Solving together · Trigonometric identities · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: סכום של שתי זוויות, משוואה שבאה בסוף שאלה בגאומטריה, פונקציה שמתפשטת בעזרת זהות, ומשוואה עם סכום למכפלה ברדיאנים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם איזו זהות אתם הייתם בוחרים, ולמה. הבחירה היא חצי מהפתרון.

1 — סכום של שתי זוויות לא מיוחדות

Interactive activity

נתון $\tan\alpha=\frac{1}{2}$ ו- $\tan\beta=\frac{1}{3}$ , כאשר $\alpha$ ו- $\beta$ זוויות חדות. א. חשבו את $\tan(\alpha+\beta)$ . ב. הוכיחו כי $\alpha+\beta=45^\circ$ .

\begin{aligned}\tan\alpha &= \tfrac{1}{2} \\ \quad \tan\beta &= \tfrac{1}{3} \\ \quad 0^\circ<\alpha \\ \beta<90^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». אף אחת מהזוויות אינה מיוחדת, אבל הסכום שלהן כן.

א. הנוסחה

\tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}

נוסחת הטנגנס של סכום.

א. חישוב

=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1

המונה והמכנה שווים.

ב. תחום

\tan\alpha<1 ,\ \tan\beta<1 \ \Rightarrow \ \alpha<45^\circ ,\ \beta<45^\circ

בזוויות חדות הטנגנס עולה, ו- $\tan 45^\circ=1$ .

ב. מסקנה

\begin{aligned}0^\circ<\alpha+\beta<90^\circ \\ \ \tan(\alpha+\beta) &= 1 \ \Rightarrow \ \alpha+\beta \\ &= 45^\circ\end{aligned}

בתחום הזה רק זווית אחת שהטנגנס שלה $1$ .

בלי סעיף ב, $\tan(\alpha+\beta)=1$ היה מתאים גם ל- $225^\circ$ . התחום של הסכום הוא מה שמכריע.

Do the activity on elev

ומה היה משתנה אם $\tan\alpha=2$ ו- $\tan\beta=3$ , ושתיהן חדות?

Show the answer and the solution

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{5}{1-6}=-1$ . עכשיו $\alpha,\beta>45^\circ$ , ולכן $90^\circ<\alpha+\beta<180^\circ$ . הזווית היחידה שם עם טנגנס $-1$ היא $135^\circ$ .

השאלות התאומות: שאלה 1 ושאלה 5 ברשימה למטה.

2 — משוואה בסוף שאלה בגאומטריה

Interactive activity

שני שטחים ומשוואה ב- $\alpha$

בסוף שאלה בגאומטריה הגעתם לשני שטחים באמצעות $R$ ו- $\alpha$ : $S_1=\frac{1}{2}R^2\sin 2\alpha$ ו- $S_2=\frac{1}{2}R^2\sin\alpha$ , כאשר $0^\circ<\alpha<90^\circ$ . נתון $S_1=\sqrt{2}\,S_2$ . מצאו את $\alpha$ .

$\alpha=45^\circ$

$\alpha=30^\circ$

$\alpha=60^\circ$

$\alpha=0^\circ$ או $\alpha=45^\circ$

מה עושים קודם?

מבטלים את $\frac{1}{2}R^2$ משני האגפים

Show the answer and the solution

$R>0$ , ולכן מותר לחלק.

מציבים $R=1$

Show the answer and the solution

התוצאה נכונה, אבל הנימוק חסר: צריך לומר שמחלקים ב- $R^2\neq 0$ .

\sin 2\alpha=\sqrt{2}\sin\alpha

משוואה עם שתי זוויות: $2\alpha$ ו- $\alpha$ .

איזו זהות?

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

Show the answer and the solution

מגיעים לזווית אחת, $\alpha$ .

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha$

Show the answer and the solution

זו אינה זהות. ב- $\alpha=60^\circ$ : $0.87$ מול $1.73$ .

\begin{aligned}2\sin\alpha\cos\alpha-\sqrt{2}\sin\alpha &= 0 \ \Rightarrow \ \sin\alpha\,(2\cos\alpha-\sqrt{2}) \\ &= 0\end{aligned}

גורם משותף.

מה עם $\sin\alpha=0$ ?

נפסל: $0^\circ<\alpha<90^\circ$

Show the answer and the solution

זווית במשולש אינה $0^\circ$ .

$\alpha=0^\circ$ הוא פתרון

Show the answer and the solution

$0^\circ$ אינו בתחום, והשטחים היו $0$ .

\begin{aligned}\cos\alpha &= \tfrac{\sqrt{2}}{2} \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

הזווית החדה היחידה.

Show the answer and the solution

$\alpha=45^\circ$ . בדיקה: $\sin 90^\circ=1$ ו- $\sqrt{2}\sin 45^\circ=1$ ✓. החילוק ב- $\sin\alpha$ מותר כאן, אבל רק אחרי שמנמקים ש- $\sin\alpha\neq 0$ בתחום.

Do the activity on elev

ואם היה נתון $S_1=2S_2$ ?

Show the answer and the solution

$2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha$ , כלומר $\cos\alpha=1$ ו- $\alpha=0^\circ$ — מחוץ לתחום. אין זווית כזו: תמיד $S_1<2S_2$ , כי $\cos\alpha<1$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פונקציה שמתפשטת: «האם הפונקציה מקבלת את הערך?»

Interactive activity

נתונה $f(x)=\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}$ בתחום $0\le x\le 2\pi$ . א. מצאו את הנקודות שבהן $f$ אינה מוגדרת. ב. הראו כי $f(x)=\cos x+\sin x$ בכל תחום ההגדרה. ג. הראו כי $f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ . ד. האם $f$ מקבלת את הערך $\sqrt{2}$ ?

\begin{aligned}f(x) &= \frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x} \\ \quad 0\le x\le 2\pi\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המכנה קודם: הוא יכריע את סעיף ד.

א.

\begin{aligned}\cos x-\sin x &= 0 \iff \tan x \\ &= 1 \iff x \\ &= \tfrac{\pi}{4} \\ \ \tfrac{5\pi}{4}\end{aligned}

בשתי הנקודות האלה $f$ אינה מוגדרת.

ב.

\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x-\sin x}=\cos x+\sin x

$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ , הפרש ריבועים, וצמצום.

ג.

\sqrt{2}\left(\sin x\cos\tfrac{\pi}{4}+\cos x\sin\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)

סינוס של סכום, ו- $\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

ד. היכן

\begin{aligned}\sin\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right) &= 1 \iff x \\ &= \tfrac{\pi}{4}+2\pi k\end{aligned}

בתחום: רק $x=\frac{\pi}{4}$ .

ד. מסקנה

x=\tfrac{\pi}{4} \notin D_f

לא. הנקודה היחידה שבה הביטוי שווה ל- $\sqrt{2}$ היא «חור» בגרף.

הגרף של $f$ הוא גל של $\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ עם שני חורים — ושניהם בדיוק בשיא ובשפל. לכן $f$ אינה מקבלת את $\sqrt{2}$ ולא את $-\sqrt{2}$ .

Do the activity on elev

האם $f$ מקבלת את הערך $-\sqrt{2}$ ?

Show the answer and the solution

לא. $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$ רק ב- $x=\frac{5\pi}{4}$ , וגם זו נקודה שבה $f$ אינה מוגדרת. כל ערך אחר בין $-\sqrt{2}$ ל- $\sqrt{2}$ מתקבל.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — סכום למכפלה, פתרון כללי ותחום

Interactive activity

פתרו $\sin 3x+\sin x=\cos x$

פתרו את המשוואה $\sin 3x+\sin x=\cos x$ . כתבו פתרון כללי ברדיאנים, ומצאו את הפתרונות בתחום $0\le x\le\pi$ .

$\frac{\pi}{12} ,\ \frac{5\pi}{12} ,\ \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{12} ,\ \frac{5\pi}{12}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{6} ,\ \frac{\pi}{2} ,\ \frac{5\pi}{6}$

מה עושים עם אגף שמאל?

סכום למכפלה

Show the answer and the solution

$\frac{3x+x}{2}=2x$ , $\frac{3x-x}{2}=x$ , ומופיע $\cos x$ — כמו באגף ימין.

$\sin 3x+\sin x=\sin 4x$

Show the answer and the solution

סכום סינוסים אינו סינוס של סכום.

2\sin 2x\cos x=\cos x

אותו $\cos x$ בשני האגפים.

ועכשיו?

מעבירים אגף ומוציאים $\cos x$

Show the answer and the solution

כך לא מאבדים פתרונות.

מחלקים ב- $\cos x$

Show the answer and the solution

מאבדים את $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ .

\cos x\,(2\sin 2x-1)=0

שתי משוואות בסיסיות.

מה הפתרון הכללי של $\sin 2x=\frac{1}{2}$ ?

$x=\frac{\pi}{12}+\pi k$ או $x=\frac{5\pi}{12}+\pi k$

Show the answer and the solution

$2x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ או $2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ , ומחלקים הכל ב- $2$ .

$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ או $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$

Show the answer and the solution

זה הפתרון של $\sin x=\frac{1}{2}$ . הזווית כאן היא $2x$ .

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2}+\pi k \quad \text{או} \quad x \\ &= \tfrac{\pi}{12}+\pi k \quad \text{או} \quad x \\ &= \tfrac{5\pi}{12}+\pi k\end{aligned}

הפתרון הכללי, עם $\cos x=0$ .

אילו פתרונות בתחום $0\le x\le\pi$ ?

$k=0$ בכל משפחה

Show the answer and the solution

עם $k=1$ כל המשפחות יוצאות מעל $\pi$ .

$k=0$ ו- $k=1$ בכל משפחה

Show the answer and the solution

$\frac{13\pi}{12}>\pi$ .

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{12} \\ \ \tfrac{5\pi}{12} \\ \ \tfrac{\pi}{2}\end{aligned}

שלושה פתרונות.

Show the answer and the solution

$\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2}$ . מי שבחר רק שניים חילק ב- $\cos x$ . מי שבחר $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ שכח שהזווית היא $2x$ .

Do the activity on elev

כמה פתרונות יש לאותה משוואה בתחום $0\le x\le 2\pi$ ?

Show the answer and the solution

שישה: $\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2}$ ועוד $\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{3\pi}{2}$ (עם $k=1$ ). מחזור $\pi$ בכל משפחה — שני סיבובים של חצי מעגל.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נתון $\tan\alpha=2$ ו- $\tan\beta=3$ , כאשר $\alpha$ ו- $\beta$ זוויות חדות. מצאו את $\alpha+\beta$ במעלות.

Show the answer and the solution

Answer: 135

Worked solution:

\begin{aligned}\tan(\alpha+\beta) &= \frac{2+3}{1-6} \\ &= -1\end{aligned}

נוסחת הטנגנס של סכום

\tan\alpha>1 ,\ \tan\beta>1 \ \Rightarrow \ 90^\circ<\alpha+\beta<180^\circ

כל זווית גדולה מ- $45^\circ$

\alpha+\beta=135^\circ

הזווית היחידה בתחום עם טנגנס $-1$

מי שענה $45^\circ$ לקח את הזווית של המחשבון בלי לבדוק את התחום. הטנגנס שלילי, והסכום קהה.

Check the answer on elev

Exercise 2

בסוף שאלה בגאומטריה הגעתם לשטחים $S_1=R^2\sin 2\alpha$ ו- $S_2=R^2\cos\alpha$ , כאשר $0^\circ<\alpha<90^\circ$ . נתון $S_1=S_2$ . מצאו את $\alpha$ במעלות.

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

2\sin\alpha\cos\alpha=\cos\alpha

מחלקים ב- $R^2>0$ , וזווית כפולה

\cos\alpha\,(2\sin\alpha-1)=0

גורם משותף

\begin{aligned}\cos\alpha\neq 0 \ \Rightarrow \ \sin\alpha &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= 30^\circ\end{aligned}

בתחום $\cos\alpha>0$ ; ו- $150^\circ$ אינו חד

שני פתרונות נפסלים בתחום: $\alpha=90^\circ$ (מ- $\cos\alpha=0$ ) ו- $\alpha=150^\circ$ . כותבים את הנימוק, לא רק את התשובה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=\frac{\cos 2x}{\cos x+\sin x}$ בתחום $0\le x\le 2\pi$ . הוכיחו או הפריכו: $f$ מקבלת את הערך $\sqrt{2}$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= \cos x-\sin x \\ \quad \cos x+\sin x\neq 0\end{aligned}

הפרש ריבועים וצמצום

\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)

קוסינוס של סכום

\begin{aligned}\cos\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right) &= 1 \iff x \\ &= \tfrac{7\pi}{4}\end{aligned}

בתחום

\begin{aligned}\cos\tfrac{7\pi}{4}+\sin\tfrac{7\pi}{4} &= \tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 0\end{aligned}

שם המכנה $0$ : $f$ לא מוגדרת

הטענה אינה נכונה. הביטוי $\cos x-\sin x$ מגיע ל- $\sqrt{2}$ רק ב- $x=\frac{7\pi}{4}$ , ושם יש חור בגרף. הפישוט נכון רק בתחום ההגדרה של $f$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו את המשוואה $\sin 3x-\sin x=\cos 2x$ . כמה פתרונות יש לה בתחום $0\le x\le\pi$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

2\cos 2x\sin x=\cos 2x

הפרש סינוסים

\cos 2x\,(2\sin x-1)=0

גורם משותף — לא מחלקים

\begin{aligned}\cos 2x &= 0: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi k}{2} \ \Rightarrow \ \tfrac{\pi}{4} \\ \ \tfrac{3\pi}{4}\end{aligned}

$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k$

\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{1}{2}: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{5\pi}{6}\end{aligned}

שתי זוויות

ארבעה. מי שחילק ב- $\cos 2x$ קיבל רק את $\frac{\pi}{6}$ ו- $\frac{5\pi}{6}$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו הערך המדויק של $\tan 15^\circ$ ?

$\sqrt{3}-2$
$\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
$2+\sqrt{3}$
$2-\sqrt{3}$

Show the answer and the solution

Answer: D $2-\sqrt{3}$

Worked solution:

\begin{aligned}\tan(45^\circ-30^\circ) &= \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}} \\ &= \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\end{aligned}

טנגנס של הפרש

\begin{aligned}\frac{(3-\sqrt{3})^2}{9-3} &= \frac{12-6\sqrt{3}}{6} \\ &= 2-\sqrt{3}\end{aligned}

מכפילים בצמוד

הנכונה: $2-\sqrt{3}\approx 0.27$ . $\sqrt{3}-2$ שלילי, אבל $15^\circ$ ברביע הראשון. $2+\sqrt{3}$ הוא $\tan 75^\circ$ . $\frac{\sqrt{3}}{3}-1$ חיסר טנגנסים.

Check the answer on elev

1 — סכום של שתי זוויות לא מיוחדות

2 — משוואה בסוף שאלה בגאומטריה

3 — פונקציה שמתפשטת: «האם הפונקציה מקבלת את הערך?»

4 — סכום למכפלה, פתרון כללי ותחום

Exercises

Keep practising on elev