Volumes: prism and pyramid

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלת הווקטורים בבגרות נגמרת לעתים קרובות בנפח. צריך שני דברים: שטח הבסיס וגובה.

V=S⋅hV=S\cdot h

מנסרה: SS שטח הבסיס, hh הגובה

V=13⋅S⋅hV=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h

פירמידה: שליש מהמנסרה

למנסרה ולפירמידה יש אותו בסיס ואותו גובה. פי כמה גדול נפח המנסרה?

Show the answer and the solution

פי 3.

שטח הבסיס בעזרת וקטורים

הבסיס הוא לרוב משולש. את השטח שלו מחשבים ב-12absin⁡α\frac{1}{2}ab\sin\alpha: aa ו-bb שתי צלעות, ו-α\alpha הזווית ביניהן.

ABCS
הפירמידה של הפרק: AB=4AB=4, AC=6AC=6, ∢BAC=60∘\sphericalangle BAC=60^\circ, AS=5AS=5, ASAS מאונך לבסיס.

הנפח של הפירמידה ABCSABCS

הבסיס ABCABC, והגובה ASAS.

SABC=12⋅4⋅6⋅sin⁡60∘=63\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 60^\circ \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

שתי צלעות והזווית ביניהן

h=AS=5\begin{aligned}h &= AS \\ &= 5\end{aligned}

ASAS מאונך למישור הבסיס

V=13⋅63⋅5=103≈17.32\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 5 \\ &= 10\sqrt{3}\approx 17.32\end{aligned}

למה ASAS הוא הגובה של הפירמידה?

Show the answer and the solution

כי נתון ש-ASAS מאונך למישור הבסיס ABCABC.

כשהגובה לא נתון

לפעמים צריך למצוא את הגובה. בפירמידה ישרה הוא יורד למרכז הבסיס, ומוצאים אותו בפיתגורס.

פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע

צלע הבסיס 88, המקצוע הצדדי 99. מצאנו כבר ש-SO=7SO=7.

SABCD=82=64\begin{aligned}S_{ABCD} &= 8^2 \\ &= 64\end{aligned}
V=13⋅64⋅7=4483≈149.33\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 64\cdot 7 \\ &= \frac{448}{3}\approx 149.33\end{aligned}

מנסרה ישרה

ABCDEF
מנסרה ישרה ABCDEFABCDEF. AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AD→=w‾\overrightarrow{AD}=\underline{w}.

הזווית מהמכפלה, ואז הנפח

∣u‾∣=5|\underline{u}|=5, ∣v‾∣=8|\underline{v}|=8, u‾⋅v‾=−20\underline{u}\cdot\underline{v}=-20, ∣w‾∣=6|\underline{w}|=6.

cos⁡A=−205⋅8=−12 ⇒ A=120∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{-20}{5\cdot 8} \\ &= -\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 120^\circ\end{aligned}

קודם הזווית של הבסיס

SABC=12⋅5⋅8⋅sin⁡120∘=103\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 120^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

sin⁡120∘=sin⁡60∘\sin 120^\circ=\sin 60^\circ

V=103⋅6=603≈103.92\begin{aligned}V &= 10\sqrt{3}\cdot 6 \\ &= 60\sqrt{3}\approx 103.92\end{aligned}

מקצוע צדדי של מנסרה ישרה הוא הגובה

תיבה שמידותיה 33, 44, 55. מה הנפח שלה? ומה הנפח של הפירמידה שנחתכת מהפינה שלה, שלושה מקצועות מקודקוד אחד?

Show the answer and the solution

התיבה: 6060. הפירמידה: 13⋅12⋅3⋅4⋅5=10\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot 5=10 — שישית מהתיבה.

בפירמידה משולשת אפשר לבחור כל פאה כבסיס. בוחרים את הפאה שהגובה אליה ידוע.

שתי טעויות בנפח.

VABCS=SABC⋅ASV_{ABCS}=S_{ABC}\cdot AS
VABCS=13⋅SABC⋅ASV_{ABCS}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot AS

בפירמידה יש שליש. בלעדיו, זה הנפח של מנסרה.

SABC=4⋅6⋅sin⁡60∘S_{ABC}=4\cdot 6\cdot\sin 60^\circ
SABC=12⋅4⋅6⋅sin⁡60∘S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 60^\circ

בשטח של משולש יש חצי.

Exercises

Exercise 1

שטח הבסיס של מנסרה ישרה 1212, וגובהה 55. מהו הנפח?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

V=12⋅5=60\begin{aligned}V &= 12\cdot 5 \\ &= 60\end{aligned}

במנסרה אין שליש. 2020 הוא נפח של פירמידה עם אותו בסיס וגובה.

Check the answer on elev

Exercise 2

שטח הבסיס של פירמידה 1818, וגובהה 77. מהו הנפח?

Show the answer and the solution

Answer: 42

Worked solution:

V=13⋅18⋅7=42\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 7 \\ &= 42\end{aligned}

בפירמידה מחלקים ב-33. 126126 הוא נפח של מנסרה.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABCS

בפירמידה ABCSABCS, ASAS מאונך למישור הבסיס. AB=AC=6AB=AC=6, ∢BAC=90∘\sphericalangle BAC=90^\circ, AS=8AS=8. חשבו את נפח הפירמידה.

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

SABC=12⋅6⋅6=18\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6 \\ &= 18\end{aligned}

משולש ישר זווית

V=13⋅18⋅8=48\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 8 \\ &= 48\end{aligned}

שני «חלקים» שונים: חצי בשטח המשולש, ושליש בנפח. מי ששכח אחד מהם קיבל 9696 או 144144.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABCS

בפירמידה ABCSABCS, ASAS מאונך לבסיס. AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, ∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5, u‾⋅v‾=10\underline{u}\cdot\underline{v}=10, AS=6AS=6. חשבו את נפח הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 17.32

Worked solution:

cos⁡A=104⋅5=12 ⇒ A=60∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{10}{4\cdot 5} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 60^\circ\end{aligned}

מהמכפלה לזווית

SABC=12⋅4⋅5⋅sin⁡60∘=53\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot\sin 60^\circ \\ &= 5\sqrt{3}\end{aligned}
V=13⋅53⋅6=103≈17.32\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 5\sqrt{3}\cdot 6 \\ &= 10\sqrt{3}\approx 17.32\end{aligned}

המכפלה 1010 נותנת את הקוסינוס. לשטח צריך את הסינוס: מי שכפל ב-cos⁡60∘\cos 60^\circ קיבל 1010.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCDOS

פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. צלע הבסיס 66, וכל מקצוע צדדי 55. חשבו את נפח הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 31.75

Worked solution:

AO=32AO2=18\begin{aligned}AO &= 3\sqrt{2} \\ \quad AO^2 &= 18\end{aligned}
h=25−18=7\begin{aligned}h &= \sqrt{25-18} \\ &= \sqrt{7}\end{aligned}

פיתגורס במשולש SOASOA

V=13⋅36⋅7=127≈31.75\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 36\cdot\sqrt{7} \\ &= 12\sqrt{7}\approx 31.75\end{aligned}

הגובה לא נתון: מוצאים אותו קודם. המקצוע 55 הוא לא הגובה.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCDEF

מנסרה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות שצלעו 44. גובה המנסרה 1010. חשבו את הנפח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 69.28

Worked solution:

S=12⋅4⋅4⋅sin⁡60∘=43\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot\sin 60^\circ \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}
V=43⋅10=403≈69.28\begin{aligned}V &= 4\sqrt{3}\cdot 10 \\ &= 40\sqrt{3}\approx 69.28\end{aligned}

הזווית במשולש שווה צלעות היא 60∘60^\circ. מי שכתב 12⋅4⋅4=8\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8 חישב משולש ישר זווית.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCDEFGH

בקובייה ABCDEFGHABCDEFGH חותכים את הפירמידה ABDEABDE (שלושה מקצועות מהקודקוד AA). איזה חלק מנפח הקובייה הוא נפח הפירמידה?

  1. 16\frac{1}{6}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 18\frac{1}{8}
Show the answer and the solution

Answer: A 16\frac{1}{6}

Worked solution:

V=13⋅a22⋅a=a36\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a \\ &= \frac{a^3}{6}\end{aligned}

הבסיס ABDABD חצי פאה, הגובה AEAE

חצי (משולש) כפול שליש (פירמידה) = שישית. 13\frac{1}{3} שוכח שהבסיס הוא רק חצי ריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 8

מכפילים פי 22 את גובה הפירמידה ואת כל הצלעות של הבסיס שלה. הנפח גדל פי 44.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

S→4S,h→2hS\to 4S,\quad h\to 2h

שטח גדל בריבוע

V→13⋅4S⋅2h=8VV\to\frac{1}{3}\cdot 4S\cdot 2h=8V

שטח הבסיס גדל פי 44 וגם הגובה פי 22: יחד פי 88. מי שענה «נכון» שכח את הגובה.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCS

בפירמידה ABCSABCS, ASAS מאונך לבסיס. AB=3AB=3, AC=4AC=4, ∢BAC=90∘\sphericalangle BAC=90^\circ, AS=6AS=6. השלימו.

SABC=S_{ABC}= ____ ; V=V= ____ ; BC=BC= ____

Show the answer and the solution

Answer: SABC=S_{ABC}= 6 ; V=V= 12 ; BC=BC= 5

Worked solution:

SABC=12⋅3⋅4=6\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4 \\ &= 6\end{aligned}
V=13⋅6⋅6=12\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 6\cdot 6 \\ &= 12\end{aligned}
BC=9+16=5\begin{aligned}BC &= \sqrt{9+16} \\ &= 5\end{aligned}

פיתגורס בבסיס

AS=6AS=6 הוא גם הגובה וגם המספר של השטח — לא להתבלבל ביניהם בהצבה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נפח של פירמידה הוא 4040. הבסיס שלה משולש עם שתי צלעות 44 ו-66, והזווית ביניהן 30∘30^\circ. מהו גובה הפירמידה?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

S=12⋅4⋅6⋅sin⁡30∘=6\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}
40=13⋅6⋅h ⇒ h=20\begin{aligned}40 &= \frac{1}{3}\cdot 6\cdot h\ \Rightarrow\ h \\ &= 20\end{aligned}

מבודדים את hh: כופלים ב-33 ומחלקים ב-SS. מי ששכח את השליש קיבל 406\frac{40}{6}.

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCS

חישבו נפח של פירמידה: בסיס משולש ישר זווית עם ניצבים 66 ו-44, וגובה 55. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

S=12⋅6⋅4⋅sin⁡90∘=12\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot\sin 90^\circ \\ &= 12\end{aligned}
V=12⋅5=60\begin{aligned}V &= 12\cdot 5 \\ &= 60\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: V=12⋅5=60V=12\cdot 5=60 → V=13⋅12⋅5=20V=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 5=20

Worked solution:

V=13⋅S⋅h=20\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot S\cdot h \\ &= 20\end{aligned}

6060 הוא נפח של מנסרה. בפירמידה מחלקים ב-33.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade