The number e · Calculus of eˣ · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בפרק על הפונקציה המעריכית עבדנו עם בסיסים כמו $2$ ו- $\frac{1}{2}$ . בפרק הזה נכיר בסיס מיוחד: המספר $e$ .

נתחיל מחיסכון. מפקידים שקל אחד בבנק, בריבית של $100\%$ לשנה. כמה כסף יהיה בסוף השנה?

Interactive activity

פעם בשנה: כל הריבית מגיעה בסוף השנה. $(1+1)^1=2$ : יש $2$ שקלים.

פעמיים בשנה: חצי ריבית בכל פעם. $\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2.25$ . בחצי השנה השנייה יש ריבית גם על הריבית.

כל חודש: $\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}\approx 2.613$ . הסכום ממשיך לגדול.

כל יום: $\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}\approx 2.7146$ . הגידול כבר קטן.

כל שעה: $\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760}\approx 2.7181$ . הסכום כמעט לא זז. הוא מתקרב למספר קבוע: $e$ .

מההתחלה

לחצו «הצעד הבא». מתחת לכל עמודה כתוב כמה פעמים בשנה מחשבים ריבית. הקו המקווקו הוא $e$ : העמודות מתקרבות אליו, ולא עוברות אותו.

Do the activity on elev

מה יקרה אם הבנק יחשב ריבית כל שנייה?

Show the answer and the solution

הסכום יגדל עוד קצת, אבל לא יעבור את $e\approx 2.718$ . ככל שמחלקים יותר, מתקרבים יותר ל- $e$ .

המספר e

e\approx 2.718

מספר אי-רציונלי, כמו $\pi$ : הספרות שלו לא נגמרות.

$e$ הוא מספר, לא משתנה. לכן $e^2$ הוא מספר, בערך $7.39$ , ו- $3e$ הוא בערך $8.15$ .

e^0=1

כל מספר בחזקת אפס

e^1=e\approx 2.718

המספר עצמו

e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0.368

מעריך שלילי: אחד חלקי

חשבו במחשבון את $e^3$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

$e^3\approx 20.09$ . במחשבון: המקש $e^x$ , ואחריו $3$ .

הבסיס שהשיפוע שלו ב-0 הוא 1

כל גרף $y=a^x$ (עם $a>0$ ) עובר בנקודה $(0,1)$ . בנקודה הזאת מעבירים משיק, ומודדים את השיפוע שלו.

בבסיס $2$ השיפוע קטן מ- $1$ (בערך $0.69$ ). בבסיס $3$ הוא גדול מ- $1$ (בערך $1.10$ ). רק בבסיס $e$ השיפוע הוא בדיוק $1$ .

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא $e$ ? איך רואים את זה מהשיפועים?

Show the answer and the solution

בין $2$ ל- $3$ . בבסיס $2$ השיפוע קטן מ- $1$ , ובבסיס $3$ הוא גדול מ- $1$ . השיפוע $1$ נמצא באמצע: $2<e<3$ .

הפונקציה y = eˣ

x\in\mathbb{R}

מוגדרת לכל $x$

e^x>0

תמיד חיובית: הגרף כולו מעל ציר ה- $x$

e>1

עולה לכל $x$

x\to-\infty:\ e^x\to 0

אסימפטוטה אופקית $y=0$ , משמאל

$\ln$ הוא הלוגריתם בבסיס $e$ . לכן $e^x=k$ נפתרת כך: $x=\ln k$ (כאשר $k>0$ ). למשל $e^x=5$ נותן $x=\ln 5\approx 1.61$ .

שתי טעויות עם e.

e^2=2e

e^2=e\cdot e\approx 7.39

חזקה היא כפל של $e$ בעצמו, לא כפל ב- $2$ . $2e\approx 5.44$ בלבד.

e^{-x}<0

e^{-x}=\frac{1}{e^x}>0

מעריך שלילי לא נותן מספר שלילי. כל חזקה של $e$ חיובית.

Exercises

Exercise 1

חשבו את $e^2$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 7.39

Worked solution:

e^2=e\cdot e

כפל של $e$ בעצמו

e^2\approx 7.39

במחשבון

$e^2\approx 7.39$ . מי שכתב $5.44$ חישב $2e$ במקום $e^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מה נכון לגבי המספר $e$ ?

$e=\frac{1}{2.718}$
$e$ הוא משתנה, כמו $x$
$e\approx 2.718$ , והספרות שלו לא נגמרות
$e=2.7$ בדיוק

Show the answer and the solution

Answer: C $e\approx 2.718$ , והספרות שלו לא נגמרות

Worked solution:

e\approx 2.718281\ldots

מספר אי-רציונלי

$e$ הוא מספר קבוע, בערך $2.718$ . $2.7$ הוא רק עיגול שלו.

Check the answer on elev

Exercise 3

כאשר $n$ גדול מאוד, הביטוי $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ עובר את $e$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\left(1+\tfrac{1}{8760}\right)^{8760}\approx 2.7181<e

גם בחישוב כל שעה הסכום קטן מ- $e$

לא נכון. הביטוי מתקרב ל- $e$ מלמטה, ולא עובר אותו. זו בדיוק ההגדרה של $e$ דרך החיסכון.

Check the answer on elev

Exercise 4

הבנק מחשב ריבית ארבע פעמים בשנה. חשבו את $\left(1+\frac{1}{4}\right)^4$ . עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 2.44

Worked solution:

1+\tfrac14=1.25

הריבית בכל רבעון

1.25^4\approx 2.44

ארבע פעמים בשנה

$2.44$ : יותר מ- $2.25$ (פעמיים בשנה), ופחות מ- $e$ . מי שכתב $5$ חישב $1.25\cdot 4$ , כפל במקום חזקה.

Check the answer on elev

Exercise 5

סדרו מהקטן לגדול.

$\frac{1}{e}$
$1$
$2$
$3$
$e^2$
$e$

Show the answer and the solution

Answer: $\frac{1}{e}$ · $1$ · $2$ · $e$ · $3$ · $e^2$

Worked solution:

\tfrac1e\approx0.37 ,\ e\approx2.72 ,\ e^2\approx7.39

מחשבים כל אחד

$\frac{1}{e}$ קטן מ- $1$ כי $e>1$ . ו- $e$ נמצא בין $2$ ל- $3$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

לכל $x$ מתקיים $e^x>0$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

e>0 \Rightarrow e^x>0

בסיס חיובי בכל חזקה נותן מספר חיובי

נכון. גם $e^{-100}$ חיובי: הוא $\frac{1}{e^{100}}$ , מספר קטן מאוד, אבל לא שלילי ולא אפס.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את המשוואה $e^x=5$ . עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 1.61

Worked solution:

\begin{aligned}e^x &= 5 \Rightarrow x \\ &= \ln 5\end{aligned}

הגדרת $\ln$

\ln 5\approx 1.61

במחשבון

$x=\ln 5\approx 1.61$ . מי שכתב $\frac{5}{e}$ חילק, אבל $e^x$ היא חזקה ולא כפל.

Check the answer on elev

Exercise 8

מעבירים משיק לגרף של $y=2^x$ בנקודה $(0,1)$ . מה נכון לגבי השיפוע שלו?

הוא גדול מ- $1$
הוא בדיוק $1$
הוא קטן מ- $1$
הוא $0$

Show the answer and the solution

Answer: C הוא קטן מ- $1$

Worked solution:

2<e

הבסיס קטן מ- $e$

m\approx 0.69

במעבדה: השיפוע בערך $0.69$

קטן מ- $1$ : רק לבסיס $e$ יש שיפוע $1$ ב- $(0,1)$ , ו- $2$ קטן מ- $e$ . השיפוע אינו $0$ : הגרף עולה.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו כל ביטוי לערך שלו.

$e^0$
$\ln e^3$
$e^{\ln 4}$
$e^{-1}$

$\frac{1}{e}$
$1$
$3$
$4$

Show the answer and the solution

Answer: $e^0$ — $1$ · $\ln e^3$ — $3$ · $e^{\ln 4}$ — $4$ · $e^{-1}$ — $\frac{1}{e}$

Worked solution:

\begin{aligned}\ln e^3 &= 3 \\ \quad e^{\ln 4} &= 4\end{aligned}

$\ln$ ו- $e$ מבטלים זה את זה

$e^{-1}$ אינו $-e$ : מעריך שלילי הופך לשבר.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהי האסימפטוטה האופקית של $y=e^x-3$ ? כתבו את $y$ .

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

x\to-\infty:\ e^x\to 0

משמאל $e^x$ נעלם

y\to 0-3=-3

ה- $-3$ נשאר

$y=-3$ . ה- $-3$ מזיז את הגרף כולו למטה, ואיתו את האסימפטוטה. מי שכתב $y=0$ שכח את ההזזה.

Check the answer on elev

Exercise 11

הפונקציה $y=e^{-x}$ יורדת לכל $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

e^{-x}=\left(\tfrac{1}{e}\right)^x

בסיס בין $0$ ל- $1$

0<\tfrac1e<1

לכן יורדת

נכון. $e^{-x}$ היא שיקוף של $e^x$ בציר ה- $y$ . מי שראה רק $e$ (גדול מ- $1$ ) שכח את המינוס במעריך.

Check the answer on elev

המספר e

הבסיס שהשיפוע שלו ב-0 הוא 1

הפונקציה y = eˣ

Exercises

Keep practising on elev