The coefficients and the shape

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הפונקציה הריבועית נכתבת y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c, כאשר a≠0a \neq 0. שלושת המקדמים aa, bb, cc מספרים לנו הרבה על הפרבולה, עוד לפני שמציירים אותה.

המקדם aa: לאן הפרבולה פתוחה

a>0a > 0

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, והקודקוד הוא מינימום.

a<0a < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה, והקודקוד הוא מקסימום.

הגובה של כדור הוא y=−5x2+20xy = -5x^2 + 20x. האם לגרף יש מקסימום או מינימום?

Show the answer and the solution

a=−5<0a = -5 < 0: הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן יש מקסימום. זה הגובה הגדול ביותר של הכדור.

המקדם cc: החיתוך עם ציר yy

מציבים x=0x = 0: מקבלים y=a⋅0+b⋅0+c=cy = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = c. לכן הפרבולה חותכת את ציר yy בנקודה (0, c)(0,\ c).

הקודקוד

הקודקוד נמצא בדיוק באמצע בין שתי נקודות החיתוך עם ציר xx. קפלו את הפרבולה וראו.

בדף הנוסחאות יש נוסחה לשיעור ה-xx של הקודקוד, גם כשאין חיתוך עם ציר xx:

xקודקוד=−b2ax_{\text{קודקוד}} = \frac{-b}{2a}

את שיעור ה-yy מוצאים כך: מציבים את xx של הקודקוד בפונקציה.

y=−2x2+8x−6y = -2x^2 + 8x - 6

מצאו את הקודקוד, וקבעו אם הוא מקסימום או מינימום.

x=−82⋅(−2)=−8−4=2\begin{aligned}x &= \frac{-8}{2 \cdot (-2)} \\ &= \frac{-8}{-4} \\ &= 2\end{aligned}

שיעור ה-xx

y=−2⋅22+8⋅2−6=2\begin{aligned}y &= -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 6 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

a=−2<0a = -2 < 0

הקודקוד (2, 2)(2,\ 2) הוא מקסימום

מהו הקודקוד של y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5? בדקו בעזרת הנוסחה.

Show the answer and the solution

x=62=3x = \frac{6}{2} = 3, ו-y=9−18+5=−4y = 9 - 18 + 5 = -4. הקודקוד (3, −4)(3,\ -4), מינימום. זה מה שהקיפול הראה.

מקדם שלא יודעים

מוצאים את aa

הפרבולה y=ax2−2x+8y = ax^2 - 2x + 8 עוברת בנקודה (2, 0)(2,\ 0). מצאו את aa.

0=a⋅22−2⋅2+80 = a \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 8

מציבים x=2x = 2, y=0y = 0

0=4a+40 = 4a + 4
a=−1a = -1

הפרבולה פתוחה כלפי מטה

שתי טעויות בנוסחת הקודקוד.

y=−2x2+8x: x=82⋅(−2)\begin{aligned}y &= -2x^2 + 8x:\ x \\ &= \frac{8}{2 \cdot (-2)}\end{aligned}
x=−82⋅(−2)=2\begin{aligned}x &= \frac{-8}{2 \cdot (-2)} \\ &= 2\end{aligned}

במונה יש −b-b. כאן b=8b = 8, ולכן המונה הוא −8-8.

הקודקוד=2\text{הקודקוד} = 2
הקודקוד=(2, 2)\text{הקודקוד} = (2,\ 2)

הנוסחה נותנת רק את xx. את yy מוצאים בהצבה.

Exercises

Exercise 1

איזו מהפונקציות הבאות היא פרבולה פתוחה כלפי מטה?

  1. y=−3x2+x+4y = -3x^2 + x + 4
  2. y=0.5x2+3x−1y = 0.5x^2 + 3x - 1
  3. y=2x2−5xy = 2x^2 - 5x
  4. y=x2−9y = x^2 - 9
Show the answer and the solution

Answer: A y=−3x2+x+4y = -3x^2 + x + 4

Worked solution:

a=−3<0a = -3 < 0

רק בראשונה aa שלילי. הסימן של bb או של cc לא קובע לאן הפרבולה פתוחה.

Check the answer on elev

Exercise 2

באיזו נקודה הפרבולה y=2x2−3x+7y = 2x^2 - 3x + 7 חותכת את ציר yy? כתבו את שיעור ה-yy.

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

x=0⇒y=7\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 7\end{aligned}

y=c=7y = c = 7.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו שיעור ה-xx של הקודקוד של y=x2−10x+21y = x^2 - 10x + 21?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x=102⋅1=5\begin{aligned}x &= \frac{10}{2 \cdot 1} \\ &= 5\end{aligned}

x=5x = 5.

Check the answer on elev

Exercise 4

מצאו את הקודקוד של y=−x2+4x+5y = -x^2 + 4x + 5.

הקודקוד: x=x = ____, y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: הקודקוד: x=x = 2, y=y = 9

Worked solution:

x=−4−2=2\begin{aligned}x &= \frac{-4}{-2} \\ &= 2\end{aligned}
y=−4+8+5=9\begin{aligned}y &= -4 + 8 + 5 \\ &= 9\end{aligned}

הקודקוד (2, 9)(2,\ 9), מקסימום כי a<0a < 0.

Check the answer on elev

Exercise 5

לפונקציה y=3x2−12x+1y = 3x^2 - 12x + 1 יש בקודקוד:

  1. אין קודקוד
  2. גם מקסימום וגם מינימום
  3. מינימום
  4. מקסימום
Show the answer and the solution

Answer: C מינימום

Worked solution:

a=3>0a = 3 > 0

מינימום: a>0a > 0, והפרבולה פתוחה כלפי מעלה.

Check the answer on elev

Exercise 6

הפרבולה y=ax2+4x−3y = ax^2 + 4x - 3 עוברת בנקודה (1, 3)(1,\ 3). מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

3=a+4−33 = a + 4 - 3

מציבים

a=2a = 2

a=2a = 2.

Check the answer on elev

Exercise 7

מצאו את הקודקוד של y=0.5x2−2x+3y = 0.5x^2 - 2x + 3.

הקודקוד: x=x = ____, y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: הקודקוד: x=x = 2, y=y = 1

Worked solution:

x=22⋅0.5=2\begin{aligned}x &= \frac{2}{2 \cdot 0.5} \\ &= 2\end{aligned}
y=0.5⋅4−4+3=1\begin{aligned}y &= 0.5 \cdot 4 - 4 + 3 \\ &= 1\end{aligned}

הקודקוד (2, 1)(2,\ 1), מינימום.

Check the answer on elev

Exercise 8

מוצאים את הקודקוד של y=−x2−6x+2y = -x^2 - 6x + 2. איזו שורה שגויה?

x=−(−6)2⋅(−1)x = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)}
x=6−2=3\begin{aligned}x &= \frac{6}{-2} \\ &= 3\end{aligned}
y=−9−18+2=−25\begin{aligned}y &= -9 - 18 + 2 \\ &= -25\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: x=6−2=3x = \frac{6}{-2} = 3 → x=6−2=−3x = \frac{6}{-2} = -3

Worked solution:

6−2=−3\frac{6}{-2} = -3

חילוק בשלילי

y=−9+18+2=11\begin{aligned}y &= -9 + 18 + 2 \\ &= 11\end{aligned}

הקודקוד הנכון (−3, 11)(-3,\ 11)

בשורה השנייה הסימן אבד: 6−2=−3\frac{6}{-2} = -3. גם השורה השלישית יוצאת שגויה בגלל זה.

Check the answer on elev

Exercise 9

נכון או לא נכון: אם בפונקציה y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c המקדם b=0b = 0, אז הקודקוד נמצא על ציר yy.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x=−02a=0\begin{aligned}x &= \frac{-0}{2a} \\ &= 0\end{aligned}

נכון. הקודקוד ב-x=0x = 0, כלומר על ציר yy.

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו כל פונקציה לתיאור שלה.

  • y=x2−4y = x^2 - 4
  • y=−x2+4y = -x^2 + 4
  • y=x2+4y = x^2 + 4
  • y=−x2−4y = -x^2 - 4
  • פתוחה כלפי מטה, חותכת את ציר yy ב-44
  • פתוחה כלפי מטה, לא חותכת את ציר xx
  • פתוחה כלפי מעלה, חותכת את ציר yy ב-−4-4
  • פתוחה כלפי מעלה, לא חותכת את ציר xx
Show the answer and the solution

Answer: y=x2−4y = x^2 - 4 — פתוחה כלפי מעלה, חותכת את ציר yy ב-−4-4 · y=−x2+4y = -x^2 + 4 — פתוחה כלפי מטה, חותכת את ציר yy ב-44 · y=x2+4y = x^2 + 4 — פתוחה כלפי מעלה, לא חותכת את ציר xx · y=−x2−4y = -x^2 - 4 — פתוחה כלפי מטה, לא חותכת את ציר xx

Worked solution:

a קובע כיוון, c קובע חיתוך עם ya\ \text{קובע כיוון},\ c\ \text{קובע חיתוך עם}\ y

מסתכלים על הסימן של aa ועל הערך של cc.

Check the answer on elev

Exercise 11

רווח יומי של דוכן (בש״ח) הוא y=−x2+30x−125y = -x^2 + 30x - 125, כאשר xx הוא מחיר מנה בש״ח. באיזה מחיר הרווח מקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

x=−30−2=15\begin{aligned}x &= \frac{-30}{-2} \\ &= 15\end{aligned}

במחיר 1515 ש״ח.

Check the answer on elev

Exercise 12

באותו דוכן: מהו הרווח המקסימלי, בש״ח?

Show the answer and the solution

Answer: 100

Worked solution:

y=−225+450−125=100\begin{aligned}y &= -225 + 450 - 125 \\ &= 100\end{aligned}

מציבים x=15x = 15

הרווח המקסימלי 100100 ש״ח. השאלה מבקשת yy, ולא את המחיר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade