Set 3 — towards the bagrut · Functions with roots · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח שאלת החקירה של הבגרות, מחולקות לסעיפים. כל תרגיל הוא סעיף אחד, עם אותה פתיחה. פרמטר מנקודת חיתוך ושתי אסימפטוטות; משיקים אנכיים וערך בקצה; ופרמטר משיפוע עם חיתוך של ישר.

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. אחרי שמצאתם את הפרמטר, הציבו אותו ובדקו אותו בנתון לפני שממשיכים.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x=-5$ . א. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}f(-5) &= 0 \ \Rightarrow \ -5+a \\ &= 0\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ : המונה מתאפס

a=5

המכנה חיובי תמיד, ולכן רק המונה

$a=5$ . מי שכתב $a=-5$ הציב את הנקודה עם הסימן ההפוך: $x+a=0$ ב- $x=-5$ נותן $a=5$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x=-5$ . ב. הציבו $a=5$ . מצאו את האסימפטוטות האופקיות של $f$ .

כש- $x \to +\infty$ : $y=$ ____ ; כש- $x \to -\infty$ : $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: כש- $x \to +\infty$ : $y=$ 1 ; כש- $x \to -\infty$ : $y=$ -1

Worked solution:

\sqrt{x^2+20} \approx |x|

רחוק מ- $0$

\frac{x}{|x|} \to 1 \ (+\infty) ,\quad -1 \ (-\infty)

לפי הכיוון

x^2+20>0

ואין אסימפטוטה אנכית

$y=1$ ו- $y=-1$ . שתי אסימפטוטות שונות: זה מה שמבדיל את הפונקציה מפונקציה רציונלית.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x=-5$ . ג. הציבו $a=5$ . מצאו את נקודת הקיצון של $f$ .

$x=$ ____ , $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x=$ 4 , $y=$ 1.5

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+20)-x(x+5)}{(x^2+20)\sqrt{x^2+20}} \\ &= \frac{20-5x}{(x^2+20)\sqrt{x^2+20}}\end{aligned}

נגזרת של מנה

x=4: \ + \to -

מקסימום

\begin{aligned}f(4) &= \frac{9}{\sqrt{36}} \\ &= 1.5\end{aligned}

הערך

מקסימום $(4,\,1.5)$ . בדקו את הסימן משני הצדדים: $f'(0)>0$ ו- $f'(5)<0$ . אל תסתפקו ב- $f'=0$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

y = f(x)

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x=-5$ . ד. הציבו $a=5$ , והיעזרו בסקיצה שבשרטוט. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ בדיוק שני פתרונות?

$1<k<1.5$
$1 \leq k \leq 1.5$
$k<1.5$
$-1<k<1.5$

Show the answer and the solution

Answer: A $1<k<1.5$

Worked solution:

x<4: \ -1 \nearrow 1.5

עולה מהאסימפטוטה השמאלית עד המקסימום

x>4: \ 1.5 \searrow 1

יורדת לכיוון האסימפטוטה הימנית

1<k<1.5: \ 1+1

פתרון אחד בכל ענף

הנכונה: $1<k<1.5$ . $k=1$ נותן פתרון אחד ( $x=-0.5$ ): מימין הגרף רק מתקרב ל- $1$ . $k=1.5$ נותן אחד, המקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x)=x+\sqrt{a-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישרים $x=-2$ ו- $x=2$ משיקים לגרף של $f$ . א. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}a-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\sqrt{a}\end{aligned}

משיקים אנכיים בקצוות התחום

\begin{aligned}\sqrt{a} &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

הקצוות הם $\pm 2$

$a=4$ . מי שכתב $a=2$ שכח שהקצה הוא $\sqrt{a}$ , לא $a$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x)=x+\sqrt{a-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישרים $x=-2$ ו- $x=2$ משיקים לגרף של $f$ . ב. הציבו $a=4$ . מהי נקודת המקסימום של $f$ ?

$(\sqrt{2},\,2\sqrt{2})$
$(0,\,2)$
$(2,\,2)$
$(\sqrt{2},\,2)$

Show the answer and the solution

Answer: A $(\sqrt{2},\,2\sqrt{2})$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{4-x^2} \\ &= x\end{aligned}

נקודה חשודה

\begin{aligned}4-x^2 &= x^2 \\ \ x \geq 0 \ \Rightarrow \ x &= \sqrt{2}\end{aligned}

$x=-\sqrt{2}$ נפסל: אגף ימין $x$

\begin{aligned}f(\sqrt{2}) &= \sqrt{2}+\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

הערך

הנכונה: $(\sqrt{2},\,2\sqrt{2})$ . במשוואה $\sqrt{4-x^2}=x$ צריך $x \geq 0$ . מי שלא בדק קיבל גם $-\sqrt{2}$ , ושם $f'(-\sqrt{2})=2 \neq 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x)=x+\sqrt{a-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישרים $x=-2$ ו- $x=2$ משיקים לגרף של $f$ . ג. הציבו $a=4$ . השלימו.

הערך הקטן ביותר של $f$ : ____ ; מספר נקודות הפיתול: ____

Show the answer and the solution

Answer: הערך הקטן ביותר של $f$ : -2 ; מספר נקודות הפיתול: 0

Worked solution:

\begin{aligned}f(-2) &= -2 \\ \quad f(2) &= 2\end{aligned}

הקצוות

-2 \leq x \leq \sqrt{2}: \ \nearrow \qquad \sqrt{2} \leq x \leq 2: \ \searrow

הערך הקטן ביותר בקצה השמאלי

f''(x)=\frac{-4}{(4-x^2)\sqrt{4-x^2}}<0

קעורה כלפי מטה בכל הפנים: אין פיתול

$-2$ ו- $0$ . הערך הקטן ביותר בתחום סגור יכול להיות בקצה, בלי $f'=0$ . מי שחיפש אותו רק בנקודות שבהן $f'=0$ לא מצא אותו.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+a}}$ , כאשר $a>0$ . שיפוע המשיק לגרף של $f$ בנקודה $(0,\,0)$ הוא $\frac{1}{2}$ . א. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+a)-x}{2(x+a)\sqrt{x+a}} \\ &= \frac{x+2a}{2(x+a)\sqrt{x+a}}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{2a}{2a\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מציבים

a=4

מעלים בחזקת 2

$a=4$ . מי שכתב $a=2$ לא העלה בחזקת 2: $\sqrt{a}=2$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+a}}$ , כאשר $a>0$ . שיפוע המשיק לגרף של $f$ בנקודה $(0,\,0)$ הוא $\frac{1}{2}$ . ב. הציבו $a=4$ . מה נכון לגבי $f$ ?

ל- $f$ מינימום ב- $x=-8$
$f$ יורדת ב- $x<0$
$f$ עולה בכל התחום, ו- $x=-4$ אסימפטוטה אנכית
ל- $f$ אסימפטוטה אופקית $y=1$

Show the answer and the solution

Answer: C $f$ עולה בכל התחום, ו- $x=-4$ אסימפטוטה אנכית

Worked solution:

x>-4

תחום

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x+8}{2(x+4)\sqrt{x+4}}>0 \ \\ \ x>-4\end{aligned}

$x+8>4>0$ בכל התחום

x \to -4^{+}: \ \frac{-4}{0^{+}} \to -\infty

אסימפטוטה אנכית

הנכונה: עולה בכל התחום. $x=-8$ מאפס את המונה של $f'$ , אבל הוא מחוץ לתחום. אין אסימפטוטה אופקית: $f$ גדלה כמו $\sqrt{x}$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+a}}$ , כאשר $a>0$ . שיפוע המשיק לגרף של $f$ בנקודה $(0,\,0)$ הוא $\frac{1}{2}$ . ג. הציבו $a=4$ . מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם הישר $y=\frac{x}{3}$ .

$x=$ ____ ו- $x=$ ____ (מהקטן לגדול)

Show the answer and the solution

Answer: $x=$ 0 ו- $x=$ 5 (מהקטן לגדול)

Worked solution:

\frac{x}{\sqrt{x+4}}=\frac{x}{3}

משווים

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ \sqrt{x+4} \\ &= 3\end{aligned}

אסור לחלק ב- $x$ בלי לבדוק $x=0$

\begin{aligned}x+4 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

f(5)=\frac{5}{3} \ \checkmark

בדיקה

$x=0$ ו- $x=5$ . מי שחילק את שני האגפים ב- $x$ איבד את הנקודה $(0,\,0)$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev