Equations, proofs and simplification

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

המשוואה cos⁡2x=sin⁡x\cos 2x=\sin x מערבת שתי זוויות ושתי פונקציות. זהות אחת הופכת אותה למשוואה ריבועית ב-sin⁡x\sin x, והפתרונות הם sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} ו-sin⁡x=−1\sin x=-1. אבל כמה זוויות זה? הישר על המעגל עונה.

פתרו את cos⁡2x=sin⁡x\cos 2x=\sin x בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ.

Show the answer and the solution

1−2sin⁡2x=sin⁡x1-2\sin^2 x=\sin x, כלומר 2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^2 x+\sin x-1=0, ו-(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)=0(2\sin x-1)(\sin x+1)=0. sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} נותן 30∘30^\circ ו-150∘150^\circ. sin⁡x=−1\sin x=-1 נותן 270∘270^\circ. שלושה פתרונות.

השיטה: פונקציה אחת, זווית אחת

כמעט כל משוואה בפרק נפתרת באותו רעיון: להגיע למשוואה עם פונקציה אחת של זווית אחת, או למכפלה ששווה ל-00. הזהות נבחרת לפי מה שמופיע במשוואה.

cos⁡2x עם sin⁡x\cos 2x \ \text{עם} \ \sin x

מציבים cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x: משוואה ריבועית ב-sin⁡x\sin x

sin⁡2x=cos⁡x\sin 2x=\cos x

2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=02\sin x\cos x-\cos x=0: מוציאים גורם משותף cos⁡x\cos x, לא מחלקים בו

sin⁡3x+sin⁡x=0\sin 3x+\sin x=0

סכום למכפלה

sin⁡xcos⁡π6+cos⁡xsin⁡π6\sin x\cos\tfrac{\pi}{6}+\cos x\sin\tfrac{\pi}{6}

מזהים נוסחת סכום מימין לשמאל: sin⁡(x+π6)\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)

הפתרון הכללי ברדיאנים

ביחידה 5 כותבים את הפתרון גם ברדיאנים: 180∘=π180^\circ=\pi. סיבוב שלם הוא 2π2\pi, ולכן מוסיפים 2πk2\pi k במקום 360∘k360^\circ k. כאן kk הוא מספר שלם.

sin⁡x=a: x=x1+2πk או x=π−x1+2πk\begin{aligned}\sin x &= a: \ x \\ &= x_1+2\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \pi-x_1+2\pi k\end{aligned}

שתי משפחות: x1x_1 ו-π−x1\pi-x_1

cos⁡x=a: x=±x1+2πk\begin{aligned}\cos x &= a: \ x \\ &= \pm x_1+2\pi k\end{aligned}

שתי משפחות: x1x_1 ו-−x1-x_1

tan⁡x=a: x=x1+πk\begin{aligned}\tan x &= a: \ x \\ &= x_1+\pi k\end{aligned}

משפחה אחת, מחזור π\pi

גורם משותף, פתרון כללי ותחום

פתרו את sin⁡2x=cos⁡x\sin 2x=\cos x. כתבו פתרון כללי ברדיאנים, ומצאו את הפתרונות בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi.

2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=02\sin x\cos x-\cos x=0

זווית כפולה, והכל לאגף אחד

cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos x\,(2\sin x-1)=0

גורם משותף

cos⁡x=0 ⇒ x=π2+πk\begin{aligned}\cos x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{2}+\pi k\end{aligned}

המשפחה הראשונה

sin⁡x=12 ⇒ x=π6+2πk או x=5π6+2πk\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{6}+2\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\end{aligned}

שתי משפחות נוספות

0≤x≤π: x=π6 π2 5π6\begin{aligned}0\le x\le\pi: \ x &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{5\pi}{6}\end{aligned}

k=0k=0 בכל משפחה

למה אסור לחלק את 2sin⁡xcos⁡x=cos⁡x2\sin x\cos x=\cos x ב-cos⁡x\cos x?

Show the answer and the solution

כי ייתכן ש-cos⁡x=0\cos x=0, וזה בדיוק פתרון: ב-x=π2x=\frac{\pi}{2} שני האגפים שווים ל-00. החילוק מוחק את כל המשפחה x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k.

להוכיח זהות

זהות נכונה לכל xx שבו היא מוגדרת. מתחילים מאגף אחד, בדרך כלל המסובך, ומגיעים לאגף השני. אסור להציב זווית אחת ולהכריז שהוכח, ואסור «לפתור» את הזהות כאילו היא משוואה.

שלוש הטעויות שעולות נקודות.

2sin⁡xcos⁡x=cos⁡x ⇒ 2sin⁡x=1\begin{aligned}2\sin x\cos x &= \cos x \ \Rightarrow \ 2\sin x \\ &= 1\end{aligned}
cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos x\,(2\sin x-1)=0

החילוק ב-cos⁡x\cos x מוחק את x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k.

sin⁡x=12 ⇒ x=π6+2πk\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{6}+2\pi k\end{aligned}
x=π6+2πk או x=5π6+2πk\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{6}+2\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\end{aligned}

שכחו את הזווית השנייה. הישר האופקי פוגש את המעגל פעמיים.

sin⁡2x=12 ⇒ x=π12+2πk\begin{aligned}\sin 2x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{12}+2\pi k\end{aligned}
x=π12+πk או x=5π12+πk\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{12}+\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \tfrac{5\pi}{12}+\pi k\end{aligned}

מחלקים ב-22 את כל הפתרון של 2x2x, גם את 2πk2\pi k.

סדר העבודה: (1) זהות שמשאירה פונקציה אחת או מכפלה. (2) פותרים משוואה בסיסית. (3) פתרון כללי. (4) רק בסוף מציבים kk ובוחרים את מה שבתחום. ובמשוואה ריבועית ב-sin⁡x\sin x: פוסלים כל ערך מחוץ ל-[−1,1][-1,1].

Exercises

Exercise 1

פתרו את המשוואה cos⁡2x=sin⁡x\cos 2x=\sin x בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ. מהו הפתרון הגדול, במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 270

Worked solution:

1−2sin⁡2x=sin⁡x ⇒ 2sin⁡2x+sin⁡x−1=0\begin{aligned}1-2\sin^2 x &= \sin x \ \Rightarrow \ 2\sin^2 x+\sin x-1 \\ &= 0\end{aligned}

cos⁡2x\cos 2x בצורה עם sin⁡x\sin x

(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)=0(2\sin x-1)(\sin x+1)=0

פירוק

x=30∘ 150∘ 270∘\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 150^\circ \\ \ 270^\circ\end{aligned}

sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} או sin⁡x=−1\sin x=-1

הגדול הוא 270∘270^\circ, מ-sin⁡x=−1\sin x=-1. מי שענה 150∘150^\circ איבד את הגורם sin⁡x+1\sin x+1.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו הפתרון הכללי של המשוואה sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x=\sin x?

  1. x=πkx=\pi k או x=±π3+2πkx=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k
  2. x=πkx=\pi k
  3. x=±π3+2πkx=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k
  4. x=πkx=\pi k או x=±π6+2πkx=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k
Show the answer and the solution

Answer: A x=πkx=\pi k או x=±π3+2πkx=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k

Worked solution:

2sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=0 ⇒ sin⁡x (2cos⁡x−1)=0\begin{aligned}2\sin x\cos x-\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ \sin x\,(2\cos x-1) \\ &= 0\end{aligned}

גורם משותף

sin⁡x=0 ⇒ x=πk\begin{aligned}\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pi k\end{aligned}

המשפחה הראשונה

cos⁡x=12 ⇒ x=±π3+2πk\begin{aligned}\cos x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k\end{aligned}

הקוסינוס: פלוס-מינוס

הנכונה: x=πkx=\pi k או x=±π3+2πkx=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k. בלי x=πkx=\pi k חילקו ב-sin⁡x\sin x. ±π6\pm\frac{\pi}{6} הוא הזווית של sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2}, לא של cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2}.

Check the answer on elev

Exercise 3

כמה פתרונות יש למשוואה cos⁡2x+cos⁡x=0\cos 2x+\cos x=0 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2cos⁡2x−1+cos⁡x=02\cos^2 x-1+\cos x=0

cos⁡2x\cos 2x בצורה עם cos⁡x\cos x

(2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)=0(2\cos x-1)(\cos x+1)=0

פירוק

cos⁡x=12: 60∘ 300∘cos⁡x=−1: 180∘\begin{aligned}\cos x &= \tfrac{1}{2}: \ 60^\circ \\ \ 300^\circ \qquad \cos x &= -1: \ 180^\circ\end{aligned}

הפתרונות בתחום

שלושה. cos⁡x=−1\cos x=-1 נותן נקודה אחת בסיבוב. אפשר גם בסכום למכפלה: 2cos⁡3x2cos⁡x2=02\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}=0, ומקבלים אותם שלושה פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 4

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x=\sin x בתחום 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

sin⁡x (2cos⁡x−1)=0\sin x\,(2\cos x-1)=0

גורם משותף

sin⁡x=0: x=0 π 2π\begin{aligned}\sin x &= 0: \ x \\ &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi\end{aligned}

שלושה, כולל שני הקצוות

cos⁡x=12: x=π3 5π3\begin{aligned}\cos x &= \tfrac{1}{2}: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{3} \\ \ \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

שניים

חמישה. התחום סגור, ולכן גם 00 וגם 2π2\pi נספרים. זה ההבדל מהתחום 0≤x<2π0\le x<2\pi, שבו יש ארבעה.

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: למשוואה sin⁡xcos⁡x=0.6\sin x\cos x=0.6 אין פתרון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin 2x

זווית כפולה

12sin⁡2x=0.6 ⇒ sin⁡2x=1.2>1\begin{aligned}\tfrac{1}{2}\sin 2x &= 0.6 \ \Rightarrow \ \sin 2x \\ &= 1.2>1\end{aligned}

אין סינוס כזה

הטענה נכונה. sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x נע בין −12-\frac{1}{2} ל-12\frac{1}{2} בלבד. בלי הזהות קשה לראות את זה, כי כל גורם לבד יכול להגיע ל-11.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו את המשוואה sin⁡xcos⁡20∘+cos⁡xsin⁡20∘=1\sin x\cos 20^\circ+\cos x\sin 20^\circ=1 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ. מהו xx, במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 70

Worked solution:

sin⁡(x+20∘)=1\sin(x+20^\circ)=1

נוסחת הסכום מימין לשמאל

x+20∘=90∘+360∘kx+20^\circ=90^\circ+360^\circ k

לסינוס יש ערך 11 בנקודה אחת בסיבוב

x=70∘x=70^\circ

k=0k=0; עם k=1k=1 מקבלים 430∘430^\circ, מחוץ לתחום

אי אפשר לפתור את זה עם «סינוס של xx» לבד: צריך לזהות שכל אגף שמאל הוא סינוס אחד.

Check the answer on elev

Exercise 7

סדרו את שלבי הפתרון של cos⁡2x−5sin⁡x+2=0\cos 2x-5\sin x+2=0.

  • sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} או sin⁡x=−3\sin x=-3
  • x=π6+2πkx=\frac{\pi}{6}+2\pi k או x=5π6+2πkx=\frac{5\pi}{6}+2\pi k
  • מציבים cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x
  • מקבלים 2sin⁡2x+5sin⁡x−3=02\sin^2 x+5\sin x-3=0
  • פוסלים את sin⁡x=−3\sin x=-3
Show the answer and the solution

Answer: מציבים cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x · מקבלים 2sin⁡2x+5sin⁡x−3=02\sin^2 x+5\sin x-3=0 · sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} או sin⁡x=−3\sin x=-3 · פוסלים את sin⁡x=−3\sin x=-3 · x=π6+2πkx=\frac{\pi}{6}+2\pi k או x=5π6+2πkx=\frac{5\pi}{6}+2\pi k

Worked solution:

1−2sin⁡2x−5sin⁡x+2=0 ⇒ 2sin⁡2x+5sin⁡x−3=0\begin{aligned}1-2\sin^2 x-5\sin x+2 &= 0 \ \Rightarrow \ 2\sin^2 x+5\sin x-3 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב-−1-1

(2sin⁡x−1)(sin⁡x+3)=0(2\sin x-1)(\sin x+3)=0

פירוק

sin⁡x=−3<−1\sin x=-3<-1

אין פתרון

הפסילה באה לפני הפתרון הכללי: sin⁡x=−3\sin x=-3 אינו נותן אף זווית.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו כי לכל xx מתקיים sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x.

  • sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
  • sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x ו-cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x

sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x

Show the answer and the solution
  1. sin⁡3x=sin⁡2xcos⁡x+cos⁡2xsin⁡x\sin 3x=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x — סינוס של סכום, עם 3x=2x+x3x=2x+x
  2. sin⁡2xcos⁡x=2sin⁡xcos⁡2x\sin 2x\cos x=2\sin x\cos^2 x — זווית כפולה
  3. cos⁡2xsin⁡x=sin⁡x−2sin⁡3x\cos 2x\sin x=\sin x-2\sin^3 x — הצורה 1−2sin⁡2x1-2\sin^2 x
  4. 2sin⁡xcos⁡2x=2sin⁡x−2sin⁡3x2\sin x\cos^2 x=2\sin x-2\sin^3 x — הזהות היסודית: cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x=1-\sin^2 x
  5. sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x — מחברים

Worked solution:

(2sin⁡x−2sin⁡3x)+(sin⁡x−2sin⁡3x)=3sin⁡x−4sin⁡3x(2\sin x-2\sin^3 x)+(\sin x-2\sin^3 x)=3\sin x-4\sin^3 x

הסכום

כדי שיישאר רק sin⁡x\sin x, מחליפים כל cos⁡2x\cos^2 x ב-1−sin⁡2x1-\sin^2 x. המלכודת: לכתוב sin⁡3x=3sin⁡x\sin 3x=3\sin x.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהו הפתרון החיובי הקטן ביותר של המשוואה cos⁡2x=cos⁡x\cos 2x=\cos x, ברדיאנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.09

Worked solution:

2cos⁡2x−cos⁡x−1=0 ⇒ (2cos⁡x+1)(cos⁡x−1)=0\begin{aligned}2\cos^2 x-\cos x-1 &= 0 \ \Rightarrow \ (2\cos x+1)(\cos x-1) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב-cos⁡x\cos x

cos⁡x=1: x=2πkcos⁡x=−12: x=±2π3+2πk\begin{aligned}\cos x &= 1: \ x \\ &= 2\pi k \qquad \cos x \\ &= -\tfrac{1}{2}: \ x \\ &= \pm\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k\end{aligned}

שתי המשפחות

x=2π3≈2.09x=\tfrac{2\pi}{3}\approx 2.09

x=0x=0 אינו חיובי

הפתרון x=0x=0 אינו חיובי, ולכן הקטן ביותר הוא 2π3\frac{2\pi}{3}. מי שענה 1.051.05 לקח את π3\frac{\pi}{3}, הזווית של cos⁡x=+12\cos x=+\frac{1}{2}.

Check the answer on elev

Exercise 10

פשטו את sin⁡2x1−cos⁡2x\frac{\sin 2x}{1-\cos 2x} לכל xx שבו sin⁡x≠0\sin x\neq 0.

  1. 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}
  2. cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}
  3. 2cos⁡x2\cos x
  4. tan⁡x\tan x
Show the answer and the solution

Answer: B cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}

Worked solution:

1−cos⁡2x=2sin⁡2x1-\cos 2x=2\sin^2 x

הצורה 1−2sin⁡2x1-2\sin^2 x

2sin⁡xcos⁡x2sin⁡2x=cos⁡xsin⁡x\frac{2\sin x\cos x}{2\sin^2 x}=\frac{\cos x}{\sin x}

מצמצמים

הנכונה: cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}. tan⁡x\tan x הוא ההפוך: הוא מתקבל מ-1−cos⁡2xsin⁡2x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}. בדיקה ב-x=π3x=\frac{\pi}{3}: הביטוי שווה ל-3/23/2=13\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}, ו-tan⁡π3=3\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3} לא מתאים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade