The derivative of eˣ

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ראינו שב-x=0x=0 השיפוע של exe^x הוא 11. ומה השיפוע בנקודות אחרות?

ב-x=2x=2 גובה הגרף של exe^x הוא בערך 7.397.39. מה שיפוע המשיק שם?

Show the answer and the solution

גם הוא בערך 7.397.39. בכל נקודה השיפוע של exe^x שווה לגובה: e2e^2.

(ex)′=ex(e^x)'=e^x

הנגזרת של exe^x היא exe^x עצמה.

כפל בקבוע וסכום

(k⋅ex)′=k⋅ex(k\cdot e^x)'=k\cdot e^x

קבוע כופל נשאר

(ex+x2)′=ex+2x(e^x+x^2)'=e^x+2x

סכום: גוזרים כל מחובר לבד

(ex+7)′=ex(e^x+7)'=e^x

קבוע מחובר נעלם

גזרו את f(x)=3ex−x2+5f(x)=3e^x-x^2+5, וחשבו את f′(0)f'(0).

כל מחובר לבד.

f′(x)=3ex−2xf'(x)=3e^x-2x

הקבוע 33 נשאר, x2x^2 נותן 2x2x, ו-55 נעלם

f′(0)=3e0−0=3\begin{aligned}f'(0) &= 3e^0-0 \\ &= 3\end{aligned}

e0=1e^0=1

גזרו את f(x)=2ex+4xf(x)=2e^x+4x.

Show the answer and the solution

f′(x)=2ex+4f'(x)=2e^x+4.

מכפלה: פולינום כפול eˣ

(u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'

כלל המכפלה

גזרו את f(x)=(x−3)exf(x)=(x-3)e^x.

u=x−3u=x-3 ו-v=exv=e^x.

f′(x)=1⋅ex+(x−3)⋅exf'(x)=1\cdot e^x+(x-3)\cdot e^x

כלל המכפלה

f′(x)=ex(1+x−3)f'(x)=e^x\big(1+x-3\big)

מוציאים exe^x גורם משותף

f′(x)=(x−2)exf'(x)=(x-2)e^x

מכנסים

תמיד מוציאים exe^x גורם משותף. אז קל לפתור f′(x)=0f'(x)=0: exe^x אף פעם לא אפס, ולכן רק הסוגריים מתאפסים.

גזרו את f(x)=x2exf(x)=x^2e^x, והוציאו גורם משותף.

Show the answer and the solution

f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex=x(x+2)exf'(x)=2xe^x+x^2e^x=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x.

מנה: eˣ בתוך שבר

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

כלל המנה

גזרו את f(x)=exxf(x)=\frac{e^x}{x}.

u=exu=e^x ו-v=xv=x, ו-x≠0x\neq 0.

f′(x)=ex⋅x−ex⋅1x2f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}

כלל המנה

f′(x)=(x−1)exx2f'(x)=\frac{(x-1)e^x}{x^2}

מוציאים exe^x במונה

גזרו את f(x)=xexf(x)=\frac{x}{e^x}.

Show the answer and the solution

f′(x)=1⋅ex−x⋅ex(ex)2=(1−x)exe2x=1−xexf'(x)=\frac{1\cdot e^x-x\cdot e^x}{(e^x)^2}=\frac{(1-x)e^x}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}.

משיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=ex+xf(x)=e^x+x בנקודה שבה x=0x=0.

שלושה צעדים: נקודה, שיפוע, ישר.

f(0)=e0+0=1\begin{aligned}f(0) &= e^0+0 \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה: (0,1)(0,1)

f′(x)=ex+1⇒f′(0)=2\begin{aligned}f'(x) &= e^x+1 \Rightarrow f'(0) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−1=2(x−0)⇒y=2x+1\begin{aligned}y-1 &= 2(x-0) \Rightarrow y \\ &= 2x+1\end{aligned}

משוואת ישר דרך נקודה

שתי טעויות בגזירה.

(xex)′=1⋅ex(xe^x)'=1\cdot e^x
(xex)′=ex+xex(xe^x)'=e^x+xe^x

זו מכפלה. גוזרים כל גורם בתורו, ולא רק את הראשון.

(ex)′=xex−1(e^x)'=xe^{x-1}
(ex)′=ex(e^x)'=e^x

הכלל של xnx^n לא מתאים כאן: ה-xx נמצא במעריך, לא בבסיס.

Exercises

Exercise 1

מהי הנגזרת של f(x)=5ex−x3f(x)=5e^x-x^3?

  1. 5ex−3x5e^x-3x
  2. 5ex−3x25e^x-3x^2
  3. ex−3x2e^x-3x^2
  4. 5xex−1−3x25xe^{x-1}-3x^2
Show the answer and the solution

Answer: B 5ex−3x25e^x-3x^2

Worked solution:

(5ex)′=5ex(5e^x)'=5e^x

הקבוע נשאר

(x3)′=3x2(x^3)'=3x^2

חזקה

5ex−3x25e^x-3x^2. ב-exe^x לא מורידים את המעריך: הוא לא xnx^n.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=4ex+x2f(x)=4e^x+x^2. חשבו את f′(0)f'(0).

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f′(x)=4ex+2xf'(x)=4e^x+2x

גוזרים

f′(0)=4⋅1+0=4\begin{aligned}f'(0) &= 4\cdot 1+0 \\ &= 4\end{aligned}

e0=1e^0=1

f′(0)=4f'(0)=4. מי שכתב 00 חשב ש-e0=0e^0=0, אבל e0=1e^0=1.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהי הנגזרת של f(x)=(x+1)exf(x)=(x+1)e^x?

  1. (x+2)ex(x+2)e^x
  2. xexxe^x
  3. (x+1)ex(x+1)e^x
  4. exe^x
Show the answer and the solution

Answer: A (x+2)ex(x+2)e^x

Worked solution:

f′(x)=1⋅ex+(x+1)exf'(x)=1\cdot e^x+(x+1)e^x

כלל המכפלה

=(x+2)ex=(x+2)e^x

גורם משותף

(x+2)ex(x+2)e^x. מי שבחר exe^x גזר רק את x+1x+1 ושכח את החלק השני של כלל המכפלה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=(x−4)exf(x)=(x-4)e^x. בעבור איזה xx מתקיים f′(x)=0f'(x)=0?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=ex+(x−4)ex=(x−3)ex\begin{aligned}f'(x) &= e^x+(x-4)e^x \\ &= (x-3)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה וגורם משותף

ex≠0⇒x−3=0e^x\neq0 \Rightarrow x-3=0

רק הסוגריים מתאפסים

x=3x=3. מי שענה 44 איפס את ff עצמה ולא את הנגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 5

גוזרים את f(x)=x2exf(x)=x^2e^x. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=x2exf(x)=x^2e^x
f′(x)=2x⋅exf'(x)=2x\cdot e^x
f′(x)=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: f′(x)=2x⋅exf'(x)=2x\cdot e^x → f′(x)=2xex+x2ex=x(x+2)exf'(x)=2xe^x+x^2e^x=x(x+2)e^x

Worked solution:

f′(x)=2xex+x2exf'(x)=2xe^x+x^2e^x

כלל המכפלה: שני חלקים

f′(x)=0⇒x=0 x=−2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני פתרונות

הגזירה שכחה את x2⋅(ex)′x^2\cdot(e^x)'. בגלל זה הפתרון x=−2x=-2 הלך לאיבוד.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=exxf(x)=\frac{e^x}{x}. חשבו את f′(2)f'(2). עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 1.85

Worked solution:

f′(x)=(x−1)exx2f'(x)=\frac{(x-1)e^x}{x^2}

כלל המנה

f′(2)=1⋅e24≈1.85f'(2)=\frac{1\cdot e^2}{4}\approx 1.85

מציבים

e24≈1.85\frac{e^2}{4}\approx 1.85. מי שכתב e22\frac{e^2}{2} חילק ב-xx ולא ב-x2x^2.

Check the answer on elev

Exercise 7

הנגזרת של f(x)=xexf(x)=\frac{x}{e^x} היא 1ex\frac{1}{e^x}.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(x)=ex−xexe2xf'(x)=\frac{e^x-xe^x}{e^{2x}}

כלל המנה

=1−xex=\frac{1-x}{e^x}

מצמצמים ב-exe^x

לא נכון. f′(x)=1−xexf'(x)=\frac{1-x}{e^x}. מי שגזר מונה לבד ומכנה לבד שכח את כלל המנה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=(2x+1)exf(x)=(2x+1)e^x. השלימו.

f′(0)=f'(0)= ____ ; f′(x)=0f'(x)=0 כאשר x=x= ____

Show the answer and the solution

Answer: f′(0)=f'(0)= 3 ; f′(x)=0f'(x)=0 כאשר x=x= -1.5

Worked solution:

f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex\begin{aligned}f'(x) &= 2e^x+(2x+1)e^x \\ &= (2x+3)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

f′(0)=32x+3=0⇒x=−1.5\begin{aligned}f'(0) &= 3 \\ \quad 2x+3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1.5\end{aligned}

מציבים ומאפסים

הנגזרת של 2x+12x+1 היא 22, לא 11. מי שכתב (2x+2)ex(2x+2)e^x קיבל x=−1x=-1.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהו שיפוע המשיק לגרף של f(x)=ex−2xf(x)=e^x-2x בנקודה שבה x=0x=0?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

f′(x)=ex−2f'(x)=e^x-2

גוזרים

f′(0)=1−2=−1\begin{aligned}f'(0) &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned}

מציבים

השיפוע −1-1. מי שכתב 11 הציב ב-ff ולא ב-f′f': f(0)=1f(0)=1 הוא הגובה, לא השיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהי משוואת המשיק לגרף של f(x)=ex+3xf(x)=e^x+3x בנקודה שבה x=0x=0?

  1. y=3x+1y=3x+1
  2. y=4xy=4x
  3. y=4x+1y=4x+1
  4. y=x+4y=x+4
Show the answer and the solution

Answer: C y=4x+1y=4x+1

Worked solution:

f(0)=1f(0)=1

נקודת ההשקה (0,1)(0,1)

f′(x)=ex+3⇒f′(0)=4\begin{aligned}f'(x) &= e^x+3 \Rightarrow f'(0) \\ &= 4\end{aligned}

השיפוע

y=4x+1y=4x+1

ישר דרך (0,1)(0,1)

y=4x+1y=4x+1. מי שבחר y=3x+1y=3x+1 שכח שגם exe^x תורם 11 לשיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה f(x)=xexf(x)=xe^x. בעבור איזה xx מתקיים f′(x)=0f'(x)=0?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

f′(x)=ex+xex=(x+1)ex\begin{aligned}f'(x) &= e^x+xe^x \\ &= (x+1)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

x+1=0⇒x=−1\begin{aligned}x+1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

exe^x לא מתאפס

x=−1x=-1. מי שענה 00 איפס את ff ולא את f′f'.

Check the answer on elev

Exercise 12

התאימו כל פונקציה לנגזרת שלה.

  • ex+x2e^x+x^2
  • xexxe^x
  • (x−1)ex(x-1)e^x
  • exx\frac{e^x}{x}
  • (x+1)ex(x+1)e^x
  • (x−1)exx2\frac{(x-1)e^x}{x^2}
  • ex+2xe^x+2x
  • xexxe^x
Show the answer and the solution

Answer: ex+x2e^x+x^2 — ex+2xe^x+2x · xexxe^x — (x+1)ex(x+1)e^x · (x−1)ex(x-1)e^x — xexxe^x · exx\frac{e^x}{x} — (x−1)exx2\frac{(x-1)e^x}{x^2}

Worked solution:

((x−1)ex)′=ex+(x−1)ex=xex\begin{aligned}\big((x-1)e^x\big)' &= e^x+(x-1)e^x \\ &= xe^x\end{aligned}

כלל המכפלה

שימו לב: xexxe^x מופיע פעם כפונקציה ופעם כנגזרת. הנגזרת של (x−1)ex(x-1)e^x היא xexxe^x, והנגזרת של xexxe^x היא (x+1)ex(x+1)e^x.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade