From sum to product

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שתי נקודות על מעגל היחידה: PP בזווית α=100∘\alpha=100^\circ ו-QQ בזווית β=20∘\beta=20^\circ. הגובה של האמצע MM הוא sin⁡α+sin⁡β2\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{2} — חצי סכום של סינוסים. הציור מראה שאפשר לכתוב אותו גם כמכפלה.

P בזווית 100°, Q בזווית 20°, ו-M אמצע הקטע PQ
PQMO60°-1-0.500.51-1-0.50.51xy
השיעורים של MM הם הממוצע של השיעורים של PP ושל QQ. והנקודה MM יושבת על הקרן של הזווית האמצעית, 100∘+20∘2=60∘\frac{100^\circ+20^\circ}{2}=60^\circ, במרחק cos⁡100∘−20∘2=cos⁡40∘\cos\frac{100^\circ-20^\circ}{2}=\cos 40^\circ מהראשית.

למה MM נמצאת על הקרן של 60∘60^\circ, ולמה OM=cos⁡40∘OM=\cos 40^\circ?

Show the answer and the solution

OP=OQ=1OP=OQ=1, ולכן התיכון OMOM לבסיס PQPQ הוא גם חוצה הזווית וגם גובה. הזווית POQPOQ היא 80∘80^\circ, והחוצה יוצא בזווית 20∘+40∘=60∘20^\circ+40^\circ=60^\circ. בזווית הישרה שב-MM: OM=1⋅cos⁡40∘OM=1\cdot\cos 40^\circ.

הגובה של MM הוא OM⋅sin⁡60∘OM\cdot\sin 60^\circ. לכן sin⁡100∘+sin⁡20∘2=cos⁡40∘sin⁡60∘\frac{\sin 100^\circ+\sin 20^\circ}{2}=\cos 40^\circ\sin 60^\circ. כך נולדת הנוסחה הראשונה.

ארבע הנוסחאות

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

בכל הנוסחאות מופיעות הזווית האמצעית α+β2\frac{\alpha+\beta}{2} וחצי ההפרש α−β2\frac{\alpha-\beta}{2}. ולמה צריך אותן? מכפלה שווה ל-00 כשאחד הגורמים שווה ל-00. בסכום אין כלל כזה.

הפכו למכפלה ופשטו: sin⁡50∘−sin⁡10∘\sin 50^\circ-\sin 10^\circ.

Show the answer and the solution

2cos⁡60∘2sin⁡40∘2=2cos⁡30∘sin⁡20∘=3sin⁡20∘2\cos\frac{60^\circ}{2}\sin\frac{40^\circ}{2}=2\cos 30^\circ\sin 20^\circ=\sqrt{3}\sin 20^\circ.

משוואה: מסכום למכפלה

פישוט שבר

פשטו את sin⁡5x+sin⁡xcos⁡5x+cos⁡x\frac{\sin 5x+\sin x}{\cos 5x+\cos x} לכל xx שבו המכנה אינו 00.

sin⁡5x+sin⁡x=2sin⁡3xcos⁡2x\sin 5x+\sin x=2\sin 3x\cos 2x

המונה: סכום סינוסים

cos⁡5x+cos⁡x=2cos⁡3xcos⁡2x\cos 5x+\cos x=2\cos 3x\cos 2x

המכנה: סכום קוסינוסים

2sin⁡3xcos⁡2x2cos⁡3xcos⁡2x=tan⁡3x\frac{2\sin 3x\cos 2x}{2\cos 3x\cos 2x}=\tan 3x

אותו גורם cos⁡2x\cos 2x למעלה ולמטה

שלוש הטעויות של סכום למכפלה.

sin⁡α+sin⁡β=sin⁡(α+β)\sin\alpha+\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)
sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

סכום סינוסים אינו סינוס של סכום. בדיקה: α=β=90∘\alpha=\beta=90^\circ נותן 22 מול 00.

cos⁡α−cos⁡β=2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

רק בנוסחה הזו יש מינוס בחזית. בדיקה: cos⁡0∘−cos⁡90∘=1>0\cos 0^\circ-\cos 90^\circ=1>0.

2sin⁡2xcos⁡x=0 ⇒ sin⁡2x=0\begin{aligned}2\sin 2x\cos x &= 0 \ \Rightarrow \ \sin 2x \\ &= 0\end{aligned}
sin⁡2x=0 או cos⁡x=0\begin{aligned}\sin 2x &= 0 \ \text{או} \ \cos x \\ &= 0\end{aligned}

חילוק בגורם שעלול להיות 00 מוחק פתרונות.

מתי הופכים למכפלה? כשבמשוואה יש סכום של שני סינוסים או שני קוסינוסים ששווה ל-00, או כשמופיעה אותה זווית גם במקום אחר. אחרי ההמרה מחפשים גורם משותף — ולא מחלקים בו.

Exercises

Exercise 1

לאיזה ביטוי שווה sin⁡5x+sin⁡3x\sin 5x+\sin 3x?

  1. 2sin⁡8xcos⁡2x2\sin 8x\cos 2x
  2. sin⁡8x\sin 8x
  3. 2sin⁡4xcos⁡x2\sin 4x\cos x
  4. 2cos⁡4xsin⁡x2\cos 4x\sin x
Show the answer and the solution

Answer: C 2sin⁡4xcos⁡x2\sin 4x\cos x

Worked solution:

5x+3x2=4x5x−3x2=x\begin{aligned}\frac{5x+3x}{2} &= 4x \\ \quad \frac{5x-3x}{2} &= x\end{aligned}

הזווית האמצעית וחצי ההפרש

sin⁡5x+sin⁡3x=2sin⁡4xcos⁡x\sin 5x+\sin 3x=2\sin 4x\cos x

סכום סינוסים

הנכונה: 2sin⁡4xcos⁡x2\sin 4x\cos x. 2sin⁡8xcos⁡2x2\sin 8x\cos 2x שכח לחלק ב-22. 2cos⁡4xsin⁡x2\cos 4x\sin x היא הנוסחה של הפרש סינוסים.

Check the answer on elev

Exercise 2

לאיזה ביטוי שווה cos⁡7x−cos⁡3x\cos 7x-\cos 3x?

  1. 2sin⁡5xsin⁡2x2\sin 5x\sin 2x
  2. −2cos⁡5xcos⁡2x-2\cos 5x\cos 2x
  3. cos⁡4x\cos 4x
  4. −2sin⁡5xsin⁡2x-2\sin 5x\sin 2x
Show the answer and the solution

Answer: D −2sin⁡5xsin⁡2x-2\sin 5x\sin 2x

Worked solution:

7x+3x2=5x7x−3x2=2x\begin{aligned}\frac{7x+3x}{2} &= 5x \\ \quad \frac{7x-3x}{2} &= 2x\end{aligned}

הזווית האמצעית וחצי ההפרש

cos⁡7x−cos⁡3x=−2sin⁡5xsin⁡2x\cos 7x-\cos 3x=-2\sin 5x\sin 2x

הפרש קוסינוסים: מינוס בחזית

הנכונה: −2sin⁡5xsin⁡2x-2\sin 5x\sin 2x. בלי המינוס הסימן הפוך. cos⁡4x\cos 4x מחסר זוויות במקום קוסינוסים.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו הערך המדויק של sin⁡75∘+sin⁡15∘\sin 75^\circ+\sin 15^\circ?

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. 11
  3. 62\frac{\sqrt{6}}{2}
  4. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
Show the answer and the solution

Answer: C 62\frac{\sqrt{6}}{2}

Worked solution:

2sin⁡90∘2cos⁡60∘2=2sin⁡45∘cos⁡30∘2\sin\frac{90^\circ}{2}\cos\frac{60^\circ}{2}=2\sin 45^\circ\cos 30^\circ

סכום סינוסים

=2⋅22⋅32=62=2\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{6}}{2}

זוויות מיוחדות

הנכונה: 62≈1.22\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1.22. 1=sin⁡90∘1=\sin 90^\circ — זה שוב סינוס של סכום במקום סכום של סינוסים.

Check the answer on elev

Exercise 4

חשבו בלי מחשבון: cos⁡80∘+cos⁡40∘−cos⁡20∘\cos 80^\circ+\cos 40^\circ-\cos 20^\circ.

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

cos⁡80∘+cos⁡40∘=2cos⁡60∘cos⁡20∘\cos 80^\circ+\cos 40^\circ=2\cos 60^\circ\cos 20^\circ

סכום קוסינוסים

2⋅12⋅cos⁡20∘=cos⁡20∘2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\cos 20^\circ=\cos 20^\circ

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\frac{1}{2}

cos⁡20∘−cos⁡20∘=0\cos 20^\circ-\cos 20^\circ=0

התוצאה

שני המחוברים הראשונים מתאחדים ל-cos⁡20∘\cos 20^\circ בדיוק. מספיק לזהות איזה זוג לחבר: הזוג 80∘80^\circ ו-40∘40^\circ נותן זווית אמצעית מיוחדת.

Check the answer on elev

Exercise 5

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡3x−sin⁡x=0\sin 3x-\sin x=0 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ\le x\le 180^\circ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

2cos⁡2xsin⁡x=02\cos 2x\sin x=0

הפרש סינוסים

cos⁡2x=0 ⇒ x=45∘ 135∘\begin{aligned}\cos 2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 45^\circ \\ \ 135^\circ\end{aligned}

x=45∘+90∘kx=45^\circ+90^\circ k

sin⁡x=0 ⇒ x=0∘ 180∘\begin{aligned}\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0^\circ \\ \ 180^\circ\end{aligned}

שני הקצוות בתחום

ארבעה. הקצוות 0∘0^\circ ו-180∘180^\circ נכללים, כי התחום סגור. מי שחילק ב-sin⁡x\sin x קיבל רק שניים.

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: לכל xx מתקיים sin⁡x+sin⁡3x=sin⁡4x\sin x+\sin 3x=\sin 4x.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x=30∘: sin⁡30∘+sin⁡90∘=1.5\begin{aligned}x &= 30^\circ: \ \sin 30^\circ+\sin 90^\circ \\ &= 1.5\end{aligned}

אגף שמאל

sin⁡120∘=32≈0.87≠1.5\sin 120^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.87 \neq 1.5

אגף ימין

הטענה אינה נכונה. הנכון: sin⁡x+sin⁡3x=2sin⁡2xcos⁡x\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x. שימו לב: ב-x=90∘x=90^\circ שני האגפים שווים (0=00=0). דוגמה שמתאימה אינה הוכחה; דוגמה נגדית אחת היא הפרכה.

Check the answer on elev

Exercise 7

התאימו לכל ביטוי את המכפלה השווה לו. כאן m=α+β2m=\frac{\alpha+\beta}{2} ו-d=α−β2d=\frac{\alpha-\beta}{2}.

  • sin⁡α+sin⁡β\sin\alpha+\sin\beta
  • sin⁡α−sin⁡β\sin\alpha-\sin\beta
  • cos⁡α+cos⁡β\cos\alpha+\cos\beta
  • cos⁡α−cos⁡β\cos\alpha-\cos\beta
  • −2sin⁡msin⁡d-2\sin m\sin d
  • 2cos⁡mcos⁡d2\cos m\cos d
  • 2cos⁡msin⁡d2\cos m\sin d
  • 2sin⁡mcos⁡d2\sin m\cos d
Show the answer and the solution

Answer: sin⁡α+sin⁡β\sin\alpha+\sin\beta — 2sin⁡mcos⁡d2\sin m\cos d · sin⁡α−sin⁡β\sin\alpha-\sin\beta — 2cos⁡msin⁡d2\cos m\sin d · cos⁡α+cos⁡β\cos\alpha+\cos\beta — 2cos⁡mcos⁡d2\cos m\cos d · cos⁡α−cos⁡β\cos\alpha-\cos\beta — −2sin⁡msin⁡d-2\sin m\sin d

Worked solution:

α=β: sin⁡α−sin⁡β=0=2cos⁡msin⁡0\begin{aligned}\alpha &= \beta: \ \sin\alpha-\sin\beta \\ &= 0 \\ &= 2\cos m\sin 0\end{aligned}

בדיקה: בהפרש חייב להופיע sin⁡d\sin d

α=β=0: cos⁡α+cos⁡β=2=2cos⁡0cos⁡0\begin{aligned}\alpha &= \beta \\ &= 0: \ \cos\alpha+\cos\beta \\ &= 2 \\ &= 2\cos 0\cos 0\end{aligned}

בדיקה בזווית אפס

דרך לזכור: בהפרש מופיע sin⁡d\sin d, כי כש-α=β\alpha=\beta ההפרש מתאפס. רק בהפרש הקוסינוסים יש מינוס.

Check the answer on elev

Exercise 8

פשטו: sin⁡3x+sin⁡xcos⁡3x+cos⁡x=tan⁡(kx)\frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x}=\tan(kx), לכל xx שבו המכנה אינו 00. השלימו.

k=k= ____

Show the answer and the solution

Answer: k=k= 2

Worked solution:

2sin⁡2xcos⁡x2cos⁡2xcos⁡x\frac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x}

סכום למכפלה במונה ובמכנה

=sin⁡2xcos⁡2x=tan⁡2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x

מצמצמים ב-2cos⁡x2\cos x

הזווית בטנגנס היא הזווית האמצעית 3x+x2=2x\frac{3x+x}{2}=2x, לא 4x4x.

Check the answer on elev

Exercise 9

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡5x+sin⁡x=0\sin 5x+\sin x=0 בתחום 0∘≤x<180∘0^\circ\le x<180^\circ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

2sin⁡3xcos⁡2x=02\sin 3x\cos 2x=0

סכום סינוסים

sin⁡3x=0 ⇒ x=60∘k ⇒ 0∘ 60∘ 120∘\begin{aligned}\sin 3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 60^\circ k \ \Rightarrow \ 0^\circ \\ \ 60^\circ \\ \ 120^\circ\end{aligned}

3x=180∘k3x=180^\circ k

cos⁡2x=0 ⇒ x=45∘+90∘k ⇒ 45∘ 135∘\begin{aligned}\cos 2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 45^\circ+90^\circ k \ \Rightarrow \ 45^\circ \\ \ 135^\circ\end{aligned}

2x=90∘+180∘k2x=90^\circ+180^\circ k

חמישה: 0∘,45∘,60∘,120∘,135∘0^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 135^\circ. 180∘180^\circ אינו בתחום, כי הקצה פתוח. בכל גורם מחלקים גם את המחזור.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade