The quadratic equation

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הנקודות שבהן הפרבולה חותכת את ציר xx הן הנקודות שבהן y=0y = 0. כדי למצוא אותן פותרים את המשוואה הריבועית ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

הנוסחה מדף הנוסחאות

x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0

מצאו את נקודות החיתוך של y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5 עם ציר xx.

a=1 b=−6 c=5\begin{aligned}a &= 1 \\ \ b &= -6 \\ \ c &= 5\end{aligned}

מזהים את המקדמים

b2−4ac=36−20=16\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 36 - 20 \\ &= 16\end{aligned}

מה שמתחת לשורש

x=6±42x = \frac{6 \pm 4}{2}
x1=5  x2=1\begin{aligned}x_1 &= 5 \\ \ \ x_2 &= 1\end{aligned}

הנקודות (1, 0)(1,\ 0) ו-(5, 0)(5,\ 0)

משוואה עם מכנה

כשיש מכנה מספרי, כופלים את כל המשוואה במכנה. המשוואה נעשית נוחה יותר, והפתרונות לא משתנים.

x24−x−3=0\frac{x^2}{4} - x - 3 = 0

פתרו את המשוואה.

x2−4x−12=0x^2 - 4x - 12 = 0

כופלים ב-44 כל איבר

b2−4ac=16+48=64\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 16 + 48 \\ &= 64\end{aligned}
x=4±82x = \frac{4 \pm 8}{2}
x1=6  x2=−2\begin{aligned}x_1 &= 6 \\ \ \ x_2 &= -2\end{aligned}

מה קורה כאשר המספר שמתחת לשורש שלילי?

Show the answer and the solution

אין לו שורש, ולכן אין פתרון: הפרבולה לא חותכת את ציר xx.

b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0

שני פתרונות: שתי נקודות חיתוך

b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0

פתרון אחד: הקודקוד על ציר xx

b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0

אין פתרון: אין חיתוך

מתי yy שווה למספר מסוים?

כדי למצוא מתי y=ky = k, משווים את הפונקציה ל-kk, ומעבירים את kk לאגף שמאל. מקבלים שוב משוואה עם 00 באגף ימין.

הכדור בגובה 1515 מטרים

גובה הכדור הוא y=−5x2+20xy = -5x^2 + 20x. מתי הוא בגובה 1515 מטרים?

−5x2+20x=15-5x^2 + 20x = 15

משווים ל-1515

−5x2+20x−15=0-5x^2 + 20x - 15 = 0

מעבירים אגף

x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0

מחלקים ב-−5-5

x1=1  x2=3\begin{aligned}x_1 &= 1 \\ \ \ x_2 &= 3\end{aligned}

בעלייה ובירידה

למה יצאו שתי תשובות?

Show the answer and the solution

הכדור עובר בגובה 1515 פעמיים: פעם בדרך למעלה (אחרי שנייה), ופעם בדרך למטה (אחרי 33 שניות).

שתי טעויות במשוואה ריבועית.

−5x2+20x=15⇒a=−5 b=20 c=0\begin{aligned}-5x^2 + 20x &= 15 \Rightarrow a \\ &= -5 \\ \ b &= 20 \\ \ c &= 0\end{aligned}
c=−15c = -15

קודם מעבירים את 1515 לאגף שמאל. רק אז מזהים את cc.

b2−4ac:  b=−6⇒b2=−36\begin{aligned}\sqrt{b^2 - 4ac}:\ \ b &= -6 \Rightarrow b^2 \\ &= -36\end{aligned}
(−6)2=36(-6)^2 = 36

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

Exercises

Exercise 1

פתרו את המשוואה x2−7x+10=0x^2 - 7x + 10 = 0. כתבו את הפתרון הקטן קודם.

x1=x_1 = ____ ; x2=x_2 = ____

Show the answer and the solution

Answer: x1=x_1 = 2 ; x2=x_2 = 5

Worked solution:

49−40=949 - 40 = 9
x=7±32x = \frac{7 \pm 3}{2}

x=2x = 2 או x=5x = 5.

Check the answer on elev

Exercise 2

מצאו את נקודות החיתוך של y=−x2+2x+8y = -x^2 + 2x + 8 עם ציר xx. כתבו את הקטן קודם.

x1=x_1 = ____ ; x2=x_2 = ____

Show the answer and the solution

Answer: x1=x_1 = -2 ; x2=x_2 = 4

Worked solution:

−x2+2x+8=0-x^2 + 2x + 8 = 0
4+32=364 + 32 = 36
x=−2±6−2x = \frac{-2 \pm 6}{-2}

(−2, 0)(-2,\ 0) ו-(4, 0)(4,\ 0).

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו: x22−x−4=0\frac{x^2}{2} - x - 4 = 0. כתבו את הקטן קודם.

x1=x_1 = ____ ; x2=x_2 = ____

Show the answer and the solution

Answer: x1=x_1 = -2 ; x2=x_2 = 4

Worked solution:

x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0

כופלים ב-22

4+32=364 + 32 = 36
x=2±62x = \frac{2 \pm 6}{2}

x=−2x = -2 או x=4x = 4.

Check the answer on elev

Exercise 4

כמה נקודות חיתוך יש לפרבולה y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 עם ציר xx?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

b2−4ac=4−20=−16<0\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 4 - 20 \\ &= -16 < 0\end{aligned}

אף אחת: המספר שמתחת לשורש שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 5

כמה נקודות חיתוך יש לפרבולה y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9 עם ציר xx?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

36−36=036 - 36 = 0

אחת: הקודקוד (3, 0)(3,\ 0) נוגע בציר xx.

Check the answer on elev

Exercise 6

גובה של אבן הוא y=−5x2+30xy = -5x^2 + 30x (xx בשניות, yy במטרים). מתי האבן בגובה 4040 מטרים? כתבו את הקטן קודם.

x1=x_1 = ____ ; x2=x_2 = ____

Show the answer and the solution

Answer: x1=x_1 = 2 ; x2=x_2 = 4

Worked solution:

−5x2+30x−40=0-5x^2 + 30x - 40 = 0

מעבירים אגף

x2−6x+8=0x^2 - 6x + 8 = 0

מחלקים ב-−5-5

x=2 x=4\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

אחרי 22 שניות (בעלייה) ואחרי 44 שניות (בירידה).

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו: x2−3x−5=0x^2 - 3x - 5 = 0. מצאו את הפתרון החיובי בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 4.19

Worked solution:

9+20=299 + 20 = 29
x=3+292≈4.19x = \frac{3 + \sqrt{29}}{2} \approx 4.19

x≈4.19x \approx 4.19.

Check the answer on elev

Exercise 8

פותרים x2+4x−5=0x^2 + 4x - 5 = 0. איזו שורה שגויה?

b2−4ac=16−20=−4\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 16 - 20 \\ &= -4\end{aligned}
אין פתרון\text{אין פתרון}
Show the answer and the solution

Answer: b2−4ac=16−20=−4b^2 - 4ac = 16 - 20 = -4 → b2−4ac=16+20=36b^2 - 4ac = 16 + 20 = 36

Worked solution:

−4⋅1⋅(−5)=+20-4 \cdot 1 \cdot (-5) = +20
x=−4±62=1 −5\begin{aligned}x &= \frac{-4 \pm 6}{2} \\ &= 1 \\ \ -5\end{aligned}

c=−5c = -5, ולכן −4ac=+20-4ac = +20. יש שני פתרונות: 11 ו-−5-5.

Check the answer on elev

Exercise 9

נכון או לא נכון: המשוואות x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 ו-2x2−10x+12=02x^2 - 10x + 12 = 0 יש להן אותם פתרונות.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

2x2−10x+12=2(x2−5x+6)2x^2 - 10x + 12 = 2(x^2 - 5x + 6)

נכון. כפל של כל המשוואה במספר שונה מ-00 לא משנה את הפתרונות: 22 ו-33.

Check the answer on elev

Exercise 10

בפונקציה y=x2−4x+7y = x^2 - 4x + 7: מצאו את xx החיובי שעבורו y=7y = 7, כאשר x≠0x \neq 0.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x2−4x+7=7x^2 - 4x + 7 = 7
x2−4x=0x^2 - 4x = 0
x(x−4)=0x(x - 4) = 0

פירוק לגורמים

x=4x = 4. גם x=0x = 0 פותר, אבל ביקשו פתרון אחר.

Check the answer on elev

Exercise 11

סדרו את שלבי הפתרון של «מתי y=ky = k?».

  • בודקים אילו פתרונות מתאימים לסיפור
  • מזהים את aa, bb, cc
  • מעבירים את kk לאגף שמאל
  • מציבים בנוסחה
  • משווים את הפונקציה ל-kk
Show the answer and the solution

Answer: משווים את הפונקציה ל-kk · מעבירים את kk לאגף שמאל · מזהים את aa, bb, cc · מציבים בנוסחה · בודקים אילו פתרונות מתאימים לסיפור

Worked solution:

ax2+bx+c−k=0ax^2 + bx + c - k = 0

הבדיקה בסוף חשובה: זמן שלילי או כמות שלילית נפסלים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade