Set 3 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח שאלה 5 של הבגרות, כל אחת מפורקת לסעיפים: משולש חסום עם זווית כפולה, טרפז חסום, גליל, ותיכון במשולש שווה שוקיים. כל סעיף הוא תרגיל, והפתיח חוזר בכל סעיף.

סעיף א כמעט תמיד «הביעו באמצעות». סעיף ב או ג משתמש בביטוי מסעיף א כדי לבנות משוואה ב-α\alpha. אם לא הצלחתם בסעיף א, אל תוותרו על ב: הביטוי מופיע בפתרון.

Exercises

Exercise 1

Rα2αABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠ABC=α\angle ABC = \alpha ו-∠ACB=2α\angle ACB = 2\alpha. (א) הביעו את ABAB ואת ACAC באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. AB=Rsin⁡2αAB=R\sin 2\alpha , AC=Rsin⁡αAC=R\sin\alpha
  2. AB=2Rsin⁡αAB=2R\sin\alpha , AC=2Rsin⁡2αAC=2R\sin 2\alpha
  3. AB=2Rcos⁡αAB=2R\cos\alpha , AC=2Rsin⁡αAC=2R\sin\alpha
  4. AB=2Rsin⁡2αAB=2R\sin 2\alpha , AC=2Rsin⁡αAC=2R\sin\alpha
Show the answer and the solution

Answer: D AB=2Rsin⁡2αAB=2R\sin 2\alpha , AC=2Rsin⁡αAC=2R\sin\alpha

Worked solution:

AB↔∠C=2αAB \leftrightarrow \angle C=2\alpha

ABAB עומדת מול הקודקוד CC

AB=2Rsin⁡2αAC=2Rsin⁡α\begin{aligned}AB &= 2R\sin 2\alpha \\ \quad AC &= 2R\sin\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים

הנכונה: AB=2Rsin⁡2αAB=2R\sin 2\alpha, AC=2Rsin⁡αAC=2R\sin\alpha. האפשרות ההפוכה מצמידה לכל צלע את הזווית שבקצה שלה.

Check the answer on elev

Exercise 2

Rα2αABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠ABC=α\angle ABC = \alpha ו-∠ACB=2α\angle ACB = 2\alpha. (ב) הביעו את שטח המשולש באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. 2R2sin⁡αsin⁡2α2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha
  2. 2R2sin⁡αsin⁡2αsin⁡3α2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha
  3. R2sin⁡αsin⁡2αsin⁡3αR^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha
  4. 2R2sin⁡αsin⁡2αcos⁡3α2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\cos 3\alpha
Show the answer and the solution

Answer: B 2R2sin⁡αsin⁡2αsin⁡3α2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha

Worked solution:

∠A=180∘−3α\angle A=180^\circ-3\alpha

סכום הזוויות

S=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡∠AS=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle A

ABAB ו-ACAC נפגשות ב-AA

S=12⋅2Rsin⁡2α⋅2Rsin⁡α⋅sin⁡3αS=\frac{1}{2}\cdot 2R\sin 2\alpha\cdot 2R\sin\alpha\cdot\sin 3\alpha

sin⁡(180∘−3α)=sin⁡3α\sin(180^\circ-3\alpha)=\sin 3\alpha

הנכונה: 2R2sin⁡αsin⁡2αsin⁡3α2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha. עם cos⁡3α\cos 3\alpha הוחלף הסינוס של הזווית המשלימה בקוסינוס שלה.

Check the answer on elev

Exercise 3

Rα2αABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠ABC=α\angle ABC = \alpha ו-∠ACB=2α\angle ACB = 2\alpha. (ג) נתון AB=1.6 ACAB = 1.6\,AC. מצאו את ∠BAC\angle BAC, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 69.39

Worked solution:

ABAC=sin⁡2αsin⁡α=2cos⁡α\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2\cos\alpha\end{aligned}

מסעיף א, וזווית כפולה

2cos⁡α=1.6 ⇒ cos⁡α=0.8 ⇒ α≈36.87∘\begin{aligned}2\cos\alpha &= 1.6 \ \Rightarrow \ \cos\alpha \\ &= 0.8 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 36.87^\circ\end{aligned}

פותרים

∠BAC=180∘−3α≈69.39∘\angle BAC=180^\circ-3\alpha \approx 69.39^\circ

סכום הזוויות

שאלו על ∠BAC\angle BAC, לא על α\alpha. ובדיקה: 3α≈110.6∘<180∘3\alpha \approx 110.6^\circ<180^\circ, ולכן המשולש קיים.

Check the answer on elev

Exercise 4

αABCD

בטרפז שווה שוקיים ABCDABCD (AB∥DCAB \parallel DC) נתון AD=DC=CB=kAD = DC = CB = k ו-∠DAB=α\angle DAB = \alpha. (א) הביעו את האלכסון ACAC באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. k(1+2cos⁡α)k(1+2\cos\alpha)
  2. 2kcos⁡α2k\cos\alpha
  3. 2kcos⁡α22k\cos\frac{\alpha}{2}
  4. 2ksin⁡α22k\sin\frac{\alpha}{2}
Show the answer and the solution

Answer: C 2kcos⁡α22k\cos\frac{\alpha}{2}

Worked solution:

∠ADC=180∘−α\angle ADC=180^\circ-\alpha

זוויות חד-צדדיות בין מקבילים

AC2=2k2−2k2cos⁡(180∘−α)=2k2(1+cos⁡α)\begin{aligned}AC^2 &= 2k^2-2k^2\cos(180^\circ-\alpha) \\ &= 2k^2(1+\cos\alpha)\end{aligned}

משפט הקוסינוסים ב-△ADC\triangle ADC

1+cos⁡α=2cos⁡2α2 ⇒ AC=2kcos⁡α2\begin{aligned}1+\cos\alpha &= 2\cos^2\frac{\alpha}{2} \ \Rightarrow \ AC \\ &= 2k\cos\frac{\alpha}{2}\end{aligned}

זהות של חצי זווית

הנכונה: 2kcos⁡α22k\cos\frac{\alpha}{2}. k(1+2cos⁡α)k(1+2\cos\alpha) הוא אורך הבסיס ABAB, לא האלכסון. ו-2ksin⁡α22k\sin\frac{\alpha}{2} נובע מ-cos⁡(180∘−α)=+cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha)=+\cos\alpha.

Check the answer on elev

Exercise 5

αABCD

בטרפז שווה שוקיים ABCDABCD (AB∥DCAB \parallel DC) נתון AD=DC=CB=kAD = DC = CB = k ו-∠DAB=α\angle DAB = \alpha. (ב) הטרפז חסום במעגל. הביעו את רדיוס המעגל באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. k2sin⁡α\frac{k}{2\sin\alpha}
  2. 2ksin⁡α22k\sin\frac{\alpha}{2}
  3. ksin⁡α2\frac{k}{\sin\frac{\alpha}{2}}
  4. k2sin⁡α2\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}
Show the answer and the solution

Answer: D k2sin⁡α2\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}

Worked solution:

∠DAC=∠DCA=α2\begin{aligned}\angle DAC &= \angle DCA \\ &= \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

△ADC\triangle ADC שווה שוקיים עם זווית ראש 180∘−α180^\circ-\alpha

DCsin⁡∠DAC=2R\frac{DC}{\sin\angle DAC}=2R

משפט הסינוסים ב-△ADC\triangle ADC, החסום באותו מעגל

R=k2sin⁡α2R=\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}

מבודדים

הנכונה: k2sin⁡α2\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}. בחרנו משולש שבו צלע ידועה (DC=kDC=k) עומדת מול זווית ידועה. k2sin⁡α\frac{k}{2\sin\alpha} לוקחת את ∠DAB\angle DAB, שאינה מול DCDC.

Check the answer on elev

Exercise 6

αABCD

בטרפז שווה שוקיים ABCDABCD (AB∥DCAB \parallel DC) נתון AD=DC=CB=kAD = DC = CB = k ו-∠DAB=α\angle DAB = \alpha. (ג) נתון AC=1.8kAC = 1.8k. מצאו את α\alpha, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 51.68

Worked solution:

2kcos⁡α2=1.8k2k\cos\frac{\alpha}{2}=1.8k

מסעיף א

cos⁡α2=0.9 ⇒ α2≈25.84∘\cos\frac{\alpha}{2}=0.9 \ \Rightarrow \ \frac{\alpha}{2} \approx 25.84^\circ

פותרים

α≈51.68∘\alpha \approx 51.68^\circ

כופלים ב-22

הפתרון הוא α2\frac{\alpha}{2}, ולא α\alpha. מי שעצר ב-25.84∘25.84^\circ שכח להכפיל.

Check the answer on elev

Exercise 7

αACB

בגליל ישר רדיוס הבסיס rr. ABAB הוא אלכסון של החתך הצירי, והוא יוצר עם בסיס הגליל זווית α\alpha. (א) הביעו את גובה הגליל באמצעות rr ו-α\alpha.

  1. 2rtan⁡α\frac{2r}{\tan\alpha}
  2. rtan⁡αr\tan\alpha
  3. 2rsin⁡α2r\sin\alpha
  4. 2rtan⁡α2r\tan\alpha
Show the answer and the solution

Answer: D 2rtan⁡α2r\tan\alpha

Worked solution:

AC=2rAC=2r

ההיטל של ABAB על הבסיס הוא קוטר

tan⁡α=BCAC ⇒ h=2rtan⁡α\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{BC}{AC} \ \Rightarrow \ h \\ &= 2r\tan\alpha\end{aligned}

△ACB\triangle ACB ישר זווית ב-CC

הנכונה: 2rtan⁡α2r\tan\alpha. rtan⁡αr\tan\alpha לוקחת רדיוס במקום קוטר, ו-2rsin⁡α2r\sin\alpha מתייחסת לקוטר כאילו הוא היתר.

Check the answer on elev

Exercise 8

αACB

בגליל ישר רדיוס הבסיס rr. ABAB הוא אלכסון של החתך הצירי, והוא יוצר עם בסיס הגליל זווית α\alpha. (ב) נתון r=3r = 3, ונפח הגליל 36π36\pi. מצאו את α\alpha, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 33.69

Worked solution:

π⋅9⋅h=36π ⇒ h=4\begin{aligned}\pi\cdot 9\cdot h &= 36\pi \ \Rightarrow \ h \\ &= 4\end{aligned}

נפח גליל

2⋅3tan⁡α=4 ⇒ tan⁡α=23\begin{aligned}2\cdot 3\tan\alpha &= 4 \ \Rightarrow \ \tan\alpha \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

מסעיף א

α≈33.69∘\alpha \approx 33.69^\circ

תשובה

הביטוי מסעיף א הופך את הנפח למשוואה ב-α\alpha. מי שהשתמש ב-rtan⁡αr\tan\alpha קיבל 53.13∘53.13^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 9

αABCM

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=α\angle BAC = \alpha. BMBM הוא התיכון לצלע ACAC. (א) הביעו את BMBM באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. k2−2cos⁡αk\sqrt{2-2\cos\alpha}
  2. k1−cos⁡αk\sqrt{1-\cos\alpha}
  3. k54−cos⁡αk\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}
  4. k54+cos⁡αk\sqrt{\frac{5}{4}+\cos\alpha}
Show the answer and the solution

Answer: C k54−cos⁡αk\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}

Worked solution:

AM=k2AM=\frac{k}{2}

MM אמצע ACAC

BM2=k2+k24−2⋅k⋅k2cos⁡αBM^2=k^2+\frac{k^2}{4}-2\cdot k\cdot\frac{k}{2}\cos\alpha

משפט הקוסינוסים ב-△ABM\triangle ABM

BM=k54−cos⁡αBM=k\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}

מוציאים kk

הנכונה: k54−cos⁡αk\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}. k2−2cos⁡αk\sqrt{2-2\cos\alpha} הוא הבסיס BCBC, לא התיכון: המשולש הנכון הוא ABMABM.

Check the answer on elev

Exercise 10

αABCM

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=α\angle BAC = \alpha. BMBM הוא התיכון לצלע ACAC. (ב) נתון BM=kBM = k. מצאו את α\alpha, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 75.52

Worked solution:

k2(54−cos⁡α)=k2k^2\left(\frac{5}{4}-\cos\alpha\right)=k^2

מעלים בריבוע את הביטוי מסעיף א

cos⁡α=14\cos\alpha=\frac{1}{4}

k2k^2 מצטמצם

α≈75.52∘\alpha \approx 75.52^\circ

תשובה

גם כאן kk נעלם: שוויון בין שני אורכים קובע צורה, לא גודל. וכדאי לעבוד עם BM2BM^2, בלי שורשים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade