הם סדרה הנדסית בפני עצמה. מה המנה שלה?

הסדרה כולה

\frac{a_1}{1-q}=12

יורדת וחיובית: $0<q<1$ , ולכן יש סכום.

המקומות האי-זוגיים

\frac{a_1}{1-q^2}=9

איבר ראשון $a_1$ , מנה $q^2$ .

מחלקים

\begin{aligned}\frac{1-q^2}{1-q} &= \frac{12}{9} \ \Rightarrow \ 1+q \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

$1-q^2=(1-q)(1+q)$ , ו- $a_1$ מצטמצם.

א.

q=\frac{1}{3}

$0<\frac{1}{3}<1$ ✓

ב.

\begin{aligned}a_1 &= 12\left(1-\tfrac{1}{3}\right) \\ &= 8\end{aligned}

מהמשוואה הראשונה.

ג.

12-9=3

כל איבר נמצא במקום זוגי או אי-זוגי.

בדיקה

\begin{aligned}\frac{a_1q}{1-q^2} &= \frac{\frac{8}{3}}{\frac{8}{9}} \\ &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

המקומות הזוגיים: איבר ראשון $a_2=a_1q$ , מנה $q^2$ .

החלוקה של שתי המשוואות היא המהלך המרכזי: היא מעלימה את $a_1$ ומשאירה משוואה ב- $q$ בלבד.

Do the activity on elev

אילו הסדרה הייתה מתחלפת, עם $-1<q<0$ , איזה סכום היה גדול יותר: של המקומות האי-זוגיים או של הזוגיים?

Show the answer and the solution

אם $a_1>0$ ו- $q<0$ , כל האיברים במקומות האי-זוגיים חיוביים וכל האיברים במקומות הזוגיים שליליים. לכן סכום המקומות האי-זוגיים גדול יותר, וסכום המקומות הזוגיים שלילי.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — סדרת עזר בתוך כלל נסיגה

Interactive activity

כלל נסיגה וסדרה הנדסית חבויה

נתונה סדרה: $a_1=4$ ו- $a_{n+1}=\frac{a_n+6}{2}$ . א. הוכיחו שהסדרה $b_n=a_n-6$ הנדסית, ומצאו את מנתה. ב. הביעו את $a_n$ באמצעות $n$ . ג. חשבו את $b_1+b_2+b_3+\ldots$

$a_n=6-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$a_n=4\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$a_n=6+2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$a_n=6-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$

איך מתחילים את ההוכחה?

כותבים את $b_{n+1}$ ומציבים את כלל הנסיגה

Show the answer and the solution

כך $b_{n+1}$ מתבטא באמצעות $a_n$ , ואפשר להשוות ל- $b_n$ .

מחשבים $b_1, b_2, b_3$ ובודקים שהמנות שוות

Show the answer and the solution

שלושה איברים מראים, אבל לא מוכיחים. ההוכחה צריכה להיות לכל $n$ .

\begin{aligned}b_{n+1} &= a_{n+1}-6 \\ &= \frac{a_n+6}{2}-6\end{aligned}

מציבים את הכלל

איך מפשטים?

$\frac{a_n+6-12}{2}=\frac{a_n-6}{2}$

Show the answer and the solution

מכנה משותף, ו- $a_n-6$ הוא בדיוק $b_n$ .

$\frac{a_n+6}{2}-6=\frac{a_n}{2}-3$ , ולכן המנה $\frac{1}{2}$ ועוד $-3$

Show the answer and the solution

החשבון נכון, אבל $\frac{a_n}{2}-3=\frac{a_n-6}{2}$ . אין «תוספת».

\begin{aligned}b_{n+1} &= \frac{a_n-6}{2} \\ &= \frac{1}{2}b_n\end{aligned}

מנה קבועה $\frac{1}{2}$ : הסדרה $b_n$ הנדסית

מהו $b_1$ ?

$b_1=a_1-6=-2$

Show the answer and the solution

מההגדרה של $b_n$ .

$b_1=a_1=4$

Show the answer and the solution

$b$ היא סדרה אחרת. האיבר הראשון שלה הוא $a_1-6$ .

b_n=-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}

נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית

איך מגיעים ל- $a_n$ ?

$a_n=b_n+6$

Show the answer and the solution

הופכים את ההגדרה $b_n=a_n-6$ .

$a_n=b_n-6$

Show the answer and the solution

כך מקבלים $a_1=-8$ ולא $4$ .

a_n=6-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}

בדיקה: $a_1=6-2=4$ ✓, $a_2=6-1=5=\frac{4+6}{2}$ ✓

סעיף ג: מה הסכום של $b_n$ ?

$\frac{-2}{1-\frac{1}{2}}=-4$

Show the answer and the solution

$|q|<1$ , ולכן יש סכום.

$\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$

Show the answer and the solution

זה $a_1$ , לא $b_1$ . ול- $a_n$ עצמה אין סכום: האיברים שלה מתקרבים ל- $6$ .

b_1+b_2+\ldots=-4

סכום של איברים שליליים — שלילי

Show the answer and the solution

$a_n=6-2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ , והסכום של $b_n$ הוא $-4$ . האפשרות עם $4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ מתעלמת מה- $+6$ בכלל. האפשרות עם $+2$ שוכחת ש- $b_1$ שלילי. האפשרות עם החזקה $n$ נותנת $a_1=5$ .

Do the activity on elev

לאיזה מספר מתקרבים האיברים של $a_n$ כש- $n$ גדל? איך רואים את זה ישר מכלל הנסיגה?

Show the answer and the solution

ל- $6$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ מתקרב ל- $0$ . בכלל עצמו: אם $a_n=6$ , אז $a_{n+1}=\frac{6+6}{2}=6$ . $6$ הוא המספר שהכלל לא מזיז, ולכן בוחרים $b_n=a_n-6$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — סדרה בשני כללים ותת-סדרה

Interactive activity

נתונה סדרה: $a_1=1$ . כאשר $n$ אי-זוגי, $a_{n+1}=a_n+3$ . כאשר $n$ זוגי, $a_{n+1}=2a_n$ . א. חשבו את ששת האיברים הראשונים. ב. הראו שהסדרה $c_k=a_{2k-1}+6$ הנדסית. ג. חשבו את $a_{15}$ .

a_1=1 ,\qquad a_{n+1}=\begin{cases} a_n+3 & n \ \text{אי-זוגי} \\ 2a_n & n \ \text{זוגי} \end{cases}

לחצו «להתחיל». הכלל תלוי בזוגיות של $n$ , כלומר של המקום שממנו יוצאים.

א.

1 \xrightarrow{+3} 4 \xrightarrow{\times 2} 8 \xrightarrow{+3} 11 \xrightarrow{\times 2} 22 \xrightarrow{+3} 25

מ- $a_1$ יוצאים עם $+3$ כי $n=1$ אי-זוגי.

שני צעדים

\begin{aligned}a_{2k+1} &= 2\left(a_{2k-1}+3\right) \\ &= 2a_{2k-1}+6\end{aligned}

ממקום אי-זוגי למקום האי-זוגי הבא: קודם $+3$ , אחר כך $\times 2$ .

ב.

\begin{aligned}c_{k+1} &= a_{2k+1}+6 \\ &= 2a_{2k-1}+12 \\ &= 2c_k\end{aligned}

מנה קבועה $2$ : $c_k$ הנדסית.

איבר ראשון

\begin{aligned}c_1 &= a_1+6 \\ &= 7 \ \Rightarrow \ c_k \\ &= 7\cdot 2^{k-1}\end{aligned}

בדיקה: $c_2=a_3+6=14$ ✓, $c_3=a_5+6=28$ ✓

ג.

\begin{aligned}15 &= 2k-1 \ \Rightarrow \ k \\ &= 8\end{aligned}

$a_{15}$ הוא האיבר השמיני של תת-הסדרה.

ג. סוף

\begin{aligned}a_{15} &= c_8-6 \\ &= 7\cdot 128-6 \\ &= 890\end{aligned}

חוזרים מ- $c$ ל- $a$ .

שני כללים שמתחלפים הם כלל אחד על כל צעד כפול. זה המהלך של כל סדרה בשני כללים: מסתכלים על תת-סדרה.

Do the activity on elev

מהו $a_{16}$ באותה סדרה?

Show the answer and the solution

$15$ אי-זוגי, ולכן $a_{16}=a_{15}+3=893$ . המקום שממנו יוצאים קובע את הכלל, לא המקום שאליו מגיעים.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — סדרה שנבנית מסדרה הנדסית מתחלפת

Interactive activity

$b_n=a_n+a_{n+1}$ וסכום אינסופי

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית עם $a_1=6$ ו- $q=-\frac{1}{2}$ . נגדיר $b_n=a_n+a_{n+1}$ . א. הראו ש- $b_n$ הנדסית ומצאו את $b_1$ ואת מנתה. ב. חשבו את $b_1+b_2+b_3+\ldots$ ג. מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $|a_n|<0.01$ ?

$2$

$4$

$8$

$6$

מה המנה של $b_n$ ?

$q=-\frac{1}{2}$ , כמו של $a_n$

Show the answer and the solution

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{q(a_n+a_{n+1})}{a_n+a_{n+1}}=q$ .

$q^2=\frac{1}{4}$

Show the answer and the solution

$q^2$ היא המנה של מכפלה של שני איברים עוקבים, לא של סכום.

\begin{aligned}b_1 &= a_1+a_2 \\ &= 6-3 \\ &= 3 \\ \qquad q_b &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

$q \neq -1$ , ולכן החלוקה מותרת

מה הסכום של $b_n$ ?

$\frac{3}{1+\frac{1}{2}}=2$

Show the answer and the solution

$1-q=1+\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=6$

Show the answer and the solution

הסימן של $q$ נשכח.

b_1+b_2+\ldots=2

סעיף ב

איך בודקים את התשובה בדרך אחרת?

$S_a+(S_a-a_1)$

Show the answer and the solution

$b_1+b_2+\ldots=(a_1+a_2+\ldots)+(a_2+a_3+\ldots)$ .

$2S_a$

Show the answer and the solution

הסכום השני מתחיל ב- $a_2$ : חסר בו $a_1$ .

\begin{aligned}S_a &= \frac{6}{\frac{3}{2}} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ 4+(4-6) \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

שתי דרכים, אותה תשובה

סעיף ג: איזה אי-שוויון פותרים?

$6\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<0.01$ , כלומר $2^{n-1}>600$

Show the answer and the solution

הערך המוחלט מוריד את הסימן.

$6\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}<0.01$

Show the answer and the solution

כל איבר שלילי מקיים את זה, למשל $a_2=-3$ . לכן צריך ערך מוחלט.

\begin{aligned}2^9 &= 512<600 \\ \qquad 2^{10} &= 1024>600\end{aligned}

ניסוי: $n-1=10$ , כלומר $n=11$

Show the answer and the solution

סכום $b_n$ הוא $2$ , ו- $n=11$ . האפשרות $4$ היא הסכום של $a_n$ , לא של $b_n$ . $6$ מתקבל כששוכחים את הסימן של $q$ . $8$ מתקבל כשמחברים $2S_a$ .

Do the activity on elev

בדקו: $|a_{10}|$ ו- $|a_{11}|$ . האם $n=11$ נכון?

Show the answer and the solution

$|a_{10}|=\frac{6}{2^9}=\frac{6}{512} \approx 0.0117>0.01$ , ו- $|a_{11}|=\frac{6}{1024} \approx 0.0059<0.01$ . כן, $n=11$ .

השאלה התאומה: שאלות 4 ו-5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

(תאומה לשאלה 1) נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. סכום כל האיברים הוא $20$ , וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים הוא $16$ . השלימו.

$q=$ ____ , $a_1=$ ____ , סכום המקומות הזוגיים: ____

Show the answer and the solution

Answer: $q=$ 0.25 , $a_1=$ 15 , סכום המקומות הזוגיים: 4

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{a_1}{1-q} &= 20 \\ \quad \frac{a_1}{1-q^2} &= 16\end{aligned}

שתי משוואות

\begin{aligned}1+q &= \frac{20}{16} \\ &= \frac{5}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

מחלקים

\begin{aligned}a_1 &= 20 \cdot \frac{3}{4} \\ &= 15\end{aligned}

20-16=4

המקומות הזוגיים

מי שמחלק בכיוון ההפוך מקבל $1+q=\frac{4}{5}$ , כלומר $q<0$ , בסתירה לנתון שכל האיברים חיוביים. הסתירה היא הבדיקה.

Check the answer on elev

Exercise 2

(תאומה לשאלה 2) נתונה סדרה: $a_1=10$ ו- $a_{n+1}=\frac{a_n+8}{3}$ . נגדיר $b_n=a_n-4$ . השלימו.

$a_2=$ ____ , $b_1=$ ____ , $b_1+b_2+b_3+\ldots=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a_2=$ 6 , $b_1=$ 6 , $b_1+b_2+b_3+\ldots=$ 9

Worked solution:

\begin{aligned}a_2 &= \frac{10+8}{3} \\ &= 6\end{aligned}

\begin{aligned}b_{n+1} &= \frac{a_n+8}{3}-4 \\ &= \frac{a_n-4}{3} \\ &= \frac{1}{3}b_n\end{aligned}

$b_n$ הנדסית, $q=\frac{1}{3}$

\begin{aligned}b_1 &= 10-4 \\ &= 6\end{aligned}

\frac{6}{1-\frac{1}{3}}=9

$|q|<1$

$4$ הוא המספר שהכלל לא מזיז: $\frac{4+8}{3}=4$ . מי שמחשב $\frac{a_1}{1-q}$ עם $a_1=10$ סוכם את הסדרה הלא נכונה.

Check the answer on elev

Exercise 3

(תאומה לשאלה 3) נתונה סדרה: $a_1=2$ . כאשר $n$ אי-זוגי, $a_{n+1}=a_n+2$ . כאשר $n$ זוגי, $a_{n+1}=3a_n$ . חשבו את $a_{11}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1212

Worked solution:

2, \ 4, \ 12, \ 14, \ 42

חמשת האיברים הראשונים

\begin{aligned}a_{2k+1} &= 3(a_{2k-1}+2) \\ &= 3a_{2k-1}+6\end{aligned}

שני צעדים

\begin{aligned}c_k &= a_{2k-1}+3 \ \Rightarrow \ c_{k+1} \\ &= 3c_k \\ \ c_1 &= 5\end{aligned}

סדרת עזר הנדסית

\begin{aligned}a_{11} &= c_6-3 \\ &= 5 \cdot 3^5-3 \\ &= 1212\end{aligned}

$11=2 \cdot 6-1$

$a_{11}$ הוא האיבר השישי של תת-הסדרה, לא ה- $11$ . מי שמחשב $5 \cdot 3^{10}$ ספר מקומות של $a$ במקום מקומות של $c$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

(תאומה לשאלה 4) $a_n$ סדרה הנדסית אינסופית עם $a_1=8$ ו- $q=-\frac{1}{3}$ . נגדיר $b_n=a_n+a_{n+1}$ . חשבו את $b_1+b_2+b_3+\ldots$

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}b_1 &= 8-\frac{8}{3} \\ &= \frac{16}{3} \\ \quad q_b &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{\frac{16}{3}}{1+\frac{1}{3}} &= \frac{16}{4} \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}S_a &= \frac{8}{\frac{4}{3}} \\ &= 6 \ \Rightarrow \ 6+(6-8) \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה בדרך השנייה ✓

שתי הדרכים חייבות להסכים. מי שמקבל $12=2S_a$ שכח שהסכום השני מתחיל ב- $a_2$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

(תאומה לשאלה 4) $a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=8$ ו- $q=-\frac{1}{3}$ . מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $|a_n|<0.01$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

8\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n-1}<0.01 \ \Rightarrow \ 3^{n-1}>800

ערך מוחלט, ואז הופכים

\begin{aligned}3^6 &= 729 \\ \quad 3^7 &= 2187\end{aligned}

ניסוי

\begin{aligned}n-1 &= 7 \ \Rightarrow \ n \\ &= 8\end{aligned}

החזקה היא $n-1$ , לא $n$ . מי שפותר $3^n>800$ עונה $7$ , ואז $|a_7|=\frac{8}{729} \approx 0.011$ , עדיין גדול מ- $0.01$ .

Check the answer on elev

1 — סכום המקומות האי-זוגיים וסכום המקומות הזוגיים

2 — סדרת עזר בתוך כלל נסיגה

3 — סדרה בשני כללים ותת-סדרה

4 — סדרה שנבנית מסדרה הנדסית מתחלפת

Exercises

Keep practising on elev