Practice · Trigonometry in the plane and in space · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים על כל הפרק: משפט הסינוסים עם $2R$ , משפט הקוסינוסים, זהויות בתוך המשולש, צורות מורכבות וגופים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

במשולש $ABC$ נתון $BC = 7$ ו- $\angle BAC = 150^\circ$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

\begin{aligned}2R &= \frac{7}{\sin 150^\circ} \\ &= 14\end{aligned}

משפט הסינוסים

R=7

חצי

$\sin 150^\circ=\frac{1}{2}$ : צלע מול זווית של $150^\circ$ (או $30^\circ$ ) שווה לרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 2

היוצר של חרוט ישר הוא $12$ ס״מ, והוא יוצר עם הבסיס זווית של $30^\circ$ . מצאו את גובה החרוט.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}h &= l\sin 30^\circ \\ &= 12\cdot\frac{1}{2} \\ &= 6\end{aligned}

$\triangle TOP$ ישר זווית ב- $O$ ; הגובה מול הזווית

הגובה מול הזווית: סינוס. $12\cos 30^\circ \approx 10.39$ הוא הרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 3

לכל זווית $\alpha$ בין $0^\circ$ ל- $180^\circ$ , למה שווה $\cos(180^\circ-\alpha)$ ?

$\sin\alpha$
$-\cos\alpha$
$\cos\alpha$
$-\sin\alpha$

Show the answer and the solution

Answer: B $-\cos\alpha$

Worked solution:

\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha

זוויות משלימות

\begin{aligned}\cos 120^\circ &= -\cos 60^\circ \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: $-\cos\alpha$ . זה מה שהופך את הסימן במשפט הקוסינוסים בזווית קהה, ובזוויות הנגדיות של מרובע חסום.

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 5$ , $AC = 8$ ו- $\angle BAC = 60^\circ$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 1.73

Worked solution:

\begin{aligned}BC^2 &= 25+64-40 \\ &= 49 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 7\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\sin 60^\circ \\ &= 10\sqrt{3} \\ \quad p &= 10\end{aligned}

שטח וחצי היקף

\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= \sqrt{3} \approx 1.73\end{aligned}

תשובה

שלושה כלים בשאלה אחת: משפט הקוסינוסים לצלע, נוסחת השטח, ו- $r=\frac{S}{p}$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

בפירמידה ישרה $TABCD$ הבסיס ריבוע שצלעו $6$ , והמקצוע הצדדי $TA = 7$ . מצאו את הזווית שבין $TA$ לבסיס, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 52.69

Worked solution:

AO=3\sqrt{2}

חצי אלכסון הבסיס

\cos\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{7}

$\triangle TOA$ ישר זווית ב- $O$

\alpha \approx 52.69^\circ

תשובה

ההיטל הוא חצי אלכסון, $3\sqrt{2}$ , לא חצי צלע. עם $3$ מקבלים $64.62^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש $ABC$ נתון $\angle B = 25^\circ$ , $\angle C = 50^\circ$ ו- $AC = 4$ . מצאו את $AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 7.25

Worked solution:

\frac{AB}{\sin 50^\circ}=\frac{4}{\sin 25^\circ}

משפט הסינוסים

\begin{aligned}AB &= \frac{4\cdot 2\sin 25^\circ\cos 25^\circ}{\sin 25^\circ} \\ &= 8\cos 25^\circ \approx 7.25\end{aligned}

$50^\circ=2\cdot 25^\circ$ : זווית כפולה

זווית אחת כפולה מהשנייה, ולכן $AB=2\,AC\cos\angle B$ . מחשבון נותן אותו מספר, אבל הזהות חוסכת את החישוב.

Check the answer on elev

Exercise 7

המרובע $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ , ו- $\angle BAD = \alpha$ . הביעו את האלכסון $BD$ .

$2R\sin\frac{\alpha}{2}$
$R\sin\alpha$
$2R\sin\alpha$
$2R\cos\alpha$

Show the answer and the solution

Answer: C $2R\sin\alpha$

Worked solution:

R_{ABD}=R

המשולש $ABD$ חסום באותו מעגל, ולכן יורש את $R$

BD=2R\sin\alpha

משפט הסינוסים: $BD$ מול $\angle A$

הנכונה: $2R\sin\alpha$ . $2R\sin\frac{\alpha}{2}$ מבלבלת זווית היקפית עם זווית מרכזית.

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) נתון $AD = DC = CB = 5$ ו- $\angle DAB = 70^\circ$ . מצאו את האלכסון $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 8.19

Worked solution:

\angle ADC=110^\circ

זוויות חד-צדדיות

\begin{aligned}AC^2 &= 50-50\cos 110^\circ \\ &= 50(1+\cos 70^\circ) \\ &= 100\cos^2 35^\circ\end{aligned}

משפט הקוסינוסים, וזהות חצי זווית

AC=10\cos 35^\circ \approx 8.19

שורש

$\cos 110^\circ$ שלילי, ולכן האלכסון ארוך מ- $\sqrt{50}$ . מי שקיבל $5.74$ לקח $\cos 110^\circ$ חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 9

חתך צירי: משולש שווה שוקיים, והמעגל החסום בו הוא חתך של הכדור.

בחרוט ישר רדיוס הבסיס $6$ , והיוצר יוצר עם הבסיס זווית של $60^\circ$ . בתוך החרוט כדור שמשיק לבסיס ולמעטפת. מצאו את רדיוס הכדור (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 3.46

Worked solution:

\begin{aligned}QP &= 12 \\ \quad \angle P &= \angle Q \\ &= 60^\circ\end{aligned}

חתך צירי: משולש שווה שוקיים. הכדור נראה בו כמעגל החסום

\angle IPO=30^\circ

$PI$ חוצה את זווית הבסיס

\begin{aligned}\rho &= OP\tan 30^\circ \\ &= 6\tan 30^\circ \\ &= 2\sqrt{3} \approx 3.46\end{aligned}

$\triangle IOP$ ישר זווית ב- $O$

הכדור «נעלם» בחתך הצירי והופך למעגל חסום. זו אותה חצי זווית של שאלה 3 בפותרים יחד. עם $\tan 60^\circ$ מקבלים את גובה החרוט, לא את הרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 10

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $4$ . נתון $\angle A = \alpha$ , $\angle B = 2\alpha$ ו- $AC = \sqrt{2}\,BC$ . מצאו את $AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 5.66

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{AC}{BC} &= \frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2\cos\alpha \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}

משפט הסינוסים וזווית כפולה

\begin{aligned}\alpha &= 45^\circ \ \Rightarrow \ \angle C \\ &= 180^\circ-135^\circ \\ &= 45^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות

\begin{aligned}AB &= 2R\sin\angle C \\ &= 8\sin 45^\circ \\ &= 4\sqrt{2} \approx 5.66\end{aligned}

$AB$ מול $\angle C$

המשולש יוצא ישר זווית ב- $B$ : $AC$ הוא קוטר, $8$ . בדיקה: $AB=BC=4\sqrt{2}$ , ו- $(4\sqrt{2})^2 \cdot 2=64=8^2$ ✓.

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev