Solving together · Linear programming · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שתי שאלות בנוסח הבגרות: מאפייה עם שינוי מחירים, ופונקציית מטרה עם פרמטר. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב.

בבגרות כותבים את כל הקודקודים ואת ערך הפונקציה בכל אחד, בטבלה קטנה. ככה הבודק רואה שבדקתם הכול.

1 — מאפייה

כל שנתה בציור היא

10

A(60,\ 0)

B(30,\ 30)

C(0,\ 45)

Interactive activity

מאפייה אופה עוגות ( $x$ ) ופשטידות ( $y$ ) בכל יום. האילוצים: $x \ge 0$ , $y \ge 0$ , $x + y \le 60$ , $x + 2y \le 90$ . א. מצאו את הקודקודים של התחום. ב. הרווח מעוגה $40$ ש״ח ומפשטידה $50$ ש״ח. כמה מכל סוג כדאי לאפות? ג. הרווח מעוגה ירד ב- $10\%$ , ומפשטידה עלה ב- $20\%$ . בכמה גדל הרווח המקסימלי?

x + y \le 60,\quad x + 2y \le 90

לחצו «להתחיל».

א.

O(0,\ 0),\ A(60,\ 0),\ C(0,\ 45)

על הצירים: $60 < 90$ ב- $x$ , ו- $45 < 60$ ב- $y$ .

א.

\begin{aligned}y &= 30 \\ \ x &= 30 \Rightarrow B(30,\ 30)\end{aligned}

מחסרים: $(x + 2y) - (x + y) = 30$ .

ב.

\begin{aligned}A:\ 2400 \\ \ B:\ 1200 + 1500 &= 2700 \\ \ C:\ 2250\end{aligned}

מציבים בכל קודקוד.

ב.

\max = 2700\ \text{ב-}\ B

$30$ עוגות ו- $30$ פשטידות.

ג.

\begin{aligned}40 \cdot 0.9 &= 36 \\ \ \ 50 \cdot 1.2 &= 60\end{aligned}

הרווחים החדשים.

ג.

\begin{aligned}A:\ 2160 \\ \ B:\ 1080 + 1800 &= 2880 \\ \ C:\ 2700\end{aligned}

ג.

2880 - 2700 = 180

הרווח המקסימלי גדל ב- $180$ ש״ח.

סעיף ג: התחום לא השתנה, רק פונקציית המטרה. אין צורך לצייר מחדש.

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — פרמטר

Interactive activity

באותה מאפייה הרווח מעוגה $k$ ש״ח, ומפשטידה $50$ ש״ח. א. ידוע שהרווח ב- $A(60,\ 0)$ שווה לרווח ב- $B(30,\ 30)$ . מצאו את $k$ . ב. מה הרווח המקסימלי? ג. כמה פתרונות אופטימליים יש?

f = kx + 50y

לחצו «להתחיל».

א.

60k = 30k + 1500

א.

k = 50

ב.

A:\ 3000,\ B:\ 3000,\ C:\ 2250

ב.

\max = 3000

ג.

\text{כל הצלע}\ AB

אינסוף: כל נקודה על הצלע $AB$ (עם שיעורים שלמים: $31$ נקודות).

כשהמקסימום בשני קודקודים, כל הצלע ביניהם אופטימלית.

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

שאלה 1. $x \ge 0$ , $y \ge 0$ , $x + y \le 40$ , $2x + y \le 60$ . רווח $f = 30x + 20y$ . השלימו.

הקודקוד הפנימי: ( ____ , ____ ) ; הרווח המקסימלי: ____ ; אחרי שינוי ל- $f = 24x + 25y$ , הרווח המקסימלי: ____

Show the answer and the solution

Answer: הקודקוד הפנימי: ( 20 , 20 ) ; הרווח המקסימלי: 1000 ; אחרי שינוי ל- $f = 24x + 25y$ , הרווח המקסימלי: 1000

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 20 \\ \ y &= 20\end{aligned}

(30,\ 0):\ 900,\ (20,\ 20):\ 1000,\ (0,\ 40):\ 800

(20,\ 20):\ 980,\ (0,\ 40):\ 1000

אחרי השינוי הקודקוד האופטימלי עבר ל- $(0,\ 40)$ , והרווח המקסימלי נשאר $1{,}000$ במקרה.

Check the answer on elev

Exercise 2

שאלה 2. באותו תחום, $f = kx + 20y$ , והרווח ב- $(30,\ 0)$ שווה לרווח ב- $(20,\ 20)$ . השלימו.

$k =$ ____ ; הרווח המקסימלי: ____

Show the answer and the solution

Answer: $k =$ 40 ; הרווח המקסימלי: 1200

Worked solution:

30k = 20k + 400

k = 40

1200,\ 1200,\ 800

$k = 40$ , רווח מקסימלי $1{,}200$ .

Check the answer on elev

1 — מאפייה

2 — פרמטר

Exercises

Keep practising on elev