Properties of the dot product · Dot product and solids · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

המכפלה הסקלרית מתנהגת כמעט כמו כפל של מספרים: אפשר להחליף סדר ולפתוח סוגריים.

\underline{u}\cdot\underline{v}=\underline{v}\cdot\underline{u}

חילוף

\underline{u}\cdot(\underline{v}+\underline{w})=\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}

פילוג

(k\underline{u})\cdot\underline{v}=k(\underline{u}\cdot\underline{v})

מספר יוצא החוצה

$\underline{u}\cdot\underline{v}=3$ . כמה זה $(2\underline{u})\cdot(5\underline{v})$ ?

Show the answer and the solution

$2\cdot 5\cdot 3=30$ . שני המספרים יוצאים החוצה.

פתיחת סוגריים

פותחים סוגריים כמו באלגברה: כל וקטור בסוגריים הראשונים כפול כל וקטור בסוגריים השניים.

(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2

$(\underline{a}+\underline{b})^2$ פירושו $(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}+\underline{b})$

(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b})=|\underline{a}|^2-|\underline{b}|^2

שתי המכפלות האמצעיות מבטלות זו את זו

פותחים, מכנסים, מציבים

$|\underline{u}|=3$ , $|\underline{v}|=2$ , $\underline{u}\cdot\underline{v}=4$ . חשבו את $(\underline{u}+2\underline{v})\cdot(\underline{u}-\underline{v})$ .

=\underline{u}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{v}+2\underline{v}\cdot\underline{u}-2\underline{v}\cdot\underline{v}

פותחים: ארבע מכפלות

=|\underline{u}|^2+\underline{u}\cdot\underline{v}-2|\underline{v}|^2

מכנסים: $-\underline{u}\cdot\underline{v}+2\underline{u}\cdot\underline{v}=\underline{u}\cdot\underline{v}$

=9+4-8=5

מציבים את הנתונים

באותם נתונים: כמה זה $(\underline{u}-\underline{v})^2$ ?

Show the answer and the solution

$|\underline{u}|^2-2\underline{u}\cdot\underline{v}+|\underline{v}|^2=9-8+4=5$ .

טבלת מכפלות של שלושה וקטורים

בשאלת הבגרות נותנים שלושה וקטורים $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ שיוצאים מאותו קודקוד: האורכים שלהם והזוויות ביניהם.

הצעד הראשון תמיד: לחשב את כל המכפלות ביניהם, ולרשום אותן בטבלה.

פירמידה

ABCS

AS

מאונך למישור הבסיס.

\overrightarrow{AB}=\underline{u}

\overrightarrow{AC}=\underline{v}

\overrightarrow{AS}=\underline{w}

טבלת המכפלות של הפירמידה

$|\underline{u}|=4$ , $|\underline{v}|=6$ , $|\underline{w}|=5$ , $\sphericalangle BAC=60^\circ$ .

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{u} &= 16 \\ \quad \underline{v}\cdot\underline{v} &= 36 \\ \quad \underline{w}\cdot\underline{w} &= 25\end{aligned}

ריבועי האורכים

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 4\cdot 6\cdot\cos 60^\circ \\ &= 12\end{aligned}

הזווית ביניהם נתונה

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{w} &= 0 \\ \quad \underline{v}\cdot\underline{w} &= 0\end{aligned}

$AS$ מאונך לבסיס, ולכן לכל ישר בבסיס

למה $\underline{u}\cdot\underline{w}=0$ , אף שלא נתון ש- $\sphericalangle BAS=90^\circ$ ?

Show the answer and the solution

כי $AS$ מאונך למישור הבסיס, ולכן מאונך לכל ישר במישור — גם ל- $AB$ .

מכפלה של שני וקטורים אחרים

חשבו את $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BS}$ בפירמידה.

\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \underline{v}-\underline{u} \\ \quad \overrightarrow{BS} &= \underline{w}-\underline{u}\end{aligned}

מביעים באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$

(\underline{v}-\underline{u})\cdot(\underline{w}-\underline{u})=\underline{v}\cdot\underline{w}-\underline{v}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{w}+\underline{u}\cdot\underline{u}

פותחים סוגריים

=0-12-0+16=4

מציבים מהטבלה

קודם מביעים כל וקטור באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ . רק אחר כך כופלים.

שתי טעויות בפתיחת סוגריים.

(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+|\underline{b}|^2

(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2

שכחו את האיבר האמצעי. הוא נעלם רק כשהווקטורים מאונכים.

(\underline{v}-\underline{u})\cdot(\underline{w}-\underline{u})=\underline{v}\cdot\underline{w}-|\underline{u}|^2

(\underline{v}-\underline{u})\cdot(\underline{w}-\underline{u})=\underline{v}\cdot\underline{w}-\underline{v}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{w}+|\underline{u}|^2

ארבע מכפלות, לא שתיים. ו- $(-\underline{u})\cdot(-\underline{u})$ הוא פלוס.

Exercises

Exercise 1

$\underline{u}\cdot\underline{v}=3$ . חשבו את $(2\underline{u})\cdot(-4\underline{v})$ .

Show the answer and the solution

Answer: -24

Worked solution:

(2\underline{u})\cdot(-4\underline{v})=2\cdot(-4)\cdot(\underline{u}\cdot\underline{v})

המספרים יוצאים החוצה

=-8\cdot 3=-24

שני המספרים יוצאים החוצה ונכפלים. מי שחיבר אותם ( $-2$ ) קיבל $-6$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

$|\underline{a}|=5$ , $|\underline{b}|=3$ ו- $\underline{a}\cdot\underline{b}=6$ . חשבו את $(\underline{a}+\underline{b})^2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 46

Worked solution:

(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2

=25+12+9=46

אל תשכחו את האיבר האמצעי $2\,\underline{a}\cdot\underline{b}$ . בלעדיו יוצא $34$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

באותם נתונים ( $|\underline{a}|=5$ , $|\underline{b}|=3$ , $\underline{a}\cdot\underline{b}=6$ ), חשבו את $(\underline{a}-\underline{b})^2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 22

Worked solution:

(\underline{a}-\underline{b})^2=|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2

=25-12+9=22

רק האיבר האמצעי מחליף סימן. $|\underline{b}|^2$ נשאר חיובי: מי שכתב $25-12-9$ טעה.

Check the answer on elev

Exercise 4

$|\underline{a}|=7$ ו- $|\underline{b}|=4$ . חשבו את $(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b})$ .

Show the answer and the solution

Answer: 33

Worked solution:

=|\underline{a}|^2-\underline{a}\cdot\underline{b}+\underline{b}\cdot\underline{a}-|\underline{b}|^2

חילוף: $\underline{a}\cdot\underline{b}=\underline{b}\cdot\underline{a}$

=49-16=33

לא צריך את הזווית: המכפלות האמצעיות מבטלות זו את זו. בגלל זה הנתונים מספיקים.

Check the answer on elev

Exercise 5

$|\underline{u}|=2$ , $|\underline{v}|=3$ ו- $\underline{u}\cdot\underline{v}=-1$ . חשבו את $(3\underline{u}+\underline{v})\cdot(\underline{u}-2\underline{v})$ .

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

=3|\underline{u}|^2-6\,\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}\cdot\underline{u}-2|\underline{v}|^2

פותחים: ארבע מכפלות

=3|\underline{u}|^2-5\,\underline{u}\cdot\underline{v}-2|\underline{v}|^2

מכנסים

=12+5-18=-1

$-5\cdot(-1)=+5$

שימו לב לסימן: $-5\underline{u}\cdot\underline{v}$ כש- $\underline{u}\cdot\underline{v}=-1$ הוא פלוס $5$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

לכל שלושה וקטורים: $\underline{u}\cdot(\underline{v}+\underline{w})=\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\underline{u}\cdot(\underline{v}+\underline{w})=\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}

חוק הפילוג

זה חוק הפילוג, והוא נכון תמיד. בזכותו פותחים סוגריים.

Check the answer on elev

Exercise 7

$\underline{u}\neq\underline{0}$ ו- $\underline{u}\cdot\underline{v}=\underline{u}\cdot\underline{w}$ . לכן $\underline{v}=\underline{w}$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v}-\underline{u}\cdot\underline{w} &= 0\ \Rightarrow\ \underline{u}\cdot(\underline{v}-\underline{w}) \\ &= 0\end{aligned}

\underline{u}\perp(\underline{v}-\underline{w})

זה כל מה שיודעים

אי אפשר לחלק ב- $\underline{u}$ . המכפלה אפס אומרת רק ש- $\underline{v}-\underline{w}$ מאונך ל- $\underline{u}$ , לא שהוא אפס.

Check the answer on elev

Exercise 8

$|\underline{u}|=|\underline{v}|=3$ , $|\underline{w}|=4$ . הזווית בין $\underline{u}$ ל- $\underline{v}$ היא $120^\circ$ , ו- $\underline{w}$ מאונך לשניהם. השלימו את טבלת המכפלות.

$\underline{u}\cdot\underline{u}=$ ____ ; $\underline{u}\cdot\underline{v}=$ ____ ; $\underline{u}\cdot\underline{w}=$ ____ ; $\underline{w}\cdot\underline{w}=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $\underline{u}\cdot\underline{u}=$ 9 ; $\underline{u}\cdot\underline{v}=$ -4.5 ; $\underline{u}\cdot\underline{w}=$ 0 ; $\underline{w}\cdot\underline{w}=$ 16

Worked solution:

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{u} &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 3\cdot 3\cdot\cos 120^\circ \\ &= -4.5\end{aligned}

\underline{u}\cdot\underline{w}=0

מאונכים

\begin{aligned}\underline{w}\cdot\underline{w} &= 4^2 \\ &= 16\end{aligned}

$\underline{u}\cdot\underline{v}$ שלילי, כי הזווית קהה. מי שכתב $4.5$ השתמש ב- $\cos 60^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

באותם נתונים ( $|\underline{u}|=|\underline{v}|=3$ , הזווית ביניהם $120^\circ$ ), חשבו את $(\underline{u}+\underline{v})^2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

(\underline{u}+\underline{v})^2=|\underline{u}|^2+2\,\underline{u}\cdot\underline{v}+|\underline{v}|^2

=9-9+9=9

האיבר האמצעי $2\cdot(-4.5)=-9$ מקטין את התוצאה. בלעדיו יוצא $18$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

איזה ביטוי שווה ל- $|\underline{a}-\underline{b}|^2$ ?

$|\underline{a}|^2+|\underline{b}|^2$
$|\underline{a}|^2-|\underline{b}|^2$
$|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}-|\underline{b}|^2$
$|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2$

Show the answer and the solution

Answer: D $|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2$

Worked solution:

|\underline{a}-\underline{b}|^2=(\underline{a}-\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b})

=\underline{a}\cdot\underline{a}-\underline{a}\cdot\underline{b}-\underline{b}\cdot\underline{a}+\underline{b}\cdot\underline{b}

$(-\underline{b})\cdot(-\underline{b})=+|\underline{b}|^2$ . התשובה $|\underline{a}|^2-|\underline{b}|^2$ היא של $(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b})$ .

Check the answer on elev

Exercise 11

פתחו את $(\underline{u}+\underline{v})\cdot(\underline{u}-\underline{v})$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

=\underline{u}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}\cdot\underline{u}-\underline{v}\cdot\underline{v}

=|\underline{u}|^2-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}-|\underline{v}|^2

Show the answer and the solution

Answer: $=|\underline{u}|^2-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}-|\underline{v}|^2$ → $=|\underline{u}|^2-|\underline{v}|^2$

Worked solution:

-\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}\cdot\underline{u}=0

חילוף: שני האיברים מבטלים זה את זה

$-\underline{u}\cdot\underline{v}$ ו- $+\underline{v}\cdot\underline{u}$ הם מספרים נגדיים. הם לא מתחברים ל- $-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}$ .

Check the answer on elev

Exercise 12

בפירמידה $ABCS$ של השיעור: $|\underline{u}|=4$ , $|\underline{v}|=6$ , $|\underline{w}|=5$ , $\sphericalangle BAC=60^\circ$ , ו- $AS$ מאונך לבסיס. חשבו את $\overrightarrow{CS}\cdot\overrightarrow{CB}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{CS} &= \underline{w}-\underline{v} \\ \quad \overrightarrow{CB} &= \underline{u}-\underline{v}\end{aligned}

מביעים

(\underline{w}-\underline{v})\cdot(\underline{u}-\underline{v})=\underline{w}\cdot\underline{u}-\underline{w}\cdot\underline{v}-\underline{v}\cdot\underline{u}+\underline{v}\cdot\underline{v}

=0-0-12+36=24

מהטבלה

$\overrightarrow{CS}$ יוצא מ- $C$ : הוא $\underline{w}-\underline{v}$ , לא $\underline{w}+\underline{v}$ . ובסוף, $(-\underline{v})\cdot(-\underline{v})=+36$ .

Check the answer on elev

פתיחת סוגריים

טבלת מכפלות של שלושה וקטורים

Exercises

Keep practising on elev