The dot product

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בפרק הקודם חיברנו וקטורים, וכפלנו וקטור במספר. עכשיו נכפול וקטור בווקטור.

התוצאה של הכפל הזה היא מספר, לא וקטור. לכן קוראים לה מכפלה סקלרית: סקלר הוא מספר.

u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡α\underline{u}\cdot\underline{v}=|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha

α\alpha היא הזווית בין הווקטורים

את הזווית בין שני וקטורים מודדים כששניהם יוצאים מאותה נקודה. היא תמיד בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ.

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=3|\underline{v}|=3, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. כמה זה u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}?

Show the answer and the solution

4⋅3⋅cos⁡60∘=4⋅3⋅12=64\cdot 3\cdot\cos 60^\circ=4\cdot 3\cdot\frac{1}{2}=6.

הסימן של המכפלה

0∘≤α<90∘0^\circ\le\alpha<90^\circ

זווית חדה: המכפלה חיובית

α=90∘\alpha=90^\circ

זווית ישרה: המכפלה אפס

90∘<α≤180∘90^\circ<\alpha\le 180^\circ

זווית קהה: המכפלה שלילית

u‾⊥v‾  ⟺  u‾⋅v‾=0\underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0

לשני וקטורים שאינם וקטור האפס

זה הכלי החשוב ביותר בפרק. כדי להוכיח ששני ישרים מאונכים, מראים שהמכפלה של הווקטורים שלהם היא 00.

u‾⋅v‾=−5\underline{u}\cdot\underline{v}=-5. הזווית בין הווקטורים חדה, ישרה או קהה?

Show the answer and the solution

קהה. המכפלה שלילית, ולכן cos⁡α<0\cos\alpha<0.

וקטור כפול עצמו

u‾⋅u‾=∣u‾∣2\underline{u}\cdot\underline{u}=|\underline{u}|^2

הזווית בין וקטור לעצמו היא 0∘0^\circ, ו-cos⁡0∘=1\cos 0^\circ=1. הכלל הזה הופך מכפלה לאורך — בעזרתו נחשב אורכים.

מכפלה סקלרית בתוך גוף

ABCDEFGH
קובייה ABCDEFGHABCDEFGH שאורך המקצוע שלה 22. ACAC הוא אלכסון של הבסיס.

ארבע מכפלות בקובייה

אורך המקצוע 22. כל הווקטורים יוצאים מ-AA, חוץ מהאחרון.

AB→⋅AD→=2⋅2⋅cos⁡90∘=0\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} &= 2\cdot 2\cdot\cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

שני מקצועות של אותה פאה: מאונכים

∣AC→∣=22+22=22\begin{aligned}|\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{2^2+2^2} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

אלכסון הבסיס, לפי פיתגורס

AB→⋅AC→=2⋅22⋅cos⁡45∘=4\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= 2\cdot 2\sqrt{2}\cdot\cos 45^\circ \\ &= 4\end{aligned}

האלכסון יוצר זווית 45∘45^\circ עם המקצוע

AB→⋅BA→=2⋅2⋅cos⁡180∘=−4\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BA} &= 2\cdot 2\cdot\cos 180^\circ \\ &= -4\end{aligned}

וקטורים נגדיים: הזווית 180∘180^\circ

מהו AB→⋅AE→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE} בקובייה?

Show the answer and the solution

00. המקצוע AEAE מאונך לבסיס, ולכן גם ל-ABAB.

הזווית בין וקטורים — רק כששניהם יוצאים מאותה נקודה.

AB→⋅BC→=∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡∢B\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=|AB|\cdot|BC|\cdot\cos\sphericalangle B
AB→⋅BC→=−BA→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}

AB→\overrightarrow{AB} נכנס ל-BB, ו-BC→\overrightarrow{BC} יוצא ממנו. הזווית ביניהם היא 180∘−∢B180^\circ-\sphericalangle B.

במשולש שווה צלעות שאורך הצלע שלו aa: AB→⋅AC→=a22\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}, אבל AB→⋅BC→=−a22\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\frac{a^2}{2}.

Exercises

Exercise 1

∣u‾∣=5|\underline{u}|=5, ∣v‾∣=2|\underline{v}|=2, והזווית בין הווקטורים 60∘60^\circ. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

u‾⋅v‾=5⋅2⋅cos⁡60∘\underline{u}\cdot\underline{v}=5\cdot 2\cdot\cos 60^\circ

לפי ההגדרה

=10⋅12=5=10\cdot\frac{1}{2}=5

כופלים את שני האורכים ואת הקוסינוס של הזווית. מי שכתב 1010 שכח את cos⁡60∘\cos 60^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 2

∣u‾∣=6|\underline{u}|=6, ∣v‾∣=4|\underline{v}|=4, והזווית בין הווקטורים 120∘120^\circ. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

Show the answer and the solution

Answer: -12

Worked solution:

u‾⋅v‾=6⋅4⋅cos⁡120∘\underline{u}\cdot\underline{v}=6\cdot 4\cdot\cos 120^\circ
=24⋅(−12)=−12=24\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-12

זווית קהה: המכפלה שלילית

cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}. מי שקיבל 1212 איבד את הסימן — זווית קהה נותנת מכפלה שלילית.

Check the answer on elev

Exercise 3

∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=7|\underline{v}|=7, והווקטורים מאונכים זה לזה. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

u‾⋅v‾=3⋅7⋅cos⁡90∘=0\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 3\cdot 7\cdot\cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

וקטורים מאונכים: המכפלה אפס, בלי קשר לאורכים. 2121 הוא מכפלת האורכים בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון: u‾⋅v‾=−8\underline{u}\cdot\underline{v}=-8. מה אפשר לומר על הזווית α\alpha בין הווקטורים?

  1. אי אפשר לדעת בלי האורכים
  2. α=90∘\alpha=90^\circ
  3. α\alpha קהה
  4. α\alpha חדה
Show the answer and the solution

Answer: C α\alpha קהה

Worked solution:

∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡α=−8|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha=-8

האורכים חיוביים

cos⁡α<0 ⇒ 90∘<α≤180∘\cos\alpha<0\ \Rightarrow\ 90^\circ<\alpha\le 180^\circ

את הסימן של המכפלה קובע רק cos⁡α\cos\alpha, כי האורכים תמיד חיוביים. לכן לא צריך את האורכים.

Check the answer on elev

Exercise 5

∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5 ו-u‾⋅v‾=0\underline{u}\cdot\underline{v}=0. לכן u‾⊥v‾\underline{u}\perp\underline{v}.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

3⋅5⋅cos⁡α=0 ⇒ cos⁡α=0 ⇒ α=90∘\begin{aligned}3\cdot 5\cdot\cos\alpha &= 0\ \Rightarrow\ \cos\alpha \\ &= 0\ \Rightarrow\ \alpha \\ &= 90^\circ\end{aligned}

המכפלה אפס והאורכים אינם אפס, ולכן cos⁡α=0\cos\alpha=0. זה בדיוק התנאי למאונכות.

Check the answer on elev

Exercise 6

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4. חשבו את u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u}.

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

u‾⋅u‾=∣u‾∣2=42=16\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{u} &= |\underline{u}|^2 \\ &= 4^2 \\ &= 16\end{aligned}

הזווית בין וקטור לעצמו היא 0∘0^\circ

cos⁡0∘=1\cos 0^\circ=1, ולכן u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u} הוא ריבוע האורך. התשובה 44 שוכחת לכפול באורך פעם שנייה.

Check the answer on elev

Exercise 7

u‾⋅u‾=49\underline{u}\cdot\underline{u}=49. מהו האורך ∣u‾∣|\underline{u}|?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

∣u‾∣2=49|\underline{u}|^2=49
∣u‾∣=49=7\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

אורך הוא חיובי

u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u} הוא ריבוע האורך. מוציאים שורש; 4949 הוא לא האורך.

Check the answer on elev

Exercise 8

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5 ו-u‾⋅v‾=10\underline{u}\cdot\underline{v}=10. מהי הזווית בין הווקטורים (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

4⋅5⋅cos⁡α=104\cdot 5\cdot\cos\alpha=10
cos⁡α=1020=12 ⇒ α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{10}{20} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

מחלקים את המכפלה במכפלת האורכים, לא בסכום שלהם: 104+5\frac{10}{4+5} היא טעות.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCDEFGH

בקובייה ABCDEFGHABCDEFGH אורך המקצוע 33. השלימו.

AB→⋅AD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}= ____ ; AB→⋅AB→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}= ____ ; AB→⋅DC→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}= ____ ; AB→⋅CD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}= ____

Show the answer and the solution

Answer: AB→⋅AD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}= 0 ; AB→⋅AB→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}= 9 ; AB→⋅DC→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}= 9 ; AB→⋅CD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}= -9

Worked solution:

AB→⊥AD→ ⇒ 0\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}\ \Rightarrow\ 0

מקצועות של אותה פאה

AB→⋅AB→=32=9\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}
DC→=AB→ ⇒ 9\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\ \Rightarrow\ 9

וקטורים שווים: זווית 0∘0^\circ

CD→=−AB→ ⇒ −9\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\ \Rightarrow\ -9

וקטורים נגדיים: זווית 180∘180^\circ

DC→\overrightarrow{DC} ו-CD→\overrightarrow{CD} הם אותו קטע, אבל בכיוונים מנוגדים. הכיוון משנה את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 10

ABC

משולש ABCABC שווה צלעות, ואורך הצלע 44. חשבו את AB→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}.

Show the answer and the solution

Answer: -8

Worked solution:

AB→⋅BC→=−BA→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}

מזיזים את הווקטורים כך שיצאו מ-BB

=−4⋅4⋅cos⁡60∘=−8=-4\cdot 4\cdot\cos 60^\circ=-8

או: הזווית ביניהם 120∘120^\circ

הזווית בין AB→\overrightarrow{AB} ל-BC→\overrightarrow{BC} היא 120∘120^\circ, לא 60∘60^\circ: הווקטורים לא יוצאים מאותה נקודה. התשובה 88 היא הטעות הזו.

Check the answer on elev

Exercise 11

משולש ABCABC שווה צלעות, ואורך הצלע 66. חישבו את AB→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

∣AB→∣=∣BC→∣=6\begin{aligned}|\overrightarrow{AB}| &= |\overrightarrow{BC}| \\ &= 6\end{aligned}
∢(AB→,BC→)=60∘\sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=60^\circ
Show the answer and the solution

Answer: ∢(AB→,BC→)=60∘\sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=60^\circ → ∢(AB→,BC→)=120∘\sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=120^\circ

Worked solution:

∢(BA→,BC→)=60∘\sphericalangle(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=60^\circ

זו הזווית של המשולש

AB→⋅BC→=6⋅6⋅cos⁡120∘=−18\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} &= 6\cdot 6\cdot\cos 120^\circ \\ &= -18\end{aligned}

זווית המשולש היא בין BA→\overrightarrow{BA} ל-BC→\overrightarrow{BC}. ל-AB→\overrightarrow{AB} יש כיוון הפוך, ולכן הזווית 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade