Inequalities in two variables · Linear programming · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ישר מחלק את המישור לשני חצאי מישור. אי-שוויון כמו $x + y \le 10$ מתאר את כל הנקודות שבצד אחד של הישר $x + y = 10$ , וגם את הישר עצמו.

באיזה צד?

בוחרים נקודת בדיקה שאינה על הישר, בדרך כלל $(0,\ 0)$ , ומציבים. אם האי-שוויון מתקיים, הצד של הנקודה הוא הצד הנכון.

$x + y \le 10$

באיזה צד של הישר $x + y = 10$ נמצאות הנקודות?

0 + 0 \le 10

מציבים $(0,\ 0)$ : נכון

\text{הצד של}\ (0,\ 0)

החצי שמתחת לישר

בצורה מפורשת זה מהיר: $y \le -x + 10$ פירושו מתחת לישר, ו- $y \ge \ldots$ פירושו מעליו.

האם הנקודה $(3,\ 8)$ מקיימת $x + y \le 10$ ?

Show the answer and the solution

$3 + 8 = 11 > 10$ : לא. הנקודה מעל הישר.

כמה אי-שוויונים יחד

מערכת של אי-שוויונים מתארת את הנקודות שמקיימות את כולם: החלק המשותף של כל חצאי המישור. $x \ge 0$ ו- $y \ge 0$ משאירים את הרביע הראשון.

התחום האפשרי (הצבוע):

x \ge 0

y \ge 0

x + y \le 10

2x + y \le 14

האם הנקודה $(5,\ 5)$ נמצאת בתחום הצבוע?

Show the answer and the solution

$5 + 5 = 10 \le 10$ ✓, אבל $2 \cdot 5 + 5 = 15 > 14$ ✗. לא: אי-שוויון אחד לא מתקיים, וזה מספיק.

שתי טעויות בחצאי מישור.

2x + y \le 14:\ \text{מעל הישר}

\text{מתחת לישר}

בודקים בנקודה: $(0,\ 0)$ נותן $0 \le 14$ , ו- $(0,\ 0)$ מתחת לישר.

(5,\ 5)\ \text{מקיימת אחד} \Rightarrow \text{בתחום}

\text{צריך את כולם}

נקודה בתחום רק אם כל האילוצים מתקיימים.

Exercises

Exercise 1

נכון או לא נכון: הנקודה $(2,\ 3)$ מקיימת $3x + 2y \le 12$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

6 + 6 = 12 \le 12

נכון: היא על הישר עצמו, וגם זה מותר ב- $\le$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נכון או לא נכון: הנקודה $(0,\ 0)$ מקיימת $x + 2y \ge 8$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

0 \ge 8

לא נכון

לא נכון. לכן התחום הוא הצד השני של הישר.

Check the answer on elev

Exercise 3

האי-שוויון $y \le 2x + 1$ מתאר:

את הנקודות שמתחת לישר $y = 2x + 1$ ועליו
רק את הישר
את הרביע הראשון
את הנקודות שמעל הישר

Show the answer and the solution

Answer: A את הנקודות שמתחת לישר $y = 2x + 1$ ועליו

Worked solution:

y \le \ldots

מתחת

מתחת לישר, כולל הישר.

Check the answer on elev

Exercise 4

מיינו את הנקודות: בתחום של $x \ge 0,\ y \ge 0,\ x + y \le 10,\ 2x + y \le 14$ או מחוצה לו?

בתחום
מחוץ לתחום

$(-1,\ 4)$
$(1,\ 10)$
$(2,\ 2)$
$(4,\ 6)$
$(6,\ 3)$
$(7,\ 0)$

Show the answer and the solution

Answer: $(2,\ 2)$ — בתחום · $(4,\ 6)$ — בתחום · $(7,\ 0)$ — בתחום · $(6,\ 3)$ — מחוץ לתחום · $(-1,\ 4)$ — מחוץ לתחום · $(1,\ 10)$ — מחוץ לתחום

Worked solution:

(6,\ 3):\ 15 > 14

(1,\ 10):\ 11 > 10

כל אילוץ שנשבר מוציא את הנקודה.

Check the answer on elev

Exercise 5

התחום האפשרי (הצבוע):

x \ge 0

y \ge 0

x + y \le 10

2x + y \le 14

במערכת $x \ge 0$ , $y \ge 0$ , $x + y \le 10$ , $2x + y \le 14$ : מהו ה- $y$ הגדול ביותר האפשרי כאשר $x = 5$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

y \le 10 - 5 = 5

y \le 14 - 10 = 4

y \le 4

המגבלה החזקה

$y = 4$ . שני האילוצים צריכים להתקיים, והקשה מביניהם מכריע.

Check the answer on elev

Exercise 6

באיזה אי-שוויון אי אפשר להשתמש ב- $(0,\ 0)$ כנקודת בדיקה?

$2x - y \ge -4$
$y \ge -x + 2$
$y \ge 3x$
$x + y \le 5$

Show the answer and the solution

Answer: C $y \ge 3x$

Worked solution:

(0,\ 0)\ \text{על}\ y = 3x

הראשון: $(0,\ 0)$ נמצאת על הישר $y = 3x$ , ולכן היא לא מבחינה בין הצדדים. בוחרים נקודה אחרת, למשל $(1,\ 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

השלימו: הנקודה $(3,\ 5)$ והמערכת $x + y \le 10$ , $2x + y \le 14$ . כתבו $1$ אם האילוץ מתקיים ו- $0$ אם לא.

$x + y \le 10$ : ____ ; $2x + y \le 14$ : ____ ; בתחום: ____

Show the answer and the solution

Answer: $x + y \le 10$ : 1 ; $2x + y \le 14$ : 1 ; בתחום: 1

Worked solution:

3 + 5 = 8 \le 10

6 + 5 = 11 \le 14

שני האילוצים מתקיימים: הנקודה בתחום.

Check the answer on elev

Exercise 8

בודקים אם $(4,\ 7)$ בתחום $x + y \le 10$ , $2x + y \le 14$ . איזו שורה שגויה?

4 + 7 = 11 > 10

2 \cdot 4 + 7 = 15 > 14

\text{הנקודה בתחום}

Show the answer and the solution

Answer: $\text{הנקודה בתחום}$ → $\text{הנקודה מחוץ לתחום}$

Worked solution:

11 > 10

אילוץ שנשבר

שני האילוצים נשברו: הנקודה מחוץ לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו כל אי-שוויון לצד של הישר.

$y \ge x + 1$
$y \le x + 1$
$x \ge 3$
$x \le 3$

מימין לישר $x = 3$
מעל הישר $y = x + 1$
משמאל לישר $x = 3$
מתחת לישר $y = x + 1$

Show the answer and the solution

Answer: $y \ge x + 1$ — מעל הישר $y = x + 1$ · $y \le x + 1$ — מתחת לישר $y = x + 1$ · $x \ge 3$ — מימין לישר $x = 3$ · $x \le 3$ — משמאל לישר $x = 3$

Worked solution:

y \ge \Rightarrow \text{מעל},\ x \ge \Rightarrow \text{מימין}

ב- $y$ : מעל או מתחת. ב- $x$ לבד: ימינה או שמאלה.

Check the answer on elev

Exercise 10

כמה נקודות עם שיעורים שלמים יש בתחום $x \ge 0$ , $y \ge 0$ , $x + y \le 2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(0,2)

$6$ נקודות.

Check the answer on elev

באיזה צד?

כמה אי-שוויונים יחד

Exercises

Keep practising on elev