The quadratic model in context

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלות של הבגרות הפרבולה מתארת מצב מהחיים: גובה של כדור, רווח של חנות, צורה של גשר. החשבון זהה. מה שמשתנה: צריך לתרגם כל תשובה בחזרה לסיפור.

הכדור של מזל

מזל זורקת כדור כלפי מעלה. הגובה שלו (במטרים) אחרי xx שניות הוא y=−5x2+10x+1.5y = -5x^2 + 10x + 1.5.

גובה הכדור של מזל
00.511.522.501234567שניותמטרים

ארבע שאלות על אותו כדור

א. מאיזה גובה נזרק הכדור? ב. מתי הוא בשיא, ובאיזה גובה? ג. מתי הוא נוחת? ד. האם יש משמעות ל-x=3x = 3?

x=0⇒y=1.5\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 1.5\end{aligned}

א. מגובה 1.51.5 מטרים

x=−10−10=1  y=−5+10+1.5=6.5\begin{aligned}x &= \frac{-10}{-10} \\ &= 1 \\ \ \ y &= -5 + 10 + 1.5 \\ &= 6.5\end{aligned}

ב. אחרי שנייה, בגובה 6.56.5 מטרים

x=−10±100+30−10⇒x≈2.14x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 30}}{-10} \Rightarrow x \approx 2.14

ג. הפתרון השני, −0.14-0.14, נפסל: זמן שלילי

x=3>2.14x = 3 > 2.14

ד. אין משמעות: הכדור כבר על הקרקע

למה פוסלים את x≈−0.14x \approx -0.14?

Show the answer and the solution

כי הזמן מתחיל ב-00, ברגע הזריקה. פתרון שלילי הוא פתרון של המשוואה, אבל לא של הסיפור.

רווח של חנות

חנות מוכרת כובעים. אם המחיר הוא xx ש״ח, הרווח היומי הוא y=−x2+40x−300y = -x^2 + 40x - 300 ש״ח.

מחיר, רווח, הפסד

א. באיזה מחיר הרווח מקסימלי, ומהו? ב. באילו מחירים החנות מרוויחה?

x=−40−2=20  y=−400+800−300=100\begin{aligned}x &= \frac{-40}{-2} \\ &= 20 \\ \ \ y &= -400 + 800 - 300 \\ &= 100\end{aligned}

א. מחיר 2020 ש״ח, רווח 100100 ש״ח

−x2+40x−300=0⇒x=10 x=30\begin{aligned}-x^2 + 40x - 300 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10 \\ \ x &= 30\end{aligned}

נקודות האפס

10<x<3010 < x < 30

ב. תחום החיוביות: שם יש רווח

«מתי מרוויחים» = תחום חיוביות. «מתי הרווח גדל» = תחום עלייה. שתי שאלות שונות, ושני תחומים שונים.

מקדם לא ידוע

לפעמים חסר מקדם, ונותנים נקודה על הגרף. מציבים את הנקודה, ומקבלים משוואה ל-aa.

ההון של מפעל

ההון של מפעל (במיליוני ש״ח) אחרי xx שנים הוא y=ax2−3x+6.5y = ax^2 - 3x + 6.5. אחרי שנה ההון היה 44 מיליון. מצאו את aa.

4=a⋅1−3+6.54 = a \cdot 1 - 3 + 6.5

מציבים (1, 4)(1,\ 4)

a=0.5a = 0.5
a>0a > 0

יש להון מינימום: הוא יורד ואחר כך עולה

שתי טעויות בשאלות מהחיים.

x1=−0.14 x2=2.14\begin{aligned}x_1 &= -0.14 \\ \ x_2 &= 2.14\end{aligned}
x=2.14x = 2.14

פתרון שלילי של זמן נפסל. כותבים במפורש למה.

מרוויחים: x<20\text{מרוויחים}:\ x < 20
מרוויחים: 10<x<30\text{מרוויחים}:\ 10 < x < 30

x<20x < 20 הוא תחום העלייה של הרווח. הרווח חיובי בין נקודות האפס.

Exercises

Exercise 1

הגובה של כדור (במטרים) הוא y=−5x2+10x+1.5y = -5x^2 + 10x + 1.5, כאשר xx בשניות. באיזה גובה היה הכדור אחרי חצי שנייה?

Show the answer and the solution

Answer: 5.25

Worked solution:

y=−5⋅0.25+5+1.5=5.25\begin{aligned}y &= -5 \cdot 0.25 + 5 + 1.5 \\ &= 5.25\end{aligned}

5.255.25 מטרים.

Check the answer on elev

Exercise 2

דני זורק אבן. הגובה שלה (במטרים) הוא y=−5x2+25x+30y = -5x^2 + 25x + 30. השלימו.

גובה הזריקה: ____ ; הזמן שבו האבן בשיא: ____ שניות ; הגובה בשיא: ____ מטרים

Show the answer and the solution

Answer: גובה הזריקה: 30 ; הזמן שבו האבן בשיא: 2.5 שניות ; הגובה בשיא: 61.25 מטרים

Worked solution:

x=0⇒y=30\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 30\end{aligned}
x=−25−10=2.5\begin{aligned}x &= \frac{-25}{-10} \\ &= 2.5\end{aligned}
y=−31.25+62.5+30=61.25\begin{aligned}y &= -31.25 + 62.5 + 30 \\ &= 61.25\end{aligned}

הקודקוד (2.5, 61.25)(2.5,\ 61.25).

Check the answer on elev

Exercise 3

באותה זריקה של דני (y=−5x2+25x+30y = -5x^2 + 25x + 30): אחרי כמה שניות האבן נופלת לקרקע?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

−5x2+25x+30=0-5x^2 + 25x + 30 = 0
x2−5x−6=0x^2 - 5x - 6 = 0

מחלקים ב-−5-5

x=6 x=−1\begin{aligned}x &= 6 \\ \ x &= -1\end{aligned}
x=6x = 6

−1-1 נפסל

אחרי 66 שניות. הפתרון x=−1x = -1 נפסל, כי זמן שלילי אין לו משמעות.

Check the answer on elev

Exercise 4

באותה זריקה: כמה זמן האבן הייתה מעל גובה 5050 מטרים? השלימו.

האבן בגובה 5050 ב-x=x = ____ וב-x=x = ____ ; משך הזמן: ____ שניות

Show the answer and the solution

Answer: האבן בגובה 5050 ב-x=x = 1 וב-x=x = 4 ; משך הזמן: 3 שניות

Worked solution:

−5x2+25x+30=50-5x^2 + 25x + 30 = 50
x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0
x=1 x=4\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}
4−1=34 - 1 = 3

33 שניות: מהשנייה הראשונה עד השנייה הרביעית.

Check the answer on elev

Exercise 5

רווח יומי של מאפייה (בש״ח) הוא y=−2x2+80x−600y = -2x^2 + 80x - 600, כאשר xx הוא מספר העובדים. כמה עובדים נותנים רווח מקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

x=−80−4=20\begin{aligned}x &= \frac{-80}{-4} \\ &= 20\end{aligned}

2020 עובדים.

Check the answer on elev

Exercise 6

באותה מאפייה: באיזה תחום של מספר עובדים יש רווח (רווח חיובי)?

____ <x<< x < ____

Show the answer and the solution

Answer: 10 <x<< x < 30

Worked solution:

−2x2+80x−600=0-2x^2 + 80x - 600 = 0
x2−40x+300=0x^2 - 40x + 300 = 0
x=10 x=30\begin{aligned}x &= 10 \\ \ x &= 30\end{aligned}

בין 1010 ל-3030 עובדים.

Check the answer on elev

Exercise 7

הפרבולה y=ax2+6xy = ax^2 + 6x מתארת את גובה הקשת של שער (במטרים), כאשר הקשת פוגשת שוב את הקרקע ב-x=6x = 6. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

0=36a+360 = 36a + 36

מציבים (6, 0)(6,\ 0)

a=−1a = -1

a=−1a = -1.

Check the answer on elev

Exercise 8

באותו שער (y=−x2+6xy = -x^2 + 6x): מה הגובה המקסימלי של הקשת, במטרים?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

x=3 y=−9+18=9\begin{aligned}x &= 3 \\ \ y &= -9 + 18 \\ &= 9\end{aligned}

99 מטרים.

Check the answer on elev

Exercise 9

הגובה של רקטת צעצוע הוא y=−5x2+40xy = -5x^2 + 40x. מה התחום שיש לו משמעות בבעיה?

  1. 0≤x≤40 \le x \le 4
  2. 0≤x≤80 \le x \le 8
  3. כל ערך של xx
  4. x≥0x \ge 0
Show the answer and the solution

Answer: B 0≤x≤80 \le x \le 8

Worked solution:

−5x2+40x=0⇒x=0 x=8\begin{aligned}-5x^2 + 40x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 8\end{aligned}

מרגע השיגור (x=0x = 0) עד הנחיתה (x=8x = 8). אחרי 88 הנוסחה נותנת גובה שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 10

נכון או לא נכון: בבעיה של זריקת כדור, תחום העלייה של הגובה מתחיל ברגע הזריקה ומסתיים בקודקוד.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

0<x<xקודקוד0 < x < x_{\text{קודקוד}}

נכון, כשהכדור נזרק כלפי מעלה: הוא עולה עד השיא, ואז יורד.

Check the answer on elev

Exercise 11

ההון של חברה (במיליוני ש״ח) הוא y=ax2−4x+10y = ax^2 - 4x + 10, אחרי xx שנים. אחרי שנתיים ההון היה 66 מיליון. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

6=4a−8+106 = 4a - 8 + 10
4a=4⇒a=1\begin{aligned}4a &= 4 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

a=1a = 1.

Check the answer on elev

Exercise 12

באותה חברה (y=x2−4x+10y = x^2 - 4x + 10): מהו ההון הקטן ביותר, במיליוני ש״ח?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

x=2 y=4−8+10=6\begin{aligned}x &= 2 \\ \ y &= 4 - 8 + 10 \\ &= 6\end{aligned}

66 מיליון, אחרי שנתיים. זו בדיוק הנקודה שנתנו בשאלה הקודמת: היא הייתה הקודקוד.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade