Set 3 — bagrut level · Dot product and solids · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שתי שאלות בנוסח שאלה 2 של הבגרות. כל שאלה היא גוף אחד, וכל סעיף שלה הוא תרגיל נפרד. הנתונים והשרטוט מופיעים מעל הסעיף.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. התחילו מטבלת המכפלות של $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ .

Exercises

Exercise 1

א. הביעו את $\overrightarrow{SD}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו- $\underline{w}$ .

$\underline{w}-\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})$
$\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}$
$\underline{v}-\underline{u}-\underline{w}$
$\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\underline{w}$

Show the answer and the solution

Answer: D $\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\underline{w}$

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{SD} &= \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AD} \\ &= -\underline{w}+\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\end{aligned}

$D$ אמצע $BC$

$\overrightarrow{SD}$ יוצא מ- $S$ : קודם יורדים ל- $A$ , כלומר $-\underline{w}$ . התשובה עם $+\underline{w}$ היא $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AS}$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

ב. מצאו את הערך של $\underline{u}\cdot\underline{v}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 6\cdot 6\cdot\cos 60^\circ \\ &= 18\end{aligned}

הזווית $\sphericalangle BAC$ היא בין $\underline{u}$ ל- $\underline{v}$ , שניהם יוצאים מ- $A$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

ג. $BC\perp SD$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\overrightarrow{BC}=\underline{v}-\underline{u}

\begin{aligned}(\underline{v}-\underline{u})\cdot\left(\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})-\underline{w}\right) &= \frac{1}{2}(36-36)-0 \\ &= 0\end{aligned}

המשולש $SBC$ שווה שוקיים ( $SB=SC$ ), ו- $SD$ התיכון שלו. אבל מוכיחים בחישוב: המכפלה $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

ד. חשבו את $|\overrightarrow{SD}|$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 10.39

Worked solution:

\begin{aligned}\left|\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\right|^2 &= \frac{36+36+36}{4} \\ &= 27\end{aligned}

\begin{aligned}|\overrightarrow{SD}|^2 &= 27+81 \\ &= 108\end{aligned}

\sqrt{108}=6\sqrt{3}\approx 10.39

$2\underline{u}\cdot\underline{v}=36$ נכנס לסוגריים. ו- $\underline{w}$ מאונך ל- $\underline{u}+\underline{v}$ , ולכן אין איבר מעורב.

Check the answer on elev

Exercise 5

ה. חשבו את נפח הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 46.77

Worked solution:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot\sin 60^\circ \\ &= 9\sqrt{3}\end{aligned}

\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 9 \\ &= 27\sqrt{3}\approx 46.77\end{aligned}

הגובה הוא $AS=9$ , לא $SD$ : $SD$ לא מאונך לבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 6

א. הביעו את $\overrightarrow{AM}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו- $\underline{w}$ .

$\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}$
$\underline{w}+\frac{1}{2}(\underline{v}-\underline{u})$
$\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v}+\underline{w})$
$\underline{w}+\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})$

Show the answer and the solution

Answer: D $\underline{w}+\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})$

Worked solution:

\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}

\begin{aligned}\overrightarrow{DM} &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}) \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\end{aligned}

$M$ אמצע $EF$ , והבסיס העליון שווה לתחתון

עולים מקצוע שלם $\underline{w}$ , ורק בבסיס העליון לוקחים חצי. $\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v}+\underline{w})$ עולה רק חצי גובה.

Check the answer on elev

Exercise 7

ב. מצאו את הערך של $\underline{u}\cdot\underline{v}$ .

Show the answer and the solution

Answer: -8

Worked solution:

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 4\cdot 4\cdot\cos 120^\circ \\ &= -8\end{aligned}

זווית קהה: מכפלה שלילית.

Check the answer on elev

Exercise 8

ג. חשבו את $|\overrightarrow{AM}|$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 6.32

Worked solution:

\begin{aligned}\left|\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\right|^2 &= \frac{16-16+16}{4} \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}|\overrightarrow{AM}|^2 &= 36+4 \\ &= 40\end{aligned}

\sqrt{40}\approx 6.32

$2\underline{u}\cdot\underline{v}=-16$ מקטין את הסוגריים. $\underline{w}$ מאונך לבסיס, ולכן אין איבר מעורב איתו.

Check the answer on elev

Exercise 9

ד. מצאו את הזווית בין $\overrightarrow{AM}$ ל- $\overrightarrow{AE}$ (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 28.71

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= \underline{u}+\underline{w} \\ \quad |\overrightarrow{AE}|^2 &= 16+36 \\ &= 52\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AE} &= 36+\frac{1}{2}(16-8) \\ &= 40\end{aligned}

\cos\alpha=\frac{40}{\sqrt{40}\cdot\sqrt{52}}\ \Rightarrow\ \alpha\approx 28.71^\circ

בפתיחת $\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\cdot\underline{u}$ יש שתי מכפלות: $|\underline{u}|^2$ ו- $\underline{u}\cdot\underline{v}=-8$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

ה. חשבו את נפח המנסרה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 41.57

Worked solution:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot\sin 120^\circ \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

\begin{aligned}V &= 4\sqrt{3}\cdot 6 \\ &= 24\sqrt{3}\approx 41.57\end{aligned}

מנסרה: בלי שליש. $8\sqrt{3}$ הוא נפח של פירמידה.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev