Perpendicular lines and areas · Analytic geometry: the straight line · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שני ישרים מאונכים יוצרים זווית ישרה. גם את זה השיפועים אומרים.

m_1 \cdot m_2 = -1

במילים: השיפוע של הישר המאונך הוא ההופכי, עם סימן הפוך. למשל $2$ ו- $-\frac{1}{2}$ .

מה השיפוע של ישר המאונך ל- $y = -\frac{2}{3}x + 1$ ?

Show the answer and the solution

$\frac{3}{2}$ : הופכים את $\frac{2}{3}$ ל- $\frac{3}{2}$ ומחליפים את הסימן.

ישר מאונך דרך נקודה

מצאו את הישר המאונך ל- $y = 2x + 1$ שעובר דרך $(4,\ 3)$ .

m = -\frac{1}{2}

הופכי עם סימן הפוך

y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 4)

y = -\frac{1}{2}x + 5

זווית ישרה במצולע

כדי להוכיח שזווית במצולע ישרה, מראים שהצלעות שלה מאונכות: מכפלת השיפועים $-1$ .

A(0,\ 0)

B(4,\ 2)

C(3,\ 4)

D(-1,\ 2)

מלבן?

הראו ש- $ABCD$ מלבן.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2} \\ \ \ m_{DC} &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מקבילות

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{2}{-1} \\ &= -2 \\ \ \ m_{BC} &= \frac{2}{-1} \\ &= -2\end{aligned}

מקבילות

\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1

צלעות סמוכות מאונכות

\text{מקבילית עם זווית ישרה}

$ABCD$ מלבן

שטח בעזרת פירוק

במשולש ישר זווית השטח הוא מחצית מכפלת הניצבים. במלבן: אורך כפול רוחב. את אורכי הצלעות מוצאים בנוסחת המרחק.

שטח המלבן

מצאו את השטח של $ABCD$ .

\begin{aligned}AB &= \sqrt{16 + 4} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

\begin{aligned}AD &= \sqrt{1 + 4} \\ &= \sqrt{5}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

משולש שאחת הצלעות שלו על ציר $x$ : הבסיס הוא המרחק על הציר, והגובה הוא ה- $y$ של הקודקוד השלישי.

שתי טעויות במאונכים.

\begin{aligned}m_1 &= 2 \Rightarrow m_2 \\ &= -2\end{aligned}

m_2 = -\frac{1}{2}

לא מספיק להפוך סימן. צריך גם להפוך את המספר.

\begin{aligned}m_1 &= 3 \Rightarrow m_2 \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

m_2 = -\frac{1}{3}

לא מספיק להפוך את המספר. צריך גם להחליף סימן.

Exercises

Exercise 1

מה השיפוע של ישר המאונך לישר ששיפועו $4$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -0.25

Worked solution:

\begin{aligned}4 \cdot m &= -1 \Rightarrow m \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

$m = -\frac{1}{4} = -0.25$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

אילו שני ישרים מאונכים?

$y = 3x + 1$ ו- $y = -3x$
$y = 3x + 1$ ו- $y = -\frac{1}{3}x$
$y = 3x + 1$ ו- $y = \frac{1}{3}x$
$y = 3x + 1$ ו- $y = 3x - 2$

Show the answer and the solution

Answer: B $y = 3x + 1$ ו- $y = -\frac{1}{3}x$

Worked solution:

3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1

הראשונים.

Check the answer on elev

Exercise 3

מצאו את הישר המאונך ל- $y = -2x + 3$ שעובר דרך $(2,\ 6)$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ 0.5 $x +$ 5

Worked solution:

m = \frac{1}{2}

\begin{aligned}y - 6 &= \frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y \\ &= 0.5x + 5\end{aligned}

$y = 0.5x + 5$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נכון או לא נכון: במשולש $A(0,\ 0)$ , $B(2,\ 4)$ , $C(6,\ 2)$ הזווית ב- $B$ ישרה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= 2 \\ \ m_{BC} &= \frac{-2}{4} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

נכון.

Check the answer on elev

Exercise 5

מצאו את שטח המשולש $A(0,\ 0)$ , $B(2,\ 4)$ , $C(6,\ 2)$ מהשאלה הקודמת.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

\begin{aligned}BC &= \sqrt{16 + 4} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= 10\end{aligned}

השטח $10$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

מצאו את שטח המשולש $A(-2,\ 0)$ , $B(6,\ 0)$ , $C(3,\ 5)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

AB = 8

על ציר $x$

h = 5

ה- $y$ של $C$

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 5}{2} \\ &= 20\end{aligned}

$20$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

הישרים $y = kx + 1$ ו- $y = 2x - 3$ מאונכים. מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: -0.5

Worked solution:

2k = -1

$k = -0.5$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

המרובע $A(0,\ 0)$ , $B(3,\ 1)$ , $C(2,\ 4)$ , $D(-1,\ 3)$ . כל הצלעות שוות ( $\sqrt{10}$ ), ו- $m_{AB} \cdot m_{AD} = -1$ . מה המרובע?

מעוין שאינו ריבוע
ריבוע
מלבן שאינו ריבוע
טרפז

Show the answer and the solution

Answer: B ריבוע

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1}{3} \\ \ m_{AD} &= -3\end{aligned}

\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1

זווית ישרה

ריבוע: כל הצלעות שוות וזווית ישרה.

Check the answer on elev

Exercise 9

הישר $AB$ עובר דרך $A(1,\ 2)$ ו- $B(5,\ 4)$ . מצאו את הישר המאונך ל- $AB$ שעובר דרך $B$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -2 $x +$ 14

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

m = -2

\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -2x + 14\end{aligned}

$y = -2x + 14$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

הישר $y = -2x + 14$ מהשאלה הקודמת חותך את ציר $x$ ב- $C$ . מצאו את שטח המשולש $ABC$ , כאשר $A(1,\ 2)$ , $B(5,\ 4)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

C(7,\ 0)

\begin{aligned}AB &= \sqrt{20} \\ \ BC &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

הזווית ב- $B$ ישרה

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= 10\end{aligned}

$10$ .

Check the answer on elev

Exercise 11

סדרו את השלבים להוכחה שמרובע הוא מלבן.

מחשבים את השיפועים של ארבע הצלעות
מסיקים שהמקבילית היא מלבן
מסיקים שהמרובע מקבילית
מראים ששני זוגות של צלעות נגדיות מקבילים
מראים ששתי צלעות סמוכות מאונכות

Show the answer and the solution

Answer: מחשבים את השיפועים של ארבע הצלעות · מראים ששני זוגות של צלעות נגדיות מקבילים · מסיקים שהמרובע מקבילית · מראים ששתי צלעות סמוכות מאונכות · מסיקים שהמקבילית היא מלבן

Worked solution:

\text{מקבילית} + 90^\circ = \text{מלבן}

מקבילית עם זווית ישרה אחת היא מלבן.

Check the answer on elev

זווית ישרה במצולע

שטח בעזרת פירוק

Exercises

Keep practising on elev