Set 2 — medium

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים של שניים–שלושה צעדים: פותחים סוגריים, מחשבים אורך, זווית או שטח.

אורך: מעלים בריבוע. זווית: מחלקים במכפלת האורכים. שטח: סינוס, לא קוסינוס.

Exercises

Exercise 1

∣a‾∣=4|\underline{a}|=4, ∣b‾∣=6|\underline{b}|=6, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. חשבו את ∣a‾+b‾∣|\underline{a}+\underline{b}|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 8.72

Worked solution:

a‾⋅b‾=12\underline{a}\cdot\underline{b}=12
∣a‾+b‾∣2=16+24+36=76\begin{aligned}|\underline{a}+\underline{b}|^2 &= 16+24+36 \\ &= 76\end{aligned}
76≈8.72\sqrt{76}\approx 8.72

∣a‾+b‾∣≠4+6|\underline{a}+\underline{b}|\neq 4+6. מעלים בריבוע, ולא שוכחים את 2 a‾⋅b‾=242\,\underline{a}\cdot\underline{b}=24.

Check the answer on elev

Exercise 2

∣a‾∣=3|\underline{a}|=3, ∣b‾∣=5|\underline{b}|=5 ו-a‾⋅b‾=−7.5\underline{a}\cdot\underline{b}=-7.5. מהי הזווית בין הווקטורים (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 120

Worked solution:

cos⁡α=−7.515=−12 ⇒ α=120∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{-7.5}{15} \\ &= -\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \alpha \\ &= 120^\circ\end{aligned}

קוסינוס שלילי נותן זווית קהה.

Check the answer on elev

Exercise 3

∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=2|\underline{v}|=2 ו-u‾⋅v‾=1\underline{u}\cdot\underline{v}=1. חשבו את (2u‾−v‾)⋅(u‾+3v‾)(2\underline{u}-\underline{v})\cdot(\underline{u}+3\underline{v}).

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

=2∣u‾∣2+6 u‾⋅v‾−v‾⋅u‾−3∣v‾∣2=2|\underline{u}|^2+6\,\underline{u}\cdot\underline{v}-\underline{v}\cdot\underline{u}-3|\underline{v}|^2
=18+5−12=11=18+5-12=11

ארבע מכפלות. −3∣v‾∣2=−12-3|\underline{v}|^2=-12: הסימן של −v‾-\underline{v} נשאר.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABCDEFGH

בתיבה ABCDEFGHABCDEFGH: AB=2AB=2, AD=3AD=3, AE=6AE=6. השלימו.

∣AG→∣=|\overrightarrow{AG}|= ____ ; AG→⋅AE→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AE}= ____ ; AG→⋅BH→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BH}= ____

Show the answer and the solution

Answer: ∣AG→∣=|\overrightarrow{AG}|= 7 ; AG→⋅AE→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AE}= 36 ; AG→⋅BH→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BH}= 41

Worked solution:

AG→=u‾+v‾+w‾∣AG→∣=4+9+36=7\begin{aligned}\overrightarrow{AG} &= \underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad |\overrightarrow{AG}| &= \sqrt{4+9+36} \\ &= 7\end{aligned}
AG→⋅w‾=36\overrightarrow{AG}\cdot\underline{w}=36
BH→=−u‾+v‾+w‾AG→⋅BH→=−4+9+36=41\begin{aligned}\overrightarrow{BH} &= -\underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BH} &= -4+9+36 \\ &= 41\end{aligned}

BH→\overrightarrow{BH} מתחיל ב-BB: −u‾-\underline{u}, ולכן ∣u‾∣2|\underline{u}|^2 נכנס עם מינוס.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCDEFGH

באותה תיבה (AB=2AB=2, AD=3AD=3, AE=6AE=6), מצאו את הזווית בין האלכסונים AG→\overrightarrow{AG} ו-BH→\overrightarrow{BH} (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 33.2

Worked solution:

∣BH→∣=7|\overrightarrow{BH}|=7

כל האלכסונים של תיבה שווים

cos⁡α=4149 ⇒ α≈33.2∘\cos\alpha=\frac{41}{49}\ \Rightarrow\ \alpha\approx 33.2^\circ

המכפלה מהשאלה הקודמת, חלקי מכפלת האורכים 7⋅77\cdot 7.

Check the answer on elev

Exercise 6

∣a‾∣=3|\underline{a}|=3, ∣b‾∣=4|\underline{b}|=4, a‾⋅b‾=2\underline{a}\cdot\underline{b}=2. חישבו את ∣a‾−b‾∣|\underline{a}-\underline{b}|. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

∣a‾−b‾∣2=9−2⋅2+16|\underline{a}-\underline{b}|^2=9-2\cdot 2+16
=21=21
∣a‾−b‾∣=21|\underline{a}-\underline{b}|=21
Show the answer and the solution

Answer: ∣a‾−b‾∣=21|\underline{a}-\underline{b}|=21 → ∣a‾−b‾∣=21|\underline{a}-\underline{b}|=\sqrt{21}

Worked solution:

∣a‾−b‾∣=21≈4.58|\underline{a}-\underline{b}|=\sqrt{21}\approx 4.58

2121 הוא ריבוע האורך. השורש הוא הצעד האחרון.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש ABCABC: ∣AB→∣=8|\overrightarrow{AB}|=8, ∣AC→∣=5|\overrightarrow{AC}|=5, AB→⋅AC→=20\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=20. חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 17.32

Worked solution:

cos⁡A=2040=12 ⇒ sin⁡A=32\begin{aligned}\cos A &= \frac{20}{40} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \sin A \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}
S=12⋅8⋅5⋅32=103≈17.32\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 10\sqrt{3}\approx 17.32\end{aligned}

מהמכפלה מקבלים קוסינוס; בשטח צריך סינוס.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCDEFGH

בקובייה ABCDEFGHABCDEFGH האלכסונים AGAG ו-ECEC מאונכים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

AG→=u‾+v‾+w‾EC→=u‾+v‾−w‾\begin{aligned}\overrightarrow{AG} &= \underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad \overrightarrow{EC} &= \underline{u}+\underline{v}-\underline{w}\end{aligned}
AG→⋅EC→=a2+a2−a2=a2≠0\begin{aligned}\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{EC} &= a^2+a^2-a^2 \\ &= a^2\neq 0\end{aligned}

שני אלכסונים של קובייה אינם מאונכים. רק החישוב מכריע — לא הציור.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCS

בפירמידה ABCSABCS, ASAS מאונך לבסיס. AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, ∣u‾∣=5|\underline{u}|=5, ∣v‾∣=8|\underline{v}|=8, u‾⋅v‾=−20\underline{u}\cdot\underline{v}=-20, AS=9AS=9. חשבו את נפח הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 51.96

Worked solution:

cos⁡A=−12 ⇒ A=120∘\begin{aligned}\cos A &= -\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 120^\circ\end{aligned}
SABC=12⋅5⋅8⋅sin⁡120∘=103\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 120^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}
V=13⋅103⋅9=303≈51.96\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 9 \\ &= 30\sqrt{3}\approx 51.96\end{aligned}

sin⁡120∘=32\sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, חיובי. נפח לעולם לא שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 10

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} לא מקבילים, ו-w‾\underline{w} מאונך לשניהם. איזו מכפלה היא בהכרח 00?

  1. w‾⋅w‾\underline{w}\cdot\underline{w}
  2. u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}
  3. w‾⋅(u‾−2v‾)\underline{w}\cdot(\underline{u}-2\underline{v})
  4. (u‾+w‾)⋅w‾(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w}
Show the answer and the solution

Answer: C w‾⋅(u‾−2v‾)\underline{w}\cdot(\underline{u}-2\underline{v})

Worked solution:

w‾⋅(u‾−2v‾)=w‾⋅u‾−2 w‾⋅v‾=0\begin{aligned}\underline{w}\cdot(\underline{u}-2\underline{v}) &= \underline{w}\cdot\underline{u}-2\,\underline{w}\cdot\underline{v} \\ &= 0\end{aligned}

w‾\underline{w} מאונך למישור של u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}, ולכן לכל צירוף שלהם. w‾⋅w‾=∣w‾∣2\underline{w}\cdot\underline{w}=|\underline{w}|^2 אינו אפס.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade