A line perpendicular to a plane

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לכל ישר שנמצא במישור.

דוגמה: עמוד שעומד ישר על רצפה. הוא מאונך לכל קו שמסמנים על הרצפה מהבסיס שלו.

KLMNOSXYZ
SOSO מאונך למישור: הוא מאונך ל-OXOX, ל-OYOY, ל-OZOZ — ולכל ישר אחר במישור.

כדי לבדוק שעמוד ניצב לרצפה, צריך לבדוק כל קו על הרצפה?

Show the answer and the solution

לא. מספיק שני קווים נחתכים — זה המשפט הבא.

התנאי המספיק

אם ישר מאונך לשני ישרים נחתכים במישור, אז הוא מאונך למישור — ולכן לכל ישר במישור.

ומה אם שני הישרים במישור מקבילים?

Show the answer and the solution

זה לא מספיק. ישר יכול להיות מאונך לשני ישרים מקבילים, ועדיין להיות נטוי למישור.

בשפה של וקטורים

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} הם שני וקטורים לא מקבילים במישור. הווקטור w‾\underline{w} מאונך למישור כאשר:

w‾⋅u‾=0w‾⋅v‾=0\begin{aligned}\underline{w}\cdot\underline{u} &= 0\quad \\ \quad \underline{w}\cdot\underline{v} &= 0\end{aligned}

שתי המכפלות אפס — וגם זו וגם זו

ואז המכפלה של w‾\underline{w} עם כל וקטור במישור היא 00:

w‾⋅(au‾+bv‾)=a⋅0+b⋅0=0\begin{aligned}\underline{w}\cdot(a\underline{u}+b\underline{v}) &= a\cdot 0+b\cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

מנסרה ישרה

במנסרה ישרה המקצועות הצדדיים מאונכים לבסיסים. כל מקצוע צדדי הוא גובה של המנסרה.

ABCDEF
מנסרה ישרה ABCDEFABCDEF: ADAD, BEBE, CFCF מאונכים לבסיס ABCABC.

במנסרה הישרה ABCDEFABCDEF, מהו AD→⋅BC→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}?

Show the answer and the solution

00. ADAD מאונך לבסיס ABCABC, ולכן לכל ישר בו — גם ל-BCBC, שלא עובר דרך AA.

הגובה של פירמידה

גובה הפירמידה הוא הקטע שיורד מהקודקוד במאונך למישור הבסיס.

בפירמידה ישרה כל המקצועות הצדדיים שווים. הגובה שלה יורד למרכז המעגל החוסם את הבסיס: בבסיס ריבועי — לנקודת החיתוך של האלכסונים.

ABCDOS
פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. SOSO הוא הגובה.

מוצאים את הגובה

אורך צלע הבסיס 88, ואורך המקצוע הצדדי 99.

AC=82 ⇒ AO=42\begin{aligned}AC &= 8\sqrt{2}\ \Rightarrow\ AO \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

חצי אלכסון הריבוע

SO⊥AOSO\perp AO

SOSO מאונך לבסיס, ולכן לכל ישר בו

SO2=SA2−AO2=81−32=49\begin{aligned}SO^2 &= SA^2-AO^2 \\ &= 81-32 \\ &= 49\end{aligned}

פיתגורס במשולש SOASOA

SO=7SO=7

בשאלה עם וקטורים: אם w‾\underline{w} הוא וקטור של גובה, אז w‾\underline{w} מאונך לכל וקטור בבסיס. כל מכפלה של w‾\underline{w} עם וקטור בבסיס היא 00.

הגובה של הפירמידה הוא לא המקצוע הצדדי.

h=SAh=SA
h=SOSO⊥ABCD\begin{aligned}h &= SO \\ \quad SO\perp ABCD\end{aligned}

המקצוע SASA נטוי. הגובה יורד במאונך לבסיס — ובפירמידה ישרה, למרכז הבסיס.

Exercises

Exercise 1

ישר שמאונך לשני ישרים מקבילים במישור — מאונך למישור.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

ℓ⊥a, ℓ⊥b, a∥b\ell\perp a,\ \ell\perp b,\ a\parallel b

שני הישרים נותנים כיוון אחד בלבד

התנאי המספיק דורש שני ישרים נחתכים. שני ישרים מקבילים הם בעצם כיוון אחד במישור.

Check the answer on elev

Exercise 2

ישר שמאונך לשני ישרים נחתכים במישור — מאונך לכל ישר במישור.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

ℓ⊥a, ℓ⊥b ⇒ ℓ⊥P\ell\perp a,\ \ell\perp b\ \Rightarrow\ \ell\perp P

aa ו-bb נחתכים במישור PP: זה התנאי המספיק

זה התנאי המספיק. מכאן: הישר מאונך גם לישרים שלא עוברים דרך נקודת החיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABCDEF

ABCDEFABCDEF מנסרה ישרה (DD מעל AA, EE מעל BB, FF מעל CC). איזו מכפלה אינה בהכרח 00?

  1. AD→⋅BC→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}
  2. AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
  3. AD→⋅AB→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}
  4. BE→⋅AC→\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AC}
Show the answer and the solution

Answer: B AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}

Worked solution:

AD→, BE→⊥ABC\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{BE}\perp ABC

מקצועות צדדיים מאונכים לבסיס

AB→⋅AC→=∣AB∣⋅∣AC∣⋅cos⁡A\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB|\cdot|AC|\cdot\cos A

תלוי בזווית של הבסיס

מקצוע צדדי מאונך לכל ישר בבסיס, גם לישר שלא נוגע בו. אבל שני ישרים בתוך הבסיס — רק אם הזווית ביניהם ישרה.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABCDEF

ABCDEFABCDEF מנסרה ישרה. AB=3AB=3, AC=4AC=4, ∢BAC=90∘\sphericalangle BAC=90^\circ, AD=12AD=12. חשבו את ∣BF→∣|\overrightarrow{BF}|.

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

BF→=BA→+AC→+CF→=−u‾+v‾+w‾\begin{aligned}\overrightarrow{BF} &= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF} \\ &= -\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}\end{aligned}

u‾=AB→\underline{u}=\overrightarrow{AB}, v‾=AC→\underline{v}=\overrightarrow{AC}, w‾=AD→\underline{w}=\overrightarrow{AD}

∣BF→∣2=9+16+144=169\begin{aligned}|\overrightarrow{BF}|^2 &= 9+16+144 \\ &= 169\end{aligned}

שלושת הווקטורים מאונכים זה לזה

∣BF→∣=13|\overrightarrow{BF}|=13

CF→=AD→\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AD}: מקצועות צדדיים של מנסרה הם וקטורים שווים. ו-w‾\underline{w} מאונך לבסיס, ולכן כל המכפלות שלו 00.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCDOS

פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. אורך צלע הבסיס 66, וגובה הפירמידה 44. חשבו את אורך המקצוע הצדדי SASA. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 5.83

Worked solution:

AO=622=32AO2=18\begin{aligned}AO &= \frac{6\sqrt{2}}{2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \quad AO^2 &= 18\end{aligned}

חצי אלכסון

SA=18+16=34≈5.83\begin{aligned}SA &= \sqrt{18+16} \\ &= \sqrt{34}\approx 5.83\end{aligned}

פיתגורס במשולש SOASOA, הזווית ב-OO ישרה

הגובה יורד למרכז OO, לא לקודקוד. בפיתגורס משתמשים ב-AOAO, חצי האלכסון — לא בצלע 66.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCDOS

פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. אורך צלע הבסיס 44, ואורך כל מקצוע צדדי 66. חשבו את גובה הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 5.29

Worked solution:

AO=22AO2=8\begin{aligned}AO &= 2\sqrt{2} \\ \quad AO^2 &= 8\end{aligned}
SO=36−8=28≈5.29\begin{aligned}SO &= \sqrt{36-8} \\ &= \sqrt{28}\approx 5.29\end{aligned}

המקצוע SA=6SA=6 הוא היתר במשולש SOASOA. מחסרים, לא מחברים.

Check the answer on elev

Exercise 7

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} שני וקטורים לא מקבילים בבסיס של פירמידה, ו-w‾\underline{w} וקטור הגובה שלה, ∣w‾∣=5|\underline{w}|=5. השלימו.

w‾⋅u‾=\underline{w}\cdot\underline{u}= ____ ; w‾⋅(2u‾−3v‾)=\underline{w}\cdot(2\underline{u}-3\underline{v})= ____ ; (u‾+w‾)⋅w‾=(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w}= ____

Show the answer and the solution

Answer: w‾⋅u‾=\underline{w}\cdot\underline{u}= 0 ; w‾⋅(2u‾−3v‾)=\underline{w}\cdot(2\underline{u}-3\underline{v})= 0 ; (u‾+w‾)⋅w‾=(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w}= 25

Worked solution:

w‾⋅u‾=0\underline{w}\cdot\underline{u}=0

הגובה מאונך לבסיס

w‾⋅(2u‾−3v‾)=2⋅0−3⋅0=0\begin{aligned}\underline{w}\cdot(2\underline{u}-3\underline{v}) &= 2\cdot 0-3\cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

וקטור בבסיס

(u‾+w‾)⋅w‾=0+∣w‾∣2=25\begin{aligned}(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w} &= 0+|\underline{w}|^2 \\ &= 25\end{aligned}

w‾⋅w‾\underline{w}\cdot\underline{w} הוא לא אפס: זה ריבוע האורך, 2525. רק המכפלה עם וקטורים בבסיס מתאפסת.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCOS

פירמידה ישרה ABCSABCS שבסיסה משולש שווה צלעות. אורך צלע הבסיס 66, ואורך כל מקצוע צדדי 55. חשבו את גובה הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 3.61

Worked solution:

R=63=23R2=12\begin{aligned}R &= \frac{6}{\sqrt{3}} \\ &= 2\sqrt{3} \\ \quad R^2 &= 12\end{aligned}

רדיוס המעגל החוסם משולש שווה צלעות

h=25−12=13≈3.61\begin{aligned}h &= \sqrt{25-12} \\ &= \sqrt{13}\approx 3.61\end{aligned}

פיתגורס: מקצוע צדדי, רדיוס, גובה

הגובה יורד למרכז המעגל החוסם. המרחק מהמרכז לקודקוד הוא R=23R=2\sqrt{3}, לא חצי צלע.

Check the answer on elev

Exercise 9

מיינו: מאונך למישור הבסיס בוודאות, או לא בהכרח?

  • מאונך בוודאות
  • לא בהכרח
  • אלכסון של פאה צדדית במנסרה ישרה
  • גובה של פירמידה
  • מקצוע צדדי של מנסרה ישרה
  • מקצוע צדדי של פירמידה ישרה
  • מקצוע צדדי של תיבה
Show the answer and the solution

Answer: מקצוע צדדי של מנסרה ישרה — מאונך בוודאות · גובה של פירמידה — מאונך בוודאות · מקצוע צדדי של פירמידה ישרה — לא בהכרח · אלכסון של פאה צדדית במנסרה ישרה — לא בהכרח · מקצוע צדדי של תיבה — מאונך בוודאות

Worked solution:

AD⊥ABCAD\perp ABC

מנסרה ישרה: מקצוע צדדי מאונך לבסיס

SO⊥ABC,SA⊥̸ABCSO\perp ABC,\quad SA\not\perp ABC

פירמידה ישרה: הגובה מאונך, המקצוע הצדדי נטוי

בפירמידה ישרה הגובה מאונך לבסיס, אבל המקצועות הצדדיים נטויים. אל תבלבלו בין «פירמידה ישרה» ל«מקצוע ישר».

Check the answer on elev

Exercise 10

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} במישור, ∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=4|\underline{v}|=4, u‾⋅v‾=6\underline{u}\cdot\underline{v}=6. הווקטור w‾\underline{w} מאונך למישור, ו-∣w‾∣=2|\underline{w}|=2. חשבו את ∣u‾+v‾+w‾∣|\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 6.4

Worked solution:

∣u‾+v‾+w‾∣2=9+16+4+2(u‾⋅v‾+u‾⋅w‾+v‾⋅w‾)|\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}|^2=9+16+4+2(\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}+\underline{v}\cdot\underline{w})
=29+2(6+0+0)=41=29+2(6+0+0)=41

w‾\underline{w} מאונך לשניהם

41≈6.40\sqrt{41}\approx 6.40

שלוש מכפלות מעורבות, כל אחת פעמיים. רק u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v} לא מתאפסת, כי u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} לא מאונכים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade